錢建兵

蘇教版教材編排的“解決問題的策略”的教學(xué)，旨在讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想和方法，提升學(xué)生解決問題的能力。解決問題的過程是一個(gè)復(fù)雜的心理過程，解決問題的能力也是一種整體的能力?！皩＜业闹R(shí)是條件化的，它包括對(duì)有用的情境的具體要求……專家不但獲得知識(shí)，而且能熟練提取與具體任務(wù)相關(guān)的知識(shí)?！辈呗缘睦斫馀c習(xí)得，是有情境指向的，需要基于策略的整體，致力思路與方法聯(lián)結(jié)因素之間的協(xié)調(diào)與聯(lián)系，讓學(xué)生對(duì)策略有整體的認(rèn)知。只有將策略置于學(xué)生已有的方法結(jié)構(gòu)體系中，才能提升學(xué)生解決問題的能力。

一、著眼整體，瞻前顧后認(rèn)識(shí)策略

“任何解題者都會(huì)積累起一定的解題策略，盡管他本人未必自覺地意識(shí)到這一點(diǎn)?！苯滩木幣诺慕鉀Q問題策略的教學(xué)，是基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，旨在引導(dǎo)學(xué)生將一些無意識(shí)的、不自覺狀態(tài)下所運(yùn)用的解決問題的方法，轉(zhuǎn)化為具有較強(qiáng)目的性的解題活動(dòng)。因此，策略教學(xué)在一定程度上講是對(duì)學(xué)生原有方法的一種提煉或再認(rèn)識(shí)，是對(duì)原有的具有個(gè)性化方法的進(jìn)一步系統(tǒng)認(rèn)識(shí)和擴(kuò)展。在教學(xué)某一策略時(shí)，需要讓學(xué)生對(duì)這一策略有一個(gè)整體性的認(rèn)識(shí)。整體的認(rèn)識(shí)可以幫助學(xué)生從策略的本質(zhì)上去把握策略，而不是簡(jiǎn)單地模仿。

從數(shù)學(xué)問題解決的基本過程把握策略。有學(xué)者研究表明，數(shù)學(xué)問題解決心理過程具有多步化歸、多層結(jié)構(gòu)、多元表征、多種背景、知識(shí)豐富等特點(diǎn)。六年級(jí)上冊(cè)教材編排的是《假設(shè)的策略》。何謂假設(shè)？波利亞在他的“解題表”中提出了解決問題的四個(gè)步驟：第一，你必須弄清問題；第二，找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃；第三，實(shí)現(xiàn)你的計(jì)劃；第四，驗(yàn)算所得到的解。縱觀“解題表”，假設(shè)的策略是“擬定計(jì)劃”中的一步，即找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接聯(lián)系，就考慮一個(gè)輔助問題。輔助問題是解題方向，是“好念頭”。從本質(zhì)上講，假設(shè)的策略應(yīng)該是“好念頭”與實(shí)現(xiàn)這一“好念頭”的操作方法聯(lián)合起來的一個(gè)完整過程。即不僅提出一個(gè)目標(biāo)狀態(tài)（一個(gè)未知量），也包含實(shí)現(xiàn)假設(shè)的方法（替換），實(shí)質(zhì)是化歸思想。

