羅 攀 ，王 崟 ，黃 昊 ，孫 曉 ，穆景福

（1.陜西延長石油（集團）有限責任公司研究院，陜西西安710075；2.陜西省頁巖氣勘探開發(fā)工程技術研究中心，陜西西安710075；3.中國石油長慶油田分公司采油十一廠，甘肅慶陽 745000）

水力裂縫作為壓裂液濾失模型的邊界，決定了濾失區(qū)域的大小，對濾失量具有重要影響。壓裂過程中，水力裂縫長度逐漸增加，濾失區(qū)域逐漸變大，濾失量也會逐漸增加，而通常的濾失模型計算時采取了裂縫最終達到的固定長度，濾失速度開始時最大，然后遞減，顯然，這是違背物理事實的。經典濾失理論認為濾失是一維的，并且水力裂縫邊界的長度不變，但實際濾失應該是二維甚至三維的，特別是當滲透率較高時，濾失空間的多維性更加明顯，裂縫邊界長度對濾失的影響很大。由任書泉、古法剛[1]提出的濾失模型考慮了侵入區(qū)前沿移動等多種因素，比經典濾失理論考慮的更多，更接近實際，但同樣并未考慮濾失的多維性以及裂縫長度的變化；任嵐[2]等提出了考慮壓裂液平面流動的二維濾失模型，并以差分法求得數值解，更加適合高滲地層中壓裂液濾失速度隨時間變化的動態(tài)預測，但也沒有給出裂縫長度變化對濾失速度的影響；李勇明[3]等在考慮裂縫性地層的濾失時，建立了雙重介質模型，并以正交變換求解，但同樣也未考慮濾失的多維性與裂縫邊界的動態(tài)擴展；游先勇[4]等研究了天然裂縫成簇分布的濾失規(guī)律；夏富國[5-7]等考慮天然裂縫對濾失的影響?？傊?，現有研究多考慮裂縫在空間的變化，但很少考慮裂縫在時間上的變化。裂縫動態(tài)擴展使濾失問題變得很復雜，但卻是不容忽略的條件，考慮后可以使現實問題得到更清晰更準確地認識。本文根據有限差分法實現了考慮裂縫動態(tài)擴展的二維壓裂液濾失模型的求解，研究了裂縫動態(tài)擴展對濾失的影響，證實了裂縫長度的變化對濾失有著重要影響。

1 濾失模型

考慮壓裂液的二維濾失和裂縫動態(tài)擴展，在矩形區(qū)域上建立二維濾失的偏微分方程。

式中：p 為地層壓力，Pa；x、y 分別為研究區(qū)域的長度和寬度，m；η 為導壓系數，m2/s；t 為濾失時間，s。

考慮到裂縫兩側的濾失情形具有對稱性，取1/4 區(qū)域進行研究，每條邊界具有不同的邊界條件（圖1）。

圖1 網格節(jié)點和邊界條件示意圖

左側邊界為對稱邊界，即該邊界上壓裂液沿 x方向的濾失速度為0，其邊界條件為：

式中： pi1，為第一列節(jié)點的壓力值，Pa； pi2，為第二列節(jié)點的壓力值，Pa；i 為x 方向上的網格節(jié)點編號。

右側邊界和上側邊界均為定壓邊界，為原始油藏壓力，其邊界條件為：

式中： pi為原始油藏壓力，Pa； pi,n為最右一列網格節(jié)點的壓力值，Pa； pm，j為最上一行網格節(jié)點的壓力值，Pa； j 為y 方向上的網格節(jié)點編號。

