楊 友，謝宇鵬，李 晗，劉亞利

(1.河北北方學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，河北 張家口 075000;2.河北北方學(xué)院 農(nóng)林科技學(xué)院,河北 張家口 075000;3.河北北方學(xué)院 理學(xué)院,河北 張家口 075000)

債券是發(fā)行者以籌集資金為目的，約定自購買方購買后，在某一時(shí)間支付購買方某一比例的利息，并在到期時(shí)償還本金的一種有價(jià)證券。債券作為一種債權(quán)債務(wù)憑證，與其他有價(jià)證券一樣，也是一種虛擬資本，具有償還性、流動(dòng)性、安全性和收益性等特征。據(jù)中國經(jīng)濟(jì)監(jiān)測中心調(diào)查表明，隨著國內(nèi)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的投資意識(shí)逐漸增強(qiáng)，而且隨著股市的調(diào)整，債券的投資價(jià)值重新得到市場的公認(rèn)。對于投資者而言，依據(jù)債券的自身特性和投資環(huán)境，如何選擇合適的方案來進(jìn)行債券組合投資就顯得十分重要。

眾多投資者和研究人員對債券組合投資方案設(shè)計(jì)的關(guān)注點(diǎn)伴隨時(shí)間的推移也在不斷發(fā)生變化。在20世紀(jì)60年代至70年代初，投資者由通過償還期策略被動(dòng)投資轉(zhuǎn)變成為債券投資組合；70年代到80年代初，由于投資環(huán)境的改變，債券市場的收益產(chǎn)生劇烈波動(dòng)；此后，中國逐漸出現(xiàn)了更多的免疫策略來滿足機(jī)構(gòu)投資者的新需求[1]。2020年初，隨著新冠肺炎疫情的暴發(fā)，生產(chǎn)、消費(fèi)需求驟減，實(shí)體經(jīng)濟(jì)受到嚴(yán)重沖擊，許多企業(yè)面臨經(jīng)營困難。為應(yīng)對疫情、支持企業(yè)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，國家及政府部門紛紛出臺(tái)扶持政策，因此資本市場也加大了對疫情防控領(lǐng)域的支持力度，疫情防控債券應(yīng)運(yùn)而生，成為這個(gè)特殊時(shí)期市場關(guān)注的熱點(diǎn)[2]。眾多學(xué)者采用多種理論和方法對投資組合做出不同的分析，L.Duan[3]把動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論應(yīng)用在多期均值方差模型上，得到投資組合有效邊界的解析式，并為投資組合提供了理論參考。丁秀英等[4]采用波動(dòng)調(diào)整法分別對CM、CPPI和TIPP策略績效進(jìn)行探究，證明在市場不同價(jià)格期，采用最優(yōu)配置可以為求解投資者的個(gè)人跨期動(dòng)態(tài)投資組合保險(xiǎn)決策問題提供依據(jù)。R.C.Merton[5]在研究資產(chǎn)組合收益時(shí)認(rèn)為托賓分離定律考查的是單期的情形，而Canner得出隨著投資風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)升高，債券與股票投資的比例也隨之升高。姚遠(yuǎn)等[6]在Merton得出最優(yōu)投資組合和消費(fèi)模型的基礎(chǔ)上，對動(dòng)態(tài)投資組合保險(xiǎn)建模進(jìn)行了擴(kuò)展，從而得到保險(xiǎn)者最優(yōu)的投資策略，以及明確了投資模型策略與市場風(fēng)險(xiǎn)的相關(guān)性；金晶晶[7]利用Lingo對某數(shù)學(xué)規(guī)劃模型進(jìn)行求解，探討LINGO在求解較大規(guī)模數(shù)學(xué)規(guī)劃模型中發(fā)揮的作用。另外，為探討資產(chǎn)收益可預(yù)測性對投資者如何選擇最優(yōu)資產(chǎn)組合的影響，楊朝軍、陳浩武等[8]以國內(nèi)證券市場歷史數(shù)據(jù)為依據(jù)，從而進(jìn)一步證實(shí)在長期投資期限下，股票市場收益具有一定的可預(yù)測性，為不同投資者提供資產(chǎn)配置建議。陳志明等[9]將債券的信用風(fēng)險(xiǎn)作為投資收益的內(nèi)生變量，得出違約率對債券投資的影響要大于收益率的影響，債券組合投資方案的制定應(yīng)著重考慮風(fēng)險(xiǎn)因素。王偉等[10]研究了58個(gè)母國的頭寸數(shù)據(jù)，對雙邊債券類FPI進(jìn)行實(shí)證研究，發(fā)現(xiàn)國家風(fēng)險(xiǎn)對于雙邊債券類FPI的影響會(huì)隨著金融風(fēng)險(xiǎn)的轉(zhuǎn)移而發(fā)生變化，其影響是多角度的、不對稱的。信懷義[11]對2003年至2016年的政府證券統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)合債券組合收益曲線研究債券組合利率風(fēng)險(xiǎn)對投資策略的影響，對商業(yè)銀行的債券投資操作提出優(yōu)化策略。