從教學(xué)編排的整體看策略。從學(xué)生經(jīng)驗(yàn)上追溯，學(xué)生有著一些零散的假設(shè)策略的經(jīng)驗(yàn)，但對(duì)策略的價(jià)值沒有很深的體驗(yàn)，經(jīng)驗(yàn)中的假設(shè)是假設(shè)之后就直接解決問題。如估算就是把接近整十?dāng)?shù)、整百數(shù)看成整十?dāng)?shù)、整百數(shù)，轉(zhuǎn)化成另一個(gè)算式的過程。除法中的試商，不是整十的看成整十?dāng)?shù)試商，轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法。往之后的學(xué)習(xí)前瞻，六年級(jí)下學(xué)期繼續(xù)學(xué)習(xí)假設(shè)的策略，用假設(shè)法解決雞兔同籠問題。因此，本課的教學(xué)要讓學(xué)生對(duì)假設(shè)有一個(gè)系統(tǒng)的整理和整體的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷完整的“假設(shè)——替換——解決問題”全過程，不僅知道為什么要假設(shè)，而且能有實(shí)現(xiàn)假設(shè)的方法，這也是教材在改編時(shí)為什么例題沒變，而將原來的替換改成了假設(shè)的原因。替換是實(shí)現(xiàn)假設(shè)的方法，假設(shè)的內(nèi)涵更加豐富。

在教學(xué)中可從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)引入，喚起學(xué)生假設(shè)的意識(shí)。

1.估算：302×19≈，你是怎么估算的？

2.豎式計(jì)算192÷39，你是如何試商的？解決這些問題運(yùn)用了哪種策略？

在學(xué)生應(yīng)用假設(shè)解決問題之后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思：解決今天的問題，為什么要進(jìn)行假設(shè)？通過什么方法實(shí)現(xiàn)假設(shè)想法的？?jī)H有假設(shè)能解決問題嗎？

學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中的假設(shè)認(rèn)知是表面的，而在解決問題之后對(duì)假設(shè)策略的反思，則會(huì)對(duì)假設(shè)有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。再如，畫圖的策略，學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中的示意圖用得比較多，而抽象的線段圖則相對(duì)少一些，在教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)畫圖在整理?xiàng)l件使數(shù)量關(guān)系直觀化的共同本質(zhì)。策略教學(xué)要從整體上對(duì)策略有高位的把握，就是從戰(zhàn)略的高度，從思想方法的高度，從學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展的高度去看某一課的教學(xué)，這樣才能掌握知識(shí)。

二、著力過程，關(guān)注全局與本質(zhì)

解決問題是一種復(fù)雜的心理活動(dòng)。影響問題解決的因素可以分為內(nèi)部因素與外部因素。內(nèi)部因素包括知識(shí)基礎(chǔ)、解題策略、元認(rèn)知、信念、動(dòng)機(jī)等。而實(shí)際上，這些內(nèi)部因素之間也是相互影響、相互滲透的。如解題策略的形成有賴于知識(shí)基礎(chǔ)，而動(dòng)機(jī)、信念、元認(rèn)知水平等深層次的因素也影響參與策略的水平。因此，策略的教學(xué)要充分整合各因素之間的相互影響，構(gòu)建完善的策略系統(tǒng)及各子系統(tǒng)。目前的大多數(shù)教學(xué)只關(guān)心正確地運(yùn)用策略，而對(duì)策略系統(tǒng)中的各因素的整合程度關(guān)注不夠。

1.監(jiān)控反思全過程，提升元認(rèn)知水平。

很多解題能力欠缺的學(xué)生，是因?yàn)椴荒芎芎玫卣瓶亟忸}計(jì)劃，對(duì)自己解題過程中的行為沒有清醒的認(rèn)識(shí)，不能在解題過程中恰當(dāng)?shù)卦u(píng)估解題策略及自己的思路與目標(biāo)之間的差距。元認(rèn)知可以幫助解題者監(jiān)控和調(diào)整自己的認(rèn)知過程，評(píng)估不同的解題思路，理解各種解題策略。元認(rèn)知對(duì)數(shù)學(xué)問題解決的影響，主要涉及以下三個(gè)方面的元認(rèn)知成分：一是個(gè)體對(duì)自己認(rèn)知特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)；二是個(gè)體的自我調(diào)節(jié)程序，包括對(duì)認(rèn)知過程的監(jiān)督和即時(shí)做出決策；三是個(gè)體對(duì)認(rèn)知過程的反思和評(píng)價(jià)。元認(rèn)知是策略水平的重要因素，促進(jìn)對(duì)策略系統(tǒng)的形成，而策略的教學(xué)過程也是形成元認(rèn)知的過程。