下側邊界的條件較為復雜，其中，水力裂縫長度的公式為：

式中：L 為水力裂縫長度，m；vel 為裂縫擴展速度，m/s； tv為裂縫擴展時間，s。

0 < x ≤L 的部分邊界對應水力裂縫，該部分邊界取定壓邊界條件：

式中： pf為裂縫內壓力，Pa。

L

綜合可得：

式中： p1，j為第一行網格節(jié)點的壓力值，Pa； p2，j為第二行網格節(jié)點的壓力值，Pa。

初始條件為整個求解域上的壓力均為原始油藏壓力，即：

求得壓力分布后，根據裂縫壁面上的壓力梯度即可得到裂縫壁面上的濾失速度：

式中：v 為濾失速度，10-3m/s；k 為滲透率，μm2；μ 為液體黏度，mPa·s。

可以得到整條裂縫上的平均濾失速度：

2 模型求解

為保證收斂性，本文采用古典五點隱式差分法對模型進行求解，離散后的方程如下所示：

式中：n、n+ 1分別為時間節(jié)點的編號； Δt 為時間步長，s；Δ x為 x 方向網格長度，m；Δ y 為 y 方向網格長度，m；為第n 個時間節(jié)點所有空間節(jié)點的壓力值，Pa。

上式共有i×j 個未知數和i×j 個方程，構成i×j 階的線性方程組，可由tn時刻的已知壓力分布求得tn+1時刻的壓力分布，如此迭代下去便能求解。

3 結果分析

考慮裂縫動態(tài)擴展后的壓力分布隨時間變化較大，特別是在裂縫擴展階段，濾失前沿不斷向油層深部推進，濾失區(qū)域不斷擴大，與定長度裂縫的濾失情況區(qū)別較大。計算所用的參數如表1 所示，圖2～4 為使用差分法編程求解得到的壓力分布。圖2 為裂縫擴展30 min 時的壓力分布，裂縫未擴展到的地方仍然為原始油藏壓力，說明擴展階段的裂縫并不是以最終長度參與濾失。

表1 計算時所取的主要參數

圖3 為裂縫擴展60 min 時的壓力分布，水力裂縫長度為30 min時的2倍，壓力分布范圍相應更大，原先 30 min 內形成的裂縫的壓力分布范圍也更大。

圖4 為裂縫擴展90 min 時的壓力分布，裂縫擴展至研究區(qū)域邊界。

由圖2～4 可以明顯看出，不同濾失時刻裂縫的壓力影響范圍不同，且裂縫越靠近初始端，對應的壓力影響范圍越大。

圖2 裂縫擴展30 min 時的壓力分布

圖3 裂縫擴展60 min 時的壓力分布

圖4 裂縫擴展90 min 時的壓力分布

考慮裂縫動態(tài)擴展后的濾失曲線與經典濾失曲線不同的是，濾失速度存在一個上升階段，這個階段對應裂縫擴展階段。隨著裂縫增長，濾失區(qū)域越來越大，因而濾失速度會變大，而裂縫停止增長后，濾失速度逐漸變小，此時的濾失速度變化規(guī)則與經典理論一致。

由圖5 可知，地層滲透率越高，裂縫擴展階段濾失速度能達到的峰值越高；地層滲透率較低時，濾失速度的峰值也較低，濾失速度變化較小，裂縫動態(tài)擴展的影響也較小。

圖5 不同滲透率地層的濾失速度變化曲線

圖6 為不同裂縫擴展速度下的濾失速度變化曲線，除了裂縫擴展速度不同，其余參數均相同。由圖可知，裂縫擴展越快，濾失速度到達峰值的時間越早，且濾失速度峰值也越高。濾失速度到達峰值對應著裂縫擴展到終點，即裂縫擴展越快濾失速度達到峰值也越早；裂縫擴展速度較慢時，不僅濾失速度達到峰值的時間晚，而且由于地層進液更充分，峰值也會較??；當裂縫擴展速度極快時，濾失速度增長期極短，濾失速度曲線與定長裂縫的濾失速度曲線非常接近。因此，在脆性大、液體推進快的地層，液體的初始濾失速度會更快，這種地層若需降低初始濾失速度，可以考慮增大液體黏度、加粉砂等措施。

4 結論

（1）裂縫動態(tài)擴展對濾失曲線有較大影響，裂縫擴展階段的濾失速度會隨濾失時間的增加而增加。

（2）地層滲透率較大和裂縫擴展速度較快時，裂縫動態(tài)擴展對濾失速度的影響更加明顯。

圖6 不同裂縫擴展速度下的濾失速度變化曲線

（3）首次建立了考慮裂縫動態(tài)擴展的濾失二維模型，相對于定長裂縫模型更接近物理實際，對認清濾失過程，指導壓裂設計具有一定意義。