北京市第十七中學 白雪峰

中外教育家都非常重視啟發(fā)式教 學。在中國，孔子提出“不憤不啟、不悱不發(fā)”的著名教學思想，成為“啟發(fā)”一詞的來源?！秾W記》提出“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達”，這是對孔子“啟發(fā)式”教學思想的再發(fā)展，闡明在學生學習過程中教師應該發(fā)揮的引導、激勵和點撥作用。在西方，蘇格拉底的“產(chǎn)婆術”強調(diào)教師要用“問答方式”來激發(fā)和引導學生自己去探求真知和尋求答案，“一個壞的教師奉送真理，一個好的教師則教人發(fā)現(xiàn)真理”是他的名言。我認為：啟發(fā)式教學是落實數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要方式，在貫徹落實這種育人思想的過程中，特別需要遵循反思性教學原則，以發(fā)揮促進學生學會學習數(shù)學的作用。

一、反思學習過程的過程與方法

現(xiàn)代認知心理學認為：反思是一種復雜的內(nèi)部認知過程，它包括對自己認知過程的認知，即元認知。涂榮豹指出：反思性數(shù)學學習顧名思義就是通過對數(shù)學學習活動過程的反思來進行數(shù)學學習，也就是學習者要對自身數(shù)學學習活動的過程以及活動過程中所涉及的有關材料、信息、思維、結(jié)果等學習內(nèi)容進行反向思考。這是一種有效的學習方式。

在日常數(shù)學的概念定理、公式法則、解題練習、問題解決等學習活動中，教師要有意識地引導學生對學習過程進行認真回顧，總結(jié)歸納學習過程中所運用的基本方法、解決問題的主要手段以及蘊含其中的數(shù)學思想和數(shù)學觀念等。例如，在解題學習之初，教師可以提出下面的問題以喚起學生對以往解題經(jīng)驗的深度思考和提煉概括。

問題1：解題是數(shù)學學習的重要組成部分，請回顧你多年數(shù)學學習的經(jīng)歷，對于數(shù)學解題你有哪些經(jīng)驗，請你舉例說明并總結(jié)梳理出兩條和大家分享；

問題2：如果請你對于一般的數(shù)學解題過程進行總結(jié)概括，你認為解決數(shù)學問題一般需要幾個階段（步驟）？

再如，在解題學習之后教師還可以再提出下面的問題，以引導學生對在新的解題過程中所獲得的內(nèi)在經(jīng)驗進行反思和概括，并與原有基本解題活動經(jīng)驗進行融會貫通。

問題3：請思考本節(jié)課的研究過程，你獲得了哪些研究平面幾何解析問題的有效經(jīng)驗？請?zhí)釤挸鲆粌蓷l和大家分享。

問題4：請你說說對“波利亞解題表”的獨到理解，你將在今后的解題學習中如何自覺運用這一解題表？請說說你的想法。

上述問題有利于學生梳理問題解決過程的有效經(jīng)驗，促進他們重構自己的學習理解，激活個人的學習潛能，并在活動所涉及的各個方面相互作用的情況下，產(chǎn)生超越僅僅獲得一般知識與技能的范疇，使學生的高階數(shù)學思維得到發(fā)展。

二、反思學習過程的順境與障礙

學習過程不會是一帆風順的。學生在某個數(shù)學概念、定理、公式或法則等內(nèi)容（特別是一些核心概念）的學習過程中，有時會感覺挺順利，自信心倍增，而有時又會感覺老師怎么講都聽不明白，好似有條鴻溝難以逾越。在課堂這個集體學習過程中，教師要允許每個學生有不同的表現(xiàn)，通過營造安全和諧的學習氛圍，提高學生的歸屬感，使每個學習者都能以更加飽滿的狀態(tài)積極參與到學習研究中來，一起面對困難和挑戰(zhàn)。

（一）尋找形成學習障礙的內(nèi)因

在反思性數(shù)學學習中，除了有“歸納概括類型”的反思，還有“查漏補缺類型”的反思。例如：對于學習目的不同、學習能力有限、學習水平差異顯著且個性千差萬別的學生，他們在同一數(shù)學內(nèi)容的學習過程中會呈現(xiàn)出不同的狀態(tài)、不同的層次、產(chǎn)生不同的問題。那么如何指導他們探尋學習障礙形成的內(nèi)在而真實的原因呢？這就需要教師肯于慢下來，舍得花時間，善于利用新知學習中的挑戰(zhàn)與契機，通過問題驅(qū)動學生主動對數(shù)學學習過程中遇到的困難進行深度內(nèi)省，以幫助學生學會準確找到自己在學習這個內(nèi)容時的具體障礙點。

問題5：請大家全面回顧新知識學習過程（如概念的抽象、定理的證 明、公式的探究、法則的提煉等過程），你認為哪一部分理解得最透徹，哪一部分最難理解？為什么？

問題6：如果某個同學不能理解上述學習內(nèi)容，你想通過怎樣的講解或舉例來幫助他（她）邁過這個“難關”呢？請分享你的學習經(jīng)驗。

上述問題鼓勵溝通與交流，支持通過團隊合作來解決問題，不僅有利于“學困生”突破學習難點，克服自身的學習困難，更有利于優(yōu)秀學生變“為學而學”為“為教而學”，通過智慧分享過程使優(yōu)秀學生對知識形成更加深刻而準確的理解，其有效的學習方法和有益的學習經(jīng)驗也得以效益最優(yōu)化。

