鄭建鋒

【摘 ? 要】學(xué)生把“=”理解為“算式與答案的連接符號(hào)”“開始計(jì)算的固定信號(hào)”，不僅狹隘，甚至還有錯(cuò)誤。“=”本身的“一詞多義”和教材安排的失衡是造成學(xué)生片面理解的重要原因。因此教師在教學(xué)中要改變“=”總是被簡單教學(xué)的現(xiàn)象，適時(shí)幫助學(xué)生打破算式在等號(hào)左邊、結(jié)果在等號(hào)右邊的觀念，逐步建立等號(hào)表示等量的觀念，豐富對(duì)等號(hào)意義的理解。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);教學(xué);等號(hào)意義

“=”是學(xué)生較早認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)符號(hào)，表示左右兩邊相等的意思。但學(xué)生對(duì)等號(hào)的理解不僅狹隘，甚至還有錯(cuò)誤。這是什么原因造成的呢？和教學(xué)有關(guān)系嗎？教師應(yīng)該怎樣促進(jìn)學(xué)生對(duì)“=”意義的正確理解？

一、學(xué)生錯(cuò)法雷同

在學(xué)習(xí)了萬以內(nèi)進(jìn)位加減法后，練習(xí)中有這樣一道題：615+385=□+140=□-207=□。本以為這是一道很普通的題，但學(xué)生的答題情況卻讓筆者不敢再“輕視”這樣的題。學(xué)生的答案好像事先商量好似的，幾乎一樣（如圖1）。

這是偶然的嗎？其他班級(jí)的學(xué)生也會(huì)這樣做嗎？筆者對(duì)另外3個(gè)平行班的學(xué)生進(jìn)行了測試，結(jié)果“癥狀”相似，統(tǒng)計(jì)如下表。

“=”是學(xué)生很早認(rèn)識(shí)并運(yùn)用頻繁的一個(gè)非?！昂唵巍钡姆?hào)，可事實(shí)好像并不是這樣。

題中的式子與學(xué)生見到的一般算式不太一樣，圖1中呈現(xiàn)的式子特別“長”，“=”后又是一個(gè)算式，在學(xué)生的觀念中，一個(gè)算式的“=”之后緊跟著的應(yīng)該是一個(gè)計(jì)算結(jié)果。

二、學(xué)生所理解的“=”

從以上例子我們可以看出學(xué)生理解的“=”和其含義不完全對(duì)等?！暗扔谔?hào)像小橋，算對(duì)了，過了橋，算錯(cuò)了，過不了”，這首兒歌多少能反映學(xué)生對(duì)“=”意義理解的角度，“=”傳遞給學(xué)生的信息和“算”“結(jié)果”這些詞相關(guān)。因此，在學(xué)生的理解中，“=”是算式與答案的連接符號(hào)或分隔符號(hào)，有了“=”，就可以把左邊算式的答案在右邊寫下來，等號(hào)被看成是“開始計(jì)算算式的固定信號(hào)”。等號(hào)像一個(gè)程序，看到等號(hào)，學(xué)生就不假思索地開始計(jì)算。為了弄清楚學(xué)生對(duì)等號(hào)的理解，筆者把等號(hào)的意義和學(xué)生的理解做了一個(gè)對(duì)比。

學(xué)生對(duì)等號(hào)的理解往往停留在“算術(shù)”中，僅僅將它作為得出運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)，而要把等號(hào)理解為等量關(guān)系的表示，應(yīng)該是“代數(shù)”中的事情了。那么，為何學(xué)生在很長的一段時(shí)間內(nèi)，對(duì)等號(hào)的理解沒能跳出“算術(shù)”，拓展到“代數(shù)”中呢？

三、“=”被簡單地教學(xué)

數(shù)學(xué)符號(hào)的“一詞多義”往往造成學(xué)生理解上的片面性，因?yàn)槊鎸?duì)的是相同的視覺對(duì)象，而它們表達(dá)的意義卻并不一定相同?！?”就是一個(gè)“一詞多義”的符號(hào)，那么，除了視覺對(duì)象有時(shí)并不等于思維對(duì)象而造成學(xué)生理解上的困難之外，還有別的原因嗎？是不是學(xué)生代數(shù)思維發(fā)展滯后所造成的呢？

曾有研究指出，孩子在9～10歲的時(shí)候能夠擴(kuò)大對(duì)等號(hào)意義的理解，用字母表征未知數(shù)，用變量表征關(guān)系，計(jì)算未知數(shù)，甚至能解帶字母符號(hào)的一元一次方程?？磥磉@和學(xué)生代數(shù)思維發(fā)展滯后有關(guān)，那么，和我們的教學(xué)有關(guān)系嗎？

