王力梅，霍麗芳

(1.天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 天水 741000；2.河北建筑工程學(xué)院 數(shù)理系，河北 張家口 075000)

0 引 言

最近幾年，由于切換系統(tǒng)在交通控制、智能機(jī)器人、化學(xué)控制等實際應(yīng)用中的重要作用，許多人對切換系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究[1-5]。切換系統(tǒng)是由有限個連續(xù)的或離散的子系統(tǒng)和一個切換率構(gòu)成，切換率決定在切換時刻哪個子系統(tǒng)被激活。J.LIANG[6-7]將切換系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)果推廣到分?jǐn)?shù)階，研究了分?jǐn)?shù)階切換系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性及輸入輸出有限時間穩(wěn)定性。在許多理想的情況下，控制器和系統(tǒng)的切換是同步的。但是，在許多情況下，當(dāng)控制器得到的切換信號延遲于系統(tǒng)的切換時，閉環(huán)系統(tǒng)會有一個異步的切換。顯然，這種情況更具有真實性和研究的價值。同時，對于有些系統(tǒng)，研究短時間內(nèi)的性能更具有理論和應(yīng)用價值，H.LIU等[8]考慮了異步的有限時間H∞性能問題。輸出跟蹤控制問題也是許多人關(guān)注的熱門話題，H.LIU等[8]利用平均駐留時間方法，討論了有時變延遲的正切換系統(tǒng)的指數(shù)L1輸出跟蹤控制。

在真實的控制系統(tǒng)中，由于受到各種環(huán)境因素的影響，執(zhí)行器失效是經(jīng)常發(fā)生的。另外，研究穩(wěn)定性是控制領(lǐng)域的一個熱門話題，許多學(xué)者研究了時間趨于無窮時的漸進(jìn)行為。在實際中，對于有些系統(tǒng)研究有限時間內(nèi)的系統(tǒng)性能是非常必要的。因此，本文使用李雅普諾夫方法和平均駐留時間方法研究了考慮執(zhí)行器失效下的有限時間輸出反饋問題，得出執(zhí)行器失效下的有限時間輸出反饋控制的充分條件。

1 問題陳述

(1)

(2)

考慮如下系統(tǒng)

z(t)=Cx(t)

(3)

這里x(t)∈Rn是狀態(tài)，u(t)∈Rp是控制輸入，z(t)∈Rq是測量輸出，{w(t)∈Rs|w(t)∈L2[0,∞)}是干擾輸入，A、B、C是適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

(4)

zr(t)=Grxr(t)

(5)

這里xr(t)∈Rn是參考狀態(tài),r(t)∈Rn是有界的參考輸入信號，zr(t)∈Rq是參考輸出，Ar是Hurwitz矩陣，Gr是適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

狀態(tài)反饋控制器設(shè)計為

u(t)=Kx(t)+xr(t)

(6)

(7)

則系統(tǒng)(3)簡化為如下的切換系統(tǒng)

z(t)=Cx(t)

(8)

其中A1=A2=A,B1=B,B2=Bω。

(9)

2 有限時間穩(wěn)定性分析

(10)

(11)

(12)

那么，在以下平均駐留時間機(jī)制下

(13)

證明取李雅普諾夫函數(shù)

(14)

V1(t)≤eα(t-t0)V1(t0)

(15)

V2(t)≤e-β(t-t0)V2(t0)

(16)

假設(shè)執(zhí)行器在區(qū)間[t2j,t2j+1)內(nèi)工作，V1(t)在區(qū)間[t2j,t2j+1)內(nèi)被激活；執(zhí)行器在區(qū)間[t2j+1,t2j+2]內(nèi)失效，V2(t)在區(qū)間[t2j+1,t2j+2)內(nèi)被激活，j=1,2,…

(17)

并且由(11)知，V1(t)≤μV2(t),V2(t)≤μV1(t),

當(dāng)t∈[t2j,t2j+1)時，V(t)≤eα(t-t2k)V(t2k)

≤μeα(t-t2k)V(t2k-)

≤μeα(t-t2k)e-β(t2k-t2k-1)V(t2k-1)

≤…

≤μN(yùn)σ(0,t)eα(t-Tu(t))e-βTu(t)V(0)

(18)

當(dāng)t∈[t2j+1,t2j+2)時，類似地有

V(t)≤μN(yùn)σ(0,t)eα(t-Tu(t))e-βTu(t)V(0)

(19)

因此，對于任意的

由(16),(17)知t∈[t2k,t2k+2)

V(t)≤μN(yùn)σ(0,t)eα(t-Tu(t))e-βTu(t)V(0)

(20)

(21)

由(16),(17)得

V(t)≤μN(yùn)σ(0,Tf)ea*TfV(0)

(22)

(23)

3 輸出跟蹤控制其設(shè)計

(24)

通過求解矩陣不等式即可得到控制增益，那么存在形式為(6)的狀態(tài)反饋控制器，使得增廣的閉環(huán)系統(tǒng)(9)是有限時間穩(wěn)定的。而且，形式為(6)的控制增益矩陣為

(25)

4 結(jié) 論

本文討論了執(zhí)行器失效的跟蹤控制問題，給出等價的系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定的充分條件。利用李雅普諾夫函數(shù)和平均駐留時間機(jī)制方法分析了系統(tǒng)在有限的時間內(nèi)的穩(wěn)定性，并通過使用矩陣不等式方法給出了相應(yīng)的控制器的設(shè)計方法。今后還將進(jìn)一步考慮不確定的跟蹤控制問題。