徐仁杰

(江蘇省海安高級中學 226600)

在動力學問題中，涉及非慣性參考系常引入慣性力，這樣非慣性系的問題可以用牛頓運動定律來解決，這種思想源于達朗貝爾原理.高中物理競賽研究較多的是質(zhì)點慣性力問題，對于質(zhì)點系的慣性力很少涉及，本文借助于幾個常見模型分析剛體定軸轉(zhuǎn)動和平面運動中的達朗貝爾原理.

1 質(zhì)點的達朗貝爾原理

作用在質(zhì)點上的主動力、約束力和它的慣性力在形式上組成平衡力系，這就是質(zhì)點的達朗貝爾原理，寫成方程：F+FN+FI=0，F(xiàn)I=-ma稱為質(zhì)點的慣性力.引入慣性力的概念可以使動力學問題借用靜力學的理論和方法求解，具有很多優(yōu)越性，下面舉一例說明.

例1 均勻半圓形金屬拱架ABC的圓心在O點，質(zhì)量M=1000kg.A端用鉸鏈連接，B端放在滾珠上，有一質(zhì)量m=500kg的小物塊從最高點C無摩擦滑下，如圖1所示，求當物體滑到D點時(∠COD=30°)，求A、B兩支點對拱架的約束力.

圖1 圖2

小物塊做圓周運動，可看作質(zhì)點，具有切向加速度at和法向加速度an，分別引入慣性力FIt和FIn.取整體為研究對象，列出力和力矩平衡方程：

FAx+FInsinα=FItcosα

FAy+FB+FIncosα+FItsinα=(M+m)g

FAyR-FItR-FBR+mgRsinα=0

由以上各式解得：

FAy=FB=6295N,FAx=1495N.

點評引入慣性力后，小物塊的受力在形式上達到平衡，可以與拱架整體分析建立平衡方程，避免了對內(nèi)力的分析.

2 質(zhì)點系的達朗貝爾原理

質(zhì)點系的達朗貝爾原理表述為：質(zhì)點系中每個質(zhì)點i上的主動力、約束力和它的慣性力在形式上組成平衡力系，寫成方程Fi+FNi+FIi=0，F(xiàn)Ii=-miai是質(zhì)量為mi的質(zhì)點的慣性力.

空間任意力系平衡的充要條件是力系的主矢和對任一點O的主矩等于零，由于質(zhì)點系內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，且等大、反向、共線，內(nèi)力產(chǎn)生合力和合力矩為零，即∑Fi內(nèi)=0，∑MO(Fi內(nèi))=0，質(zhì)點系平衡方程寫成：∑Fi外+∑FIi=0，∑MO(Fi外)+∑MO(FIi)=0.

質(zhì)點系內(nèi)每個質(zhì)點都有各自的慣性力，受力復雜，在實際應用中，對于慣性力系通常做簡化處理.

剛體做平移運動時，對質(zhì)心的動量矩LC=rc×mvc≡0,若選質(zhì)心為簡化中心，主矩為零，因與質(zhì)點的應用相似，不做詳細分析.下面以剛體定軸轉(zhuǎn)動和平面運動為例分析慣性力系的簡化.

2.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動慣性力系的簡化

圖3

得到MIx=∑miriαcosθi·zi+∑-miriω2sinθi·zi=α∑mixizi-ω2∑miyizi.

類似的，慣性力系對y軸和z軸的矩分別為

若剛體有垂直于z軸的質(zhì)量對稱面，把簡化中心O取在該平面與z軸的交點，則∑mixizi=0，∑miyizi=0.慣性力系對O點的主矩為：MIO=MIz=-Jzα，這種情況下慣性力系處理起來簡單了很多.

例2 如圖4所示，均質(zhì)桿OA長2l，質(zhì)量m，繞著通過O端的水平軸在鉛錘面內(nèi)轉(zhuǎn)動.當轉(zhuǎn)到與水平線成θ角時，角速度為ω.求此時O端的約束力和角加速度α.

圖4 圖5

OA桿做定軸轉(zhuǎn)動，且有垂直于轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量對稱面，選取O點為簡化中心，受力分析如圖5所示，根據(jù)達朗貝爾原理建立平衡方程：

MIO=mglcosθ

求得FOx=-mlαsinθ-mω2lcosθ，

點評由此題可見，對垂直于轉(zhuǎn)軸有質(zhì)量對稱面的定軸轉(zhuǎn)動剛體，選擇質(zhì)量對稱面與轉(zhuǎn)軸的交點為簡化中心，利用達朗貝爾原理分析是比較簡單的.

2.2 剛體平面運動慣性力系的簡化

平面運動的剛體(平行于質(zhì)量對稱面)，運動可分解為隨基點的平移和繞基點的轉(zhuǎn)動，若簡化中心取在質(zhì)心，此時慣性力系向質(zhì)心的簡化得到的主矩與定軸轉(zhuǎn)動中相似：MIC=-JCα.

例3 如圖7所示，長l，質(zhì)量為m的勻質(zhì)桿AB,BD用鉸鏈B連接，并用鉸鏈A固定，位于圖示平衡位置.今在D端作用一水平力F，求此瞬間兩桿的角加速度.

圖7 圖8 圖9 圖10

AB,BD兩桿的運動情況如圖8所示，AB桿做定軸轉(zhuǎn)動，慣性力系簡化中心取A點.BD桿做平面運動，慣性力系簡化中心取質(zhì)心C.

點評本題中既有定軸轉(zhuǎn)動的桿AB，又有平面運動的桿BD，在計算慣性力系向簡化點的主矩時，一定要注意簡化中心的區(qū)別，AB桿的簡化中心應該取在轉(zhuǎn)軸位置的A點，BD桿的簡化中心應取在質(zhì)心，在計算兩桿的轉(zhuǎn)動慣量時會體現(xiàn)出區(qū)別.

慣性力的引入，對我們處理非慣性條件下動力學問題是很方便的，根據(jù)達朗貝爾原理，選擇與質(zhì)點無相對運動的坐標系，只要加上慣性力系，任何動力學問題都可以用靜力學的方法來解決.剛體的慣性力系一般比較復雜，但對剛體做平移、定軸轉(zhuǎn)動或平面運動，且垂直于轉(zhuǎn)軸有質(zhì)量對稱面的情況，選擇合適的簡化中心，可以使慣性力系簡化，一般建立主矢和主矩的三個平衡方程就可以解決問題.