如在《假設(shè)的策略》的教學(xué)中，假設(shè)本就是思路，是一種方向，解題時(shí)需要解題者對(duì)這一方向進(jìn)行監(jiān)控。首先在出示例題后，引發(fā)思路：960毫升果汁倒入兩種杯子，你有什么想法？要是能把這兩種杯子變成同一種杯子，該多好??！你們有這種想法嗎？在學(xué)生擬定計(jì)劃之后，接著在實(shí)現(xiàn)假設(shè)的過程中讓學(xué)生對(duì)思考過程進(jìn)行監(jiān)控：我們把這種想法記錄下來：我想假設(shè)960 毫升果汁全部倒入（ ）杯。請(qǐng)你借助這些關(guān)系圖，在作業(yè)紙上畫一畫，你是如何實(shí)現(xiàn)你的假設(shè)的？最后交流反思：通過什么方法實(shí)現(xiàn)假設(shè)想法的？從哪里看出實(shí)現(xiàn)了假設(shè)？在教學(xué)中，需要讓學(xué)生對(duì)解題的計(jì)劃可視化，也可將一些中間問題記錄下來，從而引發(fā)學(xué)生對(duì)目標(biāo)的關(guān)注，緊盯目標(biāo)，隨時(shí)調(diào)整思路。對(duì)過程的反思，是元認(rèn)知培養(yǎng)的重要策略。研究表明，一個(gè)成熟的解題者，就是在過程中不斷通過自我反省，從而獲得對(duì)于自己所積累的解題策略的自覺認(rèn)識(shí)，并用明確的語言對(duì)此進(jìn)行刻畫。

2.思想方法統(tǒng)攝全局，提升策略水平。

策略與方法的上位概念是數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想對(duì)策略具有統(tǒng)領(lǐng)全局的作用。

以《假設(shè)的策略》教學(xué)為例。假設(shè)實(shí)質(zhì)上是化歸，替換實(shí)質(zhì)是消元，等量代換是實(shí)施化歸策略的重要手段與過程。把兩個(gè)未知量通過消元轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)未知量的問題，是解決多元方程組的基本思想。在此過程中，利用數(shù)量關(guān)系進(jìn)行推理，是學(xué)生思維發(fā)展的過程。策略的能力體現(xiàn)在對(duì)替換的目的、依據(jù)、方法要有清晰的把握上。

在用兩種方法完成假設(shè)目標(biāo)之后，形成板書（如下表），引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較：

小杯 大杯 總量 未知量 數(shù)量關(guān)系假設(shè)前： 6 2 960 2 個(gè) 復(fù)雜假設(shè)全小杯 6+3×2 960 1 個(gè) 簡(jiǎn)單假設(shè)全大杯 6÷3+2 960 1 個(gè) 簡(jiǎn)單

解決這個(gè)問題，為什么用假設(shè)的策略？?jī)煞N方法從哪里看出實(shí)現(xiàn)了假設(shè)？假設(shè)前兩個(gè)未知量，而假設(shè)后一個(gè)未知量，數(shù)量關(guān)系由復(fù)雜變簡(jiǎn)單。無論是假設(shè)全倒進(jìn)大杯或是小杯，有什么共同的地方？都是把“兩個(gè)未知量”看成“一個(gè)未知量”，假設(shè)后杯子的數(shù)量變了，但總?cè)萘渴遣蛔兊?。通過對(duì)策略的深度追問及反思，使學(xué)生對(duì)策略的理解由其包含的事實(shí)性內(nèi)容及其表述形式，轉(zhuǎn)向其“深層結(jié)構(gòu)”——策略內(nèi)在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，對(duì)策略的價(jià)值有了深刻的認(rèn)識(shí)。