綜上所述，以上研究者在債券組合投資方案設(shè)計(jì)方面做出了較為深入的研究，但是將線性規(guī)劃數(shù)學(xué)建模應(yīng)用于債券組合投資方案研究的較少，所以本研究以2020年河北省研究生建模競賽題目B題為案例，探究Lingo在債券組合投資方面的應(yīng)用，分析債券投資的風(fēng)險(xiǎn)與收益，以實(shí)現(xiàn)債券組合投資的利益最大化為目標(biāo)，建立債券高收益規(guī)劃模型，探索更加科學(xué)合理的債券組合投資方案。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 債券投資組合

債券投資組合是投資人或者金融機(jī)構(gòu)基于安全性和收益性的雙重考慮，利用所持有資金對債券及其衍生產(chǎn)品進(jìn)行多層面、多領(lǐng)域的組合，將安全性較高的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和收益性較高的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)不斷優(yōu)化組合，既使得債券投資組合有效地遠(yuǎn)離風(fēng)險(xiǎn)，又可以讓投資收益趨向最大化。

1.2 線性規(guī)劃

線性規(guī)劃是眾籌學(xué)中一個(gè)重要分支，是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法，常與數(shù)學(xué)模型有機(jī)結(jié)合，以約束條件為約束取得目標(biāo)極值。在節(jié)省人力、物力與財(cái)力等資源的前提下，為戰(zhàn)略決策的制定做出最優(yōu)方案，為方案設(shè)計(jì)的制定提供科學(xué)的依據(jù)，因此線性規(guī)劃普遍應(yīng)用工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理和軍事作戰(zhàn)等諸多方面。通常情況下，使用線性規(guī)劃建立數(shù)學(xué)模型的步驟：第一，歸納目標(biāo)函數(shù)和約束條件；第二，在坐標(biāo)系中標(biāo)出已歸納好的約束條件及其約束區(qū)域；第三，計(jì)算約束區(qū)域中目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解及其對應(yīng)的最優(yōu)值。

1.3 LINGO應(yīng)用

LINGO是一套專門用于求解最優(yōu)化問題的軟件包，內(nèi)置建模語言，可以用于提供多個(gè)內(nèi)部函數(shù)，是集數(shù)值、符號(hào)、圖形處理以及程序編碼、建模設(shè)計(jì)等強(qiáng)大功能于一體的專用型軟件，該軟件由美國LindoSystem Inc.開發(fā)。主要用于求解線性規(guī)劃問題和二次規(guī)劃問題，尤其對求解線性方程組與非線性方程組具有較強(qiáng)的計(jì)算能力。

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 數(shù)據(jù)來源

研究所采用的數(shù)據(jù)來源于2020年河北省第三屆研究生數(shù)學(xué)建模競賽B題，為了方便問題的分析，需要假設(shè)數(shù)據(jù)不存在誤差，真實(shí)可靠，內(nèi)容如下。

2020年，新冠肺炎全球蔓延，嚴(yán)重影響了世界福祉。為刺激經(jīng)濟(jì)發(fā)展，M國計(jì)劃發(fā)行各類代號(hào)為“拯救地球”的國家緊急債券(SEB),債券到期年限有2、3、4、5、9、12、15、18、20、25年等10種，債券每年初發(fā)行，發(fā)行時(shí)間為2021年至2049年，債券每年末兌現(xiàn)，兌現(xiàn)有效截止時(shí)間為2050年。債券服務(wù)范圍涵蓋醫(yī)藥健康、交通運(yùn)輸、科技研發(fā)、裝備制造、國民福利五大領(lǐng)域，債券到期后，允許債券購買者所在的地方政府收取稅率不等的稅收。債券類型、到期年限、收益率、稅收比率等見表1。

