王磊 張?zhí)旌?/p>

摘? ?要：慣性力是由于參考系本身相對于慣性參考系做加速運動所引起的力，慣性力因無施力物體而實際上并不存在，所以可以用是否存在慣性力來區(qū)別非慣性參考系和慣性參考系。在非慣性參考系中牛頓運動定律是不成立的，但在引入慣性力后，對非慣性參考系來講，牛頓運動定律在形式上就“仍然”可以成立。在平面轉動參考系中，質點可能受到了三種慣性力。將這三種慣性力引入平面轉動非慣性系中，我們可以在平面轉動參考系下應用牛頓運動定律來處理相關問題。

關鍵詞：慣性力;平面轉動參考系;離心力;慣性切向力;科氏力

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2020）11-0055-4

1? ? 慣性力的由來

慣性是物理學中最基本的概念之一，也是學習物理學最早遇到的概念之一。由于牛頓運動定律只在慣性參考系中成立，因此在經典物理學課程中都對慣性系與非慣性系、牛頓力與慣性力加以區(qū)分。慣性力實際上并不存在，因為慣性力實際上是非慣性系下物體具有慣性而產生的力，這種力雖然能被測量和感知，但因慣性力找不到施力物體，并且當轉換慣性系研究時，物體的慣性力消失，所以普遍認為慣性力是假想力、虛擬力、不存在的力。我們亦可以用慣性力的存在來判斷參考系是非慣性系。該概念的提出是因為非慣性系中，牛頓運動定律并不適用。但是為了思維上的方便，可以假想在這個非慣性系中，除了相互作用所引起的力之外還受到一種由于非慣性系而引起的力——慣性力[1]。本文對轉動參考系中的慣性力做一些討論。

2? ? 轉動參考系下三種慣性力的理論推導

設平面xy（圖1）以變化角速度 繞垂直于自身的軸z轉動，在這個平面上取坐標系O-xy，它的原點和靜止坐標系O-ζη的原點O重合， 、 分別為x軸和y軸上的單位矢量， 為z軸上的單位矢量，則 =ω [2]。P點為xy平面上一運動質點，設P點在O-xy坐標系下的位置坐標為（x，y），則P點相對坐標系O-xy的位置向量為 =x +y 。

O-xy坐標系的單位矢量 、 在靜止坐標系O-ζη下對時間求導有（圖2）：

= × =? =ω

= × =-? =-ω

P點相對靜止坐標系O-ζη的速度 有：

= = =? +x +? +y =（ -ωy） +（ +ωx）

進一步整理可得：

=（? +? ）+（-ωy +ωx ）

其中，? 為P點對轉動參考系x方向的分速度，? 為P點對轉動參考系y方向的分速度。? =? +? ，? 為P點相對于轉動參考系O-xy的合速度。-ωy 為參考系O-xy相對于參考系O-ζη旋轉給P點帶來的x方向的牽連速度，ωx 為參考系O-xy相對于參考系O-ζη旋轉給P點帶來的y方向的牽連速度。? =-ωy +ωx ，? 為參考系O-xy相對于參考系O-ζη旋轉給P點帶來的合牽連速度。有 =? +? 。P點對靜止坐標系O-ζη的加速度 有：

= = =（ - y- ω） +（ -ωy）ω +（ + x+ ω） +（ +ωx）（-ω ）

進一步整理可得：

=（? +? ）-ω2（x +y ）-2ω（? -? ）- （y -x ）

令 '=（? +? ）， '為質點P在轉動參考系O-xy下的相對加速度;令? =ω2（x +y ）=ω2 ，? 為參考系O-xy相對于參考系O-ζη旋轉給P點帶來的慣性離心加速度;令? =2ω（? -? ）=2 '× ，? 為參考系O-xy相對于參考系O-ζη旋轉給P點帶來的科里奧利偏轉加速度;令? = （y -x ）= × ，? 為參考系O-xy相對于參考系O-ζη旋轉角速度發(fā)生變化時給P點帶來的切向加速度。

當我們轉換以O-xy為靜止參考系時有：

'= +? +? +

結合牛頓第二定律有：

m '=m +m? +m? +m

即： '= +? +? +

在轉換以O-xy為參考系下研究物體的運動需要引入三個慣性力：離心力、科里奧利力和慣性切向力[3]。 為物體在轉動參考系O-xy下真實受到的力，? 、? 、? 為轉動參考系O-xy為質點帶來的虛擬力， '為物體在轉動參考系O-xy下的實際觀測力。

3? ? 幾種慣性力在物理問題中的實際應用

例1 長度分別為l1和l2的不可伸長的輕繩懸掛著質量都是m的兩個小球（圖3），它們處于靜止狀態(tài)，中間的小球m1突然受到水平方向的沖擊，瞬間獲得水平向右的速度v0，求此瞬間連接m2的繩上的拉力T。