在人教版教材中，學(xué)生第一次接觸等號(hào)是在一年級(jí)上冊“數(shù)的大小比較”一課中，兩個(gè)數(shù)的大小比較有兩類：一類相等，一類不等。之后，學(xué)生開始在運(yùn)算中使用等號(hào)，如3+4=7，等號(hào)被理解為“得出”，學(xué)生只是把等號(hào)簡單地看成得出運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)。盡管教師會(huì)強(qiáng)調(diào)“兩邊相等，就用等號(hào)表示”，暗示等號(hào)的意義，但學(xué)生由于年齡、思維的特點(diǎn)，把等號(hào)理解為表示計(jì)算的結(jié)果是十分自然的。但問題在于，之后很長的一段時(shí)間內(nèi)，等號(hào)的意義沒有得到新的拓展。直到五年級(jí)上冊學(xué)習(xí)“簡易方程”時(shí)，才賦予等號(hào)“真正”的意義。

筆者統(tǒng)計(jì)了原人教版實(shí)驗(yàn)教材一年級(jí)至三年級(jí)拓展“=”意義的訓(xùn)練題，見下表：

其中，一年級(jí)上冊中有1題是思考題，二年級(jí)上冊中的2題是學(xué)生認(rèn)識(shí)乘法意義后，把加法算式改寫成乘法算式的訓(xùn)練，如4+4+4=（ ?）×（ ?），學(xué)生對(duì)此更多的理解是乘法的意義?？梢?，拓展等號(hào)意義的題目在教材中出現(xiàn)不多。那么，是否可以這樣理解：在“數(shù)的大小比較”一課中第一次引出“=”是基于等號(hào)相等意義的，但在這之后的很長一段時(shí)間（學(xué)習(xí)方程之前）“=”卻作為得出結(jié)果而出現(xiàn)，教材和教學(xué)既沒有幫助學(xué)生打破算式總在左邊、結(jié)果總在右邊的觀念，也沒有幫助學(xué)生逐步建立等號(hào)表示算式等值的觀念，以致學(xué)生沒有逐步豐富和擴(kuò)充對(duì)等號(hào)意義新的理解，沒有為學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)、建立兩邊有多個(gè)算式的代數(shù)方程做好準(zhǔn)備。一項(xiàng)面對(duì)學(xué)生的訪談表明，當(dāng)問及學(xué)生等號(hào)表示什么時(shí)，多數(shù)學(xué)生的回答是等號(hào)表示答案，進(jìn)一步要求學(xué)生舉出用等號(hào)的例子，學(xué)生所舉的只限于左邊是運(yùn)算、右邊是答案的例子。在分解質(zhì)因數(shù)時(shí)，學(xué)生對(duì)合數(shù)在等號(hào)左邊的算式感覺很“另類”。因此，要突破從算術(shù)思維到代數(shù)思維的障礙，首先要將等號(hào)的意義從“得出”回歸到“相等”層面。

那么，我們的教學(xué)可以做些什么呢？

四、對(duì)“=”教學(xué)的建議

國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)獲獎(jiǎng)?wù)呃サ碌难芯勘砻?，代?shù)思維的早期發(fā)展可以使學(xué)生更加容易地接受代數(shù)符號(hào)，也就是說，重視代數(shù)思維早期的系統(tǒng)滲透，能更好地幫助學(xué)生從算術(shù)思維轉(zhuǎn)向代數(shù)思維。無疑，拓展對(duì)等號(hào)意義的理解是教師首先應(yīng)該關(guān)注和引起重視的。在教學(xué)中可注意以下幾點(diǎn)。

（一）天平直觀模型的應(yīng)用

在幫助學(xué)生理解等號(hào)的意義時(shí)，天平是一個(gè)非常適合的直觀模型。天平左右兩邊平衡的狀態(tài)直觀地表達(dá)了等號(hào)兩邊等量的意義。如“數(shù)的大小比較”一課中，教材是通過比較小猴子數(shù)量和水果數(shù)量的多少認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)等號(hào)的。盡管該情境比較有趣，符合學(xué)生的身心特點(diǎn)，但對(duì)等號(hào)兩邊相等意義的詮釋卻不如天平來得直觀。因此，教師不妨引入天平應(yīng)用于教學(xué)，為了兼顧學(xué)習(xí)的趣味性，依然可以創(chuàng)設(shè)情境——“小猴子玩天平”（如圖4）。

通過天平的多種狀況比較，學(xué)生對(duì)等號(hào)“兩邊相等”建立了一個(gè)比較直觀的表象。

（二）適時(shí)打破結(jié)果總在右邊的觀念

學(xué)生初學(xué)運(yùn)算，教師往往會(huì)為算式創(chuàng)設(shè)一個(gè)生動(dòng)的“故事情境”。如3+2=5，可能講述的是“樹上原來有3只鳥，又飛來2只，合起來是5只”，這有利于學(xué)生理解運(yùn)算的含義。按照“故事情境”發(fā)展順序?qū)懗龅乃闶?，得?shù)在等號(hào)的右邊是很自然的事情。那么，怎樣幫助學(xué)生打破算式總在等號(hào)左邊、結(jié)果總在等號(hào)右邊的觀念呢？

