武紅光，周端美，丁佳文

(贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州 341000)

1 引言

令A(yù)是一個給定的n×n的復(fù)數(shù)矩陣,滿足A2=0.本文主要是求解非線性二次矩陣方程

AXA=XAX

(1)

的所有反交換解,其中X是一個未知需求解矩陣.反交換解就是解X與矩陣A是反交換,即解X滿足AX=-XA.方程(1)也被稱為Yang-Baxter矩陣方程,因為它在形式上和經(jīng)典的Yang-Baxter矩陣方程[1-2]相似.Yang-Baxter方程首次由諾貝爾獎得主楊振寧教授在理論物理學(xué)[3]中和R.J.Baxter在統(tǒng)計力學(xué)[1]中各自提出.后來該方程成為數(shù)學(xué)物理學(xué)中的一個基本方程,更確切的說是量子群理論的入門的基本方程[3],同時在扭結(jié)理論、量子場論、C*-代數(shù)、環(huán)鏈不變量、量子群、保形場論和非交換幾何中起著至關(guān)重要的作用[3-5].Yang-Baxter方程有多種形式,最簡單的是常數(shù)Yang-Baxter方程,這是由N2×N2矩陣R為元素的N6三次方程組,其形式為R12R13R23=R23R13R12.一個更復(fù)雜的Yang-Baxter方程形式是矩陣R依賴一個或兩個參數(shù)R12(u)R13(u+v)R23(v)=R23(v)R13(u+v)R12(u).很多科學(xué)家對Yang-Baxter方程已求得多種解,比如通過定性方式或定量方式.但是,對所有不同類型的解仍然是懸而未決的問題.

近年來,由于它與純數(shù)學(xué)領(lǐng)域(例如原始方程)的密切聯(lián)系,引起了該研究的眾多數(shù)學(xué)家的關(guān)注,并將Yang-Baxter方程簡化成(1)式的非線性二次矩陣方程.對于各類已知矩陣已經(jīng)找出了方程(1)的部分解[6-11].目前大多數(shù)解是交換解.雖然在不同的情況下對解的結(jié)構(gòu)有許多結(jié)論,但至今還沒有一般理論和方法來求解二次矩陣方程(1).

要找到方程(1)的解,一種常用的方法是通過對矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型結(jié)構(gòu)來求解.最簡單的非平凡Jordan塊是特征值為0的2×2塊矩陣.即使在這種特殊情況下,目前還沒有關(guān)于一般反交換解的結(jié)果.當(dāng)A是一個指數(shù)為2的冪零矩陣時,即A2=0,本文將求解矩陣方程(1)的所有反交換解.

2 A2=0的反交換解

W-1AW=J≡diag(0,J0,…,J0),

其中W是非奇異矩陣,0是(n-2k)×(n-2k)零矩陣,J0的個數(shù)有k個.顯然J中J0的個數(shù)等于A的秩.本文后面總是假設(shè)A的秩為k.通過文獻(xiàn)[8]可以知道,如果J是A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,那么求解非線性二次矩陣方程(1)就可以轉(zhuǎn)化為求解一個簡化的非線性二次矩陣方程,即用A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型來替代A.

引理1如果兩個矩陣A和X滿足AXA=XAX和AX=-XA,那么對于任意非奇異矩陣W,矩陣B=W-1AW和Y=W-1XW滿足BYB=YBY和BY=-YB.反過來說,如果B=W-1AW,Y是上述方程的解,則X=WYW-1滿足AXA=XAX和AX=-XA.

證明若B=W-1AW和Y=W-1XW,則由AXA=XAX和AX=-XA得WBW-1WYW-1WBW-1=WYW-1WBW-1WYW-1和WBW-1WYW-1=-WYW-1WBW-1.即BYB=YBY和BY=-YB.

反之,若B=W-1AW滿足BYB=YBY和BY=-YB,則W-1AWYW-1AW=YW-1AWY和W-1AWY=-YW-1AW,即AWYW-1A=WYW-1AWYW-1和AWYW-1=-WYW-1A.因此,X=WYW-1滿足AXA=XAX和AX=-XA.證畢.

非線性二次矩陣方程(1)的所有的解的具體形式目前還沒有找到,它的結(jié)構(gòu)也不清楚.即使系數(shù)矩陣A滿足A2=0也不清楚.令J2,k=diag(J0,…,J0),其中k是J2,k中J0的個數(shù).非線性二次矩陣方程J2,2YJ2,2=YJ2,2Y等價于一個多項式方程組

所以即使低階的非線性二次矩陣方程(1)在A2=0條件下也是不易求解.

接下來將給出本文的主要定理,即在A2=0條件下,給出非線性二次矩陣方程(1)的所有反交換解的結(jié)構(gòu).

定理1令A(yù)是一個指數(shù)為2,秩為k的n階冪零矩陣,且W-1AW=J=diag(0,J2,k).則非線性二次矩陣方程(1)的所有反交換解為X=WYW-1,其中

(2)

M∈C(n-2k)×(n-2k),u2i,v2i-1∈(n-2k),cij∈,i,j=1,2,…,k任意.bij∈,i,j=1,2,…,k構(gòu)成的矩陣

滿足B2=0.

證明由引理1知,求解AXA=XAX,AX=-XA可以轉(zhuǎn)化為求解JYJ=YJY,JY=-YJ,其中Y=W-1XW.把Y分成與J相同的分塊矩陣

由非線性二次矩陣方程JYJ=YJY及UiJ0=0和J0Vi=0,i=1,2,…,k可得

由上式知,矩陣M任意,且

滿足B2=0.綜上可得(2)式解的結(jié)構(gòu).證畢.

注記1若A=J2,2,則A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型就等于它本身.根據(jù)定理1可得非線性二次矩陣方程(1)的所有反交換解為

滿足AX1A=X1AX1=0,但是AX1≠-X1A.

3 結(jié)論

當(dāng)系數(shù)矩陣A是一個指數(shù)為2的冪零矩陣,通過對冪零矩陣的性質(zhì)分析給出A的Jordan分解A=WJW-1及相應(yīng)的Jordan矩陣J的結(jié)構(gòu).然后將非線性二次矩陣方程AXA=XAX的求解轉(zhuǎn)化成JYJ=YJY.同時將反交換解條件AX=-XA轉(zhuǎn)化為JY=-YJ.基于JYJ=YJY和JY=-YJ及其J和Y分塊形式,最終找到Y(jié)的解的結(jié)構(gòu).最后得到了非線性二次矩陣方程AXA=XAX的所有反交換解.本文的方法和技巧也許可運用于求解在A3=0條件下非線性二次矩陣方程(1)的所有反交換解，甚至可能推廣到在Ak=0(k∈+)的條件下求解非線性二次矩陣方程(1)的所有反交換解.這將是以后的一個研究方向.