解析 m1在繩l1的束縛下繞懸掛點O做圓周運動為轉動參考系（圖4）。在大地參考系下m1獲得初速度v0瞬間，該轉動參考系的角速度ω= ，轉動參考系下m2在該瞬間以向左速度v2=

ω（l1+l2）繞m1做圓周運動，m2所需向心力F =m2 ，轉動參考系下m2受到慣性力有慣性離心力向下F =m2ω2（l1+l2）、科里奧利力向上F =2m2ω2（l1+l2），在豎直方向上對m2應用牛頓第二定律有T-m2g-F +F =F （因只考慮豎直方向的受力，故水平方向的切向慣性力未予以考慮），代入各式可解得T=m （g+ + ）。

例2 半徑為R的圓盤在水平面上以恒定的角速度ω繞其中軸逆時針旋轉，其直徑方向有凹槽（圖5），將一質量為m的光滑小球置于轉盤凹槽中間位置（即轉盤圓心處）后給予微小擾動，小球沿凹槽向圓盤邊緣運動（凹槽對小球有束縛作用，只能沿凹槽運動）。

問題1：求小球離開圓盤時的速度。

解析 小球離開圓盤邊緣時，在切向上與圓盤邊緣的速度相同，有vx=ωR，在徑向上小球獲得背向圓盤圓心的徑向速度vy。轉換以圓盤為轉動參考系，小球在慣性離心力的作用下沿凹槽做離心運動，設小球加速度為a，速度為v，當小球運動至距離圓心y處時有a=ω2y，此處形成了加速度與位移成正比的特殊物理模型。因 = ，有 = ，整理可得：vdv=ω2ydy[4]，積分可得：v=ωy，所以vy=ωR?；氐降孛鎱⒖枷?，小球離開圓盤的速度為 = ωR。

通過這道題的計算還可以得出這樣一個有趣的結論：做勻速圓周運動轉盤上任一點的線速度與該轉盤參考系下某質點由靜止從轉盤中心經慣性離心力加速到該點所獲得的速度大小相同。

問題2：當小球距盤中心距離為r時，突然使圓盤以角加速度a勻減速轉動（圖6），求此時圓盤凹槽側壁給小球的支持力N。

解析 以圓盤為參考系，小球受到慣性科里奧利力F =2mωr×ω垂直運動方向向右，由于圓盤減速旋轉而給小球帶來切向慣性力F =mr×α垂直運動方向向左。在豎直方向上重力和支持力平衡，小球光滑無摩擦力，側壁對小球存在支持力N，在圓盤參考系下[3]：

垂直半徑方向有：N+F =F

得：N=2mω2r-mrα

例3 某國際空間站是一個圍繞其中軸旋轉、半徑為R的大轉輪，空間站中宇航員生活于轉輪的內側邊緣處，用空間站旋轉帶來的慣性力模擬地球引力（圖7），不考慮空間站自身質量帶來的引力影響。

問題1：一根長為l的細線，一端連接空間站轉軸O，另一端系一質量為m的小球，小球相對實驗室以速度v勻速旋轉（圖8），方向與空間站轉動方向相反，求細線拉力T。

轉動參考系下小球所需向心力F =m ，轉動參考系帶來的慣性離心力F =mω2l（方向背離圓心），轉動參考系帶來的慣性科里奧利力F =2mv×ω（方向指向圓心）。轉動參考系下對小球應用牛頓第二定律有：

T+2mv×ω-mω2l=m

得：T=mω2l+m -2mv×ω

問題2：空間站以多大的角速度旋轉，才能讓宇航員感受到與地球相同的重力加速度g。

解 設空間站旋轉角速度為ω0時，以空間站為參考系空間站邊緣的離心加速度為ω? R，用該離心加速度模擬地球加速度有ω? R=g，得ω0= 。

總結：在以轉動物體為參考系應用牛頓運動定律時需要引入慣性力，如果轉動參考系為勻速轉動，相對其靜止的物體需要引入離心力，相對其運動的物體除離心力之外還需要引入科里奧利力，如果轉動參考系為變速轉動則還需引入慣性切向力。引入幾種慣性力后，我們可以像在慣性系中一樣處理轉動非慣性系中的運動學問題。

參考文獻：

[1]王瑞.慣性力的本質[J].物理與工程，2006（2）：62-63.

[2]王剛志，郭肖勇，吳澤華，等.電磁力與慣性力的相似性研究[J].物理與工程，2018，28（3）：84-85.

[3]江昌龍.慣性力的分類及其在解題中的應用[J].黃山學院學報，2010，12（3）：123-125.

[4]程軍，韓玉龍.慣性力在質點運動問題中的運用[J].物理通報，2019（S1）：4-6.

（欄目編輯? ? 羅琬華）