未來教育基金會(huì)(以下稱FFE)計(jì)劃在2050年前(含2050年)向M國部分高等院校捐助一筆經(jīng)費(fèi)以幫助貧困學(xué)生。為了增加捐助金額，F(xiàn)FE將現(xiàn)有的8 000萬美元資金進(jìn)行債券投資，為謹(jǐn)慎起見，F(xiàn)FE委托風(fēng)險(xiǎn)機(jī)構(gòu)對各類債券進(jìn)行了風(fēng)險(xiǎn)等級評估，同時(shí)，F(xiàn)FE制定了投資要求：①醫(yī)藥健康債券購買金額不得少于債券購買總金額的20%，其余每個(gè)行業(yè)的債券購買總金額不得少于債券購買總金額的10%；②所購債券的平均風(fēng)險(xiǎn)等級不得低于2.5，等級數(shù)字越大風(fēng)險(xiǎn)越低；③要求所購買的債券的平均到期年限不超過10年；④要求捐助活動(dòng)結(jié)束后FFE繼續(xù)保留8 000萬美元資金。

若SEB債券投資只允許在第一年初進(jìn)行，那這些投資將分別在第2、3、4、5、9、12、15、18、20、25年收回本金和收益，8 000萬美元資金如何分配，使得15個(gè)產(chǎn)品的總收益達(dá)到最大。

表1 各類債券及其屬性

2.2 模型假設(shè)

(1)假設(shè)模型中涉及債券的風(fēng)險(xiǎn)等級、地方政府稅率和到期稅前收益率等本身性質(zhì)是不會(huì)因?yàn)闀r(shí)間的變化而發(fā)生改變，上述五大類債券的收益只與現(xiàn)實(shí)的客觀環(huán)境有關(guān)，不會(huì)因?yàn)閭€(gè)人的主觀因素、資金量或者資金鏈條的變化而發(fā)生改變。

(2)假設(shè)模型中的債券投資數(shù)額不全為整數(shù)，并且可以在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)按債券的不同類型對總投資額采取不同的分配方式。

3 模型建立

3.1 決策變量定義

進(jìn)行線性規(guī)劃模型建立時(shí)，需先依據(jù)各債券性質(zhì)表示決策變量，總結(jié)目標(biāo)函數(shù)以及約束條件。為方便描述和分析，研究將三類醫(yī)療健康債券的投資金額用x1、x2、x3表示，將三類交通運(yùn)輸債券的投資金額用x4、x5、x6表示，將三類科技研發(fā)債券的投資金額用x7、x8、x9表示，將三類裝備制造債券的投資金額用x10、x11、x12表示，將三類國民福利債券的投資金額用x13、x14、x15表示。

3.1.1 目標(biāo)函數(shù)

模型中，將債券投資收益設(shè)為y，依據(jù)上述題意，各個(gè)領(lǐng)域的債券有著不同的風(fēng)險(xiǎn)等級和地方政府稅率，交通運(yùn)輸領(lǐng)域、裝備制造領(lǐng)域和國民福利領(lǐng)域的地方政府稅率分別為20%、10%和30%，而醫(yī)藥健康領(lǐng)域和科技研發(fā)領(lǐng)域的地方政府稅率為0%，由此可看出不同的債券領(lǐng)域有著不同的實(shí)際收益，依據(jù)題目實(shí)際情況，列出的目標(biāo)函數(shù)：

y=0.0445x1+0.3989x2+2.3211x3+0.064x4+0.46616x5+2.40432x6+0.1255x7+1.8009x8+2.3211x9+0.11295x10+0.35901x11+1.85508x12+0.03115x13+0.13139x14+1.44284x15

3.1.2 約束條件

(2)分行業(yè)債券購買金額約束。中醫(yī)藥健康債券購買金額不得少于債券購買總金額的20%，其余每個(gè)行業(yè)的債券購買總金額不得少于債券購買總金額的10%，即x1+x2+x3≥1600，x4+x5+x6≥800，x7+x8+x9≥800，x10+x11+x12≥800，x13+x14+x15≥800。

