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        學(xué)會基于教材的延伸性思考

        2020-11-30 09:12:20黃秀旺
        初中生世界·九年級 2020年10期
        關(guān)鍵詞:延伸性外角圓心角

        黃秀旺

        教材是老師和同學(xué)們進(jìn)行教學(xué)活動的材料,是教學(xué)的主要媒介。蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級上冊“對稱圖形——圓”給出了一些重要定理,而對于數(shù)學(xué)問題的探究來說,我們?nèi)绻麑Χɡ碜鲆恍┭由煨缘乃伎?,會得到更有價值的結(jié)論,有助于提升解決問題的能力。

        一、教材對常用的結(jié)論做出了延伸性的結(jié)論

        基本定理:教材第45頁“圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等”,第55頁“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”。

        追問:圓周角的度數(shù)與它所對弧的度數(shù)之間的關(guān)系如何?

        因?yàn)閳A心角的度數(shù)與它所對弧的度數(shù)相等,圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半,所以圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半。

        例1 (2019·江蘇鹽城)如圖1,點(diǎn)A、B、C、D、E 在⊙O 上,且AB 為50°,則∠E+∠C= °。

        【解析】∠E 與∠C 均為圓周角,它們所對的弧分別是DCB、DEA,由于AB 為50° ,所以DCB 與DEA 的度數(shù)之和為360°-50°,即310°,根據(jù)“圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半”得到∠E+∠C=155°。

        例2 如圖2,AB 是半圓,O 為AB 的中點(diǎn),C、D 兩點(diǎn)在AB 上,且AD∥OC,連接BC、BD。若CD 為62° ,則∠ABD 為( )。

        【解析】根據(jù)題意,AB 是直徑,∠ADB=90°,又AD∥OC,所以O(shè)C⊥DB,根據(jù)垂徑定理,CD=BC,因?yàn)镃D 為62°,所以BC 也為62°??梢缘玫紸D 為56°,根據(jù)“圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半”得到∠ABD=28°。

        二、教材“練習(xí)”對定理做出延伸性的思考

        教材第60頁的練習(xí)3:如圖3,四邊形ABCD 是⊙O 的內(nèi)接四邊形,∠C=130°。求∠BOD 的度數(shù)。

        追問1:一般地,∠C 與∠BOD 有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

        根據(jù)教材第59頁“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”,第55頁“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”可以得到∠C+ ∠A=180° ,∠A=12∠BOD,所以∠C+12∠BOD=180°。

        例3 (2018·江蘇蘇州)如圖4,AB是半圓的直徑,O 為圓心,C 是半圓上的點(diǎn),D 是AC 上的點(diǎn),若∠BOC=40°,則∠D的度數(shù)為( )。

        【解析】根據(jù)互補(bǔ)得出∠AOC=180°-40°=140°,由延伸性思考可知12∠AOC+∠D=180°,所以∠D=110°。

        教材第60頁的練習(xí)2:如圖5,四邊形ABCD 是⊙O 的內(nèi)接四邊形,∠CBE 是它的一個外角。若∠D=100°,求∠CBE 的度數(shù)。

        追問2:一般地,∠CBE 與∠D 有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

        【解析】根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”得到∠D+ ∠ABC=180°,又∠ABC+∠CBE=180°,所以∠CBE=∠D,即外角等于它的內(nèi)對角。

        例4 (2019·貴州銅仁)如圖6,四邊形ABCD 為⊙O 的內(nèi)接四邊形,∠A=100°,則∠DCE 的度數(shù)為。

        【解析】根據(jù)延伸性思考得到外角等于它的內(nèi)對角,所以∠DCE= ∠A=100°。

        三、基于解題經(jīng)驗(yàn)對定理做出延伸性的思考

        基本定理:教材第47頁“垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧”,第55頁“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”。

        如圖7,AB 是⊙O 的直徑,CD 是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足為P。

        追問:如圖7,除了∠COB,還有哪個角與∠BOD 相等?

        【解析】根據(jù)已知條件,利用垂徑定理可以知道BC=BD,再根據(jù)“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”,可以得到∠CAD=∠BOD。此結(jié)論的應(yīng)用也較為廣泛。

        例5 (2013·江蘇南京)如圖8,AD是⊙O 的切線,切點(diǎn)為A,AB 是⊙O 的弦。過點(diǎn)B 作BC∥AD,交⊙O 于點(diǎn)C,連接AC,過點(diǎn)C 作CD∥AB,交AD 于點(diǎn)D。連接AO 并延長交BC 于點(diǎn)M,交過點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P,且∠BCP=∠ACD。

        試判斷直線PC 與⊙O 的位置關(guān)系,并說明理由。

        【解析】如圖9,連接OC,由以上延伸性思考可知∠POC=∠BAC。由AB∥DC得∠ACD=∠BAC,所以∠POC=∠BCP。而由切線AD 的性質(zhì)及BC∥AD 可知∠OMC=90° ,所以∠POC+ ∠MCO=90° ,從而∠BCP+ ∠MCO=90° ,易判斷直線PC 與⊙O 的位置關(guān)系。

        當(dāng)然,圓這一章還有一些定理也可以做出延伸性思考,這就要求同學(xué)們善于把握知識之間的聯(lián)系,從聯(lián)系中獲得新知;也要善于總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn),從解題經(jīng)驗(yàn)中獲得新知。許多中考試題源于教材,在教材的例習(xí)題基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展延伸,如果我們在平時的學(xué)習(xí)中,主動思考,一定會提升解決復(fù)雜問題的能力。

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