（二）克服學習過程出現(xiàn)的失誤

課堂學習的過程是學生主體與課堂環(huán)境之間相互作用的過程，是各種學習資源不斷循環(huán)轉(zhuǎn)化的過程，更是一種信息輸入和輸出的復雜過程。數(shù)學課堂學習是培養(yǎng)學生良好思維品質(zhì)、發(fā)展學生理性精神的重要途徑。這個過程常常伴隨著學生誤區(qū)的形成和錯誤的產(chǎn)生。但是，誤區(qū)和錯誤決不僅僅是一種循環(huán)和反饋，它代表了學生信息交換過程中自然呈現(xiàn)出來的多種表現(xiàn)，既是教師調(diào)整改進教學的契機，更是一種寶貴的學習資源。

那么，如何才能“變廢為寶”呢？這就需要教師具有善于發(fā)現(xiàn)誤區(qū)、利用錯誤因勢利導的實踐智慧，善于引導學生探究錯誤中隱藏的問題，從問題中找準出錯的內(nèi)因。通過有效利用學生數(shù)學學習過程中的錯誤資源，激發(fā)學習興趣，引導積極思考，促進學生批判性思維、審辨式思維的優(yōu)化和發(fā)展，讓錯誤成為學生數(shù)學學習過程中思維交互碰撞的載體，成為學生持續(xù)成長的動力之源。例如：在發(fā)現(xiàn)了學生問題回答、習題解答中的錯誤時，教師要學會延遲評價，提出下面的問題以引導學生重新思考和審視答案，鍛煉發(fā)現(xiàn)錯誤的“慧眼”。

問題7：請你把語速放慢一點兒，再把剛才的回答重新講一遍，也請其他同學認真傾聽，看看他的回答中是否存在錯誤？如果有，錯誤是什么？如何修正？這個錯誤的本質(zhì)是什么？

問題8：請你把答案再重新審視（或檢查）一遍，看看能否發(fā)現(xiàn)其中的問題？并思考一下問題產(chǎn)生的原因是什么？今后，若遇到同類問題，解答過程中應該如何避免呢？

上述問題不僅有利于“犯錯”的學生調(diào)整情緒，放松心態(tài)，通過自我糾正消除錯誤認知，形成正確的邏輯體系，以提高自主檢視與核查的能力。同時，也有利于增強學生之間的思維互動，構建“對話與思辨”的課堂文化，創(chuàng)建和諧生動的學習生態(tài)。

三、反思適合數(shù)學學科的學習方式

對于大多數(shù)人而言，學習可謂是我們“最熟悉的陌生人”。熟悉是因為我們每個人從出生一直與學習相伴，陌生則是因為我們常常不得要領而在學習中迷茫甚至碰壁。因此，教師的職責之一就是要引導學生找到適合數(shù)學學科的學習方式，促進在學習中領悟精要，學會學習。同時，促進他們不斷提升熱愛數(shù)學學習的志趣，始終秉持終身學習的態(tài)度。在數(shù)學學習中，更需要學生熟練掌握并靈活運用適切的學習方法（或方式），提高數(shù)學學習的效能感。

例如：在學完了“平面向量的線性運算”之后，教師就要通過問題或任務，指導學生對向量運算學習過程進行整體回顧和深度反思，梳理適合這個內(nèi)容有效的學習方式。

問題9：類比實數(shù)的運算，請你采用表格（結(jié)構圖或思維導圖）的形式，通過三種數(shù)學語言梳理平面向量的加、減和數(shù)乘三種運算，比較三種運算的運算律，說明平面向量的線性運算的特點，并選擇典型例題來說明這種特點在解決相關問題時所發(fā)揮的作用。

問題10：上述類比（對比）學習的方式有什么特點？在以往哪些知識的學習過程中還曾運用？請舉例說明。

再如：在學習“平面向量的數(shù)量積”的運算法則時，教師可以設計下面的問題：

問題11 ：請你說出平面向量的數(shù)量積的物理背景，并利用一般化的數(shù)學語言概括表達平面向量的數(shù)量積的計算公式。

問題12：回顧平面向量的幾種運算，請你說明向量的數(shù)量積與向量的線性運算有什么差異？并利用幾何圖形解釋其幾何意義。

縱觀上述問題，可以看到：通過“歸納和類比”學習旨在幫助學生建立知識之間的聯(lián)系，通過“一般化與特殊化”的協(xié)同學習，學生會對平面向量的運算及其運算律形成一定的結(jié)構化認知，促進內(nèi)涵式和實質(zhì)性理解。上述支持啟發(fā)性聯(lián)想的問題不僅有利于學生深刻認識平面向量及其運算，幫助學生形成“正遷移”，并且通過問題10 和11 的回答，也有利于促進學生深化對歸納與類比（或?qū)Ρ龋?、一般化與特殊化這種學習方式的認識，這也恰是適合數(shù)學學科的學習方式。

正如荷蘭著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾（Hans Freudenthal）指出的，“反思是數(shù)學活動的中心”。波利亞認為：學習數(shù)學和研究數(shù)學最令人感到困惑也是最引人入勝的環(huán)節(jié)之一，就是如何發(fā)現(xiàn)定理和怎樣證明定理。數(shù)學學科具有數(shù)學抽象的特殊性、數(shù)學思維的嚴謹性、數(shù)學過程的探究性以及數(shù)學語言的簡潔性等特性，對于學生來說，學習數(shù)學不僅要關注數(shù)學內(nèi)容本身，也要從數(shù)學以外的有關知識和實踐中獲得啟發(fā)。 我認為：作為數(shù)學教師，必須善于指導學生在數(shù)學學習過程中牢固掌握和堅持運用反思性學習，通過有思維空間、有一定啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性的優(yōu)質(zhì)問題，促進學生有效開展反思性數(shù)學學習，支持學生領悟和洞察數(shù)學活動的本質(zhì)特征。