(5)非負(fù)條件約束。即xi≥0;i=1,2,3…13,14,15。

3.2 模型計(jì)算

圖1 程序輸入

基于賽題分析得知，研究涉及案例的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)屬于一般小規(guī)模問題，使用LINGO 11.0對上述線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解，LINGO編程的一般步驟為：(1)確保模型正確，定義數(shù)據(jù)的類型和意義；(2)確定指標(biāo)集以便于定義集合；(3)確定已知的程序變量、決策變量及其依賴的指標(biāo)集；(4)正確書寫目標(biāo)函數(shù)和約束條件；(5)使用LINGO進(jìn)行計(jì)算。對研究的LINGO編程做以下說明：軟件編程以“model”開始，以“end”結(jié)束，不同的指標(biāo)集用“；”隔開，LINGO中輸入的初始數(shù)據(jù)即決策變量皆默認(rèn)為非負(fù)實(shí)數(shù)，LINGO編程中采用的數(shù)學(xué)符號(hào)“≥”和“>”意義相同，“≤”和“<”意義也相同。研究的程序輸入如圖1所示，程序輸出結(jié)果如圖2所示。

圖2 程序輸出結(jié)果

3.2.1 結(jié)果分析

由圖2可知，LINGO經(jīng)過9次迭代，求出該線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解為x1=1 066.67，x2=0，x3=533.33，x4=800.00，x5=0.00，x6=0.00，x7=0.00，x8=4 000.00，x9=0.00，x10=800.00，x11=0.00，x12=0.00，x13=800.00，x14=0.00，x15=0.00，最優(yōu)值為8 655.467。

以上述線性規(guī)劃建模結(jié)果進(jìn)行分析，若SEB債券投資只允許在第一年初進(jìn)行即不進(jìn)行重復(fù)投資，并且在所購債券的平均風(fēng)險(xiǎn)等級不得低于2.5，所購買的債券的平均到期年限不超過10年的情況下，分別在第2、3、4、5、9、12、15、18、20、25年收回本金和收益，想使得15個(gè)產(chǎn)品的總收益達(dá)到最大，則應(yīng)按照如下方案進(jìn)行投資：在醫(yī)藥健康債券領(lǐng)域中，到期年限為2年和20年的分別投資1 166.67萬和533.33萬美元，到期年限為9年的不投資；在交通運(yùn)輸債券領(lǐng)域中，到期年限為3年的投資800萬美元，到期年限為12年和25年的不投資；在科技研發(fā)債券領(lǐng)域中，到期年限為15年的投資4 000萬美金，到期年限為4年和20年的不投資；在裝備制造債券領(lǐng)域中，到期年限為4年的投資800萬美元，到期年限為9年和18年的不投資；在國民福利債券領(lǐng)域中，到期年限為2年的投資800萬美元，到期年限為5年和18年的不投資。

若將8 000萬美元按上述方式投資，可使得15個(gè)產(chǎn)品總收益達(dá)到最大，且最大總收益為8 655.47萬美元。

4 結(jié)論與討論

由于各資產(chǎn)的安全性及風(fēng)險(xiǎn)變化差異較大,因此在采用債券組合投資方案進(jìn)行資產(chǎn)配置時(shí)，應(yīng)盡力避免極端風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)生導(dǎo)致資產(chǎn)收益損害。使用線性規(guī)劃模型建立債券投資組合數(shù)學(xué)模型，再通過LINGO計(jì)算出債券組合的最優(yōu)解，得到不同債券的投資分配方案，使得投資利益最大化，達(dá)到優(yōu)化債券組合投資方案的目的。

通過線性規(guī)劃數(shù)學(xué)建模和LINGO計(jì)算，可以找出實(shí)現(xiàn)利益最大化的債券組合投資方案，在軟件操作上有便捷、快速和可視化等優(yōu)勢，可以綜合考慮不同債券的信用等級、到期年限、到期稅前收益等實(shí)際問題。運(yùn)用線性規(guī)劃理論適當(dāng)設(shè)置約束條件，可以建立一個(gè)合理的債券組合投資模型，LINGO可以提高解析速度和降低求解難度，讓各項(xiàng)數(shù)據(jù)更科學(xué)、準(zhǔn)確，給債券投資方案設(shè)計(jì)提供新思路。需要注意的是，債券投資的收益情況受眾多市場和非市場因素影響，優(yōu)化債券投資方案僅是人為對投資方案預(yù)先評價(jià)和考量，以便為投資人提供債券組合投資的參考意見，所以，現(xiàn)實(shí)操作的債券投資實(shí)施方案還需考慮市場等諸多因素的影響，才能讓投資的收益更大、風(fēng)險(xiǎn)更低。