1.擺脫故事情節(jié)發(fā)展順序的束縛

既然故事情節(jié)發(fā)展順序使算式的書寫自然地從左到右，那么教師可適時(shí)地采用無故事情節(jié)的題目，以擺脫此束縛（如圖5）。學(xué)生按照已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，很容易將題目與數(shù)的分解建立聯(lián)系，解釋為把6分成幾和幾。這時(shí)等號(hào)的含義不是算出算式結(jié)果，而是把等號(hào)前的數(shù)分解，等號(hào)在算式的左邊，理解成“可以分成”是比較自然的。如果說“□+□=□”是實(shí)施一個(gè)確定的運(yùn)算，那么“□=□+□”是尋找一個(gè)數(shù)可能的運(yùn)算，結(jié)果不唯一，這樣的式子也可理解為“數(shù)”與“式”的等價(jià)。

2.借助天平實(shí)現(xiàn)等號(hào)兩邊的互換

（三）逐步建立式與式等值的觀念

除了幫助學(xué)生建立數(shù)與式等值以理解等號(hào)的意義外，教師還應(yīng)幫助學(xué)生建立式與式等值的觀念。式與式等值觀念的建立需要相應(yīng)的、持續(xù)的刺激和訓(xùn)練。

1.利用得數(shù)幫助理解

學(xué)生理解兩個(gè)算式等值似乎沒有什么困難，但把兩個(gè)等值的算式用等號(hào)連接起來，學(xué)生卻不太容易接受。如5-2和1+2，學(xué)生理解這兩個(gè)算式結(jié)果相同，是等值的。但如果用“=”把兩個(gè)算式連接起來，得到等式5-2=1+2，學(xué)生認(rèn)為5-2后面應(yīng)該寫上3，怎么會(huì)是1呢？因此初始時(shí)可以保留得數(shù)“3”做過渡，即5-2=3=1+2。雖然這樣的表示不一定規(guī)范，但學(xué)生會(huì)認(rèn)為這個(gè)等式比較“可靠”。當(dāng)然，當(dāng)學(xué)生有所理解后，應(yīng)把插入的得數(shù)從等式中刪除。

2.利用圖示直觀支持

學(xué)生的思維在達(dá)到一定水平之前，需要依賴圖示，以獲得直觀化的支撐。如4+□=5+□，學(xué)生所理解的往往不是兩個(gè)等值的算式，而是從這個(gè)等式中“肢解”出4+□=5這樣一個(gè)算式，然后在□中毫不猶豫地填入1，即4+1=5。如果提示5+□的方框也要填入一個(gè)數(shù)，學(xué)生才會(huì)“醒悟”過來：得數(shù)要一樣也得是5，再填入0。

但如果為學(xué)生提供一個(gè)圖示（如圖8），學(xué)生就比較容易把等號(hào)兩邊的算式各看成一個(gè)獨(dú)立的整體。圖示直觀的作用不僅提示和相等的事實(shí)，還為學(xué)生理解等式的意義提供了情境。

3.循序漸進(jìn)，逐步建立

教師要幫助學(xué)生循序漸進(jìn)地建立式與式等值的觀念，可以從最簡單的“兩個(gè)算式加數(shù)相同”開始，如4+5=5+4。借助圖示直觀，學(xué)生能比較容易地理解加法的可交換性、和不變的規(guī)律并構(gòu)建類似和相等的例子。接著可以拓展到“兩個(gè)算式加數(shù)不同”的情況，如4+5=6+3。再到“加數(shù)個(gè)數(shù)不同”的情況，如4+5=2+6+1。因?yàn)榧訑?shù)的個(gè)數(shù)也會(huì)影響到學(xué)生對(duì)等式平衡的判斷，并由加法積累的經(jīng)驗(yàn)拓展到“減法”“等號(hào)兩邊包含不同的運(yùn)算”等情況，如12-4=13-□，12-4=6+□，3+4+5=4×□，使學(xué)生對(duì)等號(hào)表示等值的意義有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。

克服從算術(shù)思維到代數(shù)思維的障礙，需要適時(shí)拓展學(xué)生對(duì)等號(hào)意義的理解。因此打破算式總在等號(hào)左邊、結(jié)果總在右邊的觀念，逐步建立式與式等值的觀念是非常必要的，需要在教學(xué)中進(jìn)行一些針對(duì)性的、序列化的拓展和訓(xùn)練。

參考資料：

[1] 張?zhí)煨?，姜榮富.小學(xué)生代數(shù)思維萌發(fā)的實(shí)驗(yàn)研究（一）——代數(shù)思維的理解和正在變化的觀念[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2013（7-8）.

[2] 張?zhí)煨?，姜榮富.小學(xué)生代數(shù)思維萌發(fā)的實(shí)驗(yàn)研究（二）——理解等號(hào)的傳遞性和對(duì)稱性[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2013（9）.

[3] 張?zhí)煨?，姜榮富.小學(xué)生代數(shù)思維萌發(fā)的實(shí)驗(yàn)研究（三）——構(gòu)建和相等的式子[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2013（11）.

[4] 張 丹.如何理解和發(fā)展代數(shù)思維——讀《早期代數(shù)思維的認(rèn)識(shí)論、符號(hào)學(xué)及發(fā)展問題》有感（上）[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2012 （11）.

[5] 任景業(yè).你并不理解“=”——讀懂學(xué)生的建議（一）[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2013（5）.

（浙江省泰順縣育才小學(xué) ? 325500）