元認(rèn)知關(guān)注全局，對(duì)絕大多數(shù)學(xué)生而言，假設(shè)策略的掌握并不難，困難的是“辨認(rèn)有效使用假設(shè)策略的條件”和“從幾條策略中選擇特殊的策略”。思想方法關(guān)注本質(zhì)，對(duì)策略具有整體的統(tǒng)領(lǐng)作用。

三、著重關(guān)聯(lián)，形成策略系統(tǒng)

在解決同類問題時(shí)，將解決該類型問題所用的知識(shí)、方法和手段，聯(lián)結(jié)成一種較為固定的模式，其聯(lián)結(jié)方式就成為思路、方法。到一定程度時(shí)，模式就演化為一種代表一類客體的概括性的內(nèi)部表征——原型。新手不能形成原型，只能解答與例題沒有變化的題目。策略的教學(xué)，就是要以思維把握思路、方法之間的聯(lián)系，促進(jìn)原型表征的形成。

在《假設(shè)的策略》教學(xué)中，首先出示一個(gè)不完全題目：一瓶果汁300 毫升，倒入兩個(gè)杯子里，正好倒?jié)M，你知道每個(gè)杯子的容量是多少？引發(fā)平均分的原型。當(dāng)出示“大杯容量比小杯容量多30 毫升”時(shí)，沖突引發(fā)假設(shè)：如果倒入的是同一種杯子，該多好啊！你們有這種想法嗎？其實(shí)，這種想法就是一種解題的策略——假設(shè)。例題的原型是平均分，而要形成新的原型，即如例題含有“兩個(gè)未知量”及“兩個(gè)未知量之間關(guān)系原型”，需要對(duì)方法、思路的本質(zhì)有所理解。對(duì)于兩個(gè)未知量的問題，實(shí)踐證明，有的學(xué)生擅長(zhǎng)列方程解答，方程解法也特別容易與中學(xué)接軌。在本課的教學(xué)中，方程解法該處于何地位？?jī)H是將設(shè)未知數(shù)中的“設(shè)”理解為假設(shè)這樣字面上的聯(lián)系嗎？顯然不是，暗含著的消元的思想是相通的。在教學(xué)中，此時(shí)展開交流，利用線段圖展示等量代換的過程。學(xué)生結(jié)合線段圖，能不能列出方程？比較：兩個(gè)未知量，為什么列方程時(shí)只假設(shè)了一個(gè)字母表示未知數(shù)？把另一個(gè)未知量替換了。雖然用的方法不一樣，但想法是一樣的，兩個(gè)未知量轉(zhuǎn)化為一個(gè)未知量。溝通聯(lián)系，使學(xué)生對(duì)假設(shè)策略適用的情境與實(shí)施方法容易建立起原型。

不同領(lǐng)域往往有不同的解題策略。一個(gè)良好的解題策略的形成取決于三個(gè)因素：知識(shí)結(jié)構(gòu)，信息加工方式和非智力因素。知識(shí)背景不同，同樣的問題也會(huì)有不同的策略，即使是使用同樣的策略，其表現(xiàn)形式、層次等也有差異。此時(shí)，需要尊重差異，學(xué)習(xí)并不是讓學(xué)生被動(dòng)接受哪一種方式，而是讓學(xué)生看到各種形式、層次之間的差異與相同之處，產(chǎn)生聯(lián)系，生成結(jié)構(gòu)。再如，畫圖的策略，每個(gè)學(xué)生所畫的圖都帶有很強(qiáng)的個(gè)性特征，關(guān)鍵在于讓學(xué)生對(duì)自己的圖有清晰的表達(dá)，不同圖的比較，關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)量關(guān)系的清晰表達(dá)。再如列表，橫向與縱向，雖然不同，但一一對(duì)應(yīng)，內(nèi)在思維是一致的。關(guān)聯(lián)，就是生成策略的“知識(shí)包”，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)生成的同時(shí)，協(xié)調(diào)其信息加工方式與非智力因素。