鄭建鋒
【摘 ? 要】學(xué)生把“=”理解為“算式與答案的連接符號”“開始計(jì)算的固定信號”,不僅狹隘,甚至還有錯(cuò)誤?!?”本身的“一詞多義”和教材安排的失衡是造成學(xué)生片面理解的重要原因。因此教師在教學(xué)中要改變“=”總是被簡單教學(xué)的現(xiàn)象,適時(shí)幫助學(xué)生打破算式在等號左邊、結(jié)果在等號右邊的觀念,逐步建立等號表示等量的觀念,豐富對等號意義的理解。
【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);教學(xué);等號意義
“=”是學(xué)生較早認(rèn)識的數(shù)學(xué)符號,表示左右兩邊相等的意思。但學(xué)生對等號的理解不僅狹隘,甚至還有錯(cuò)誤。這是什么原因造成的呢?和教學(xué)有關(guān)系嗎?教師應(yīng)該怎樣促進(jìn)學(xué)生對“=”意義的正確理解?
一、學(xué)生錯(cuò)法雷同
在學(xué)習(xí)了萬以內(nèi)進(jìn)位加減法后,練習(xí)中有這樣一道題:615+385=□+140=□-207=□。本以為這是一道很普通的題,但學(xué)生的答題情況卻讓筆者不敢再“輕視”這樣的題。學(xué)生的答案好像事先商量好似的,幾乎一樣(如圖1)。
這是偶然的嗎?其他班級的學(xué)生也會(huì)這樣做嗎?筆者對另外3個(gè)平行班的學(xué)生進(jìn)行了測試,結(jié)果“癥狀”相似,統(tǒng)計(jì)如下表。
“=”是學(xué)生很早認(rèn)識并運(yùn)用頻繁的一個(gè)非?!昂唵巍钡姆?,可事實(shí)好像并不是這樣。
題中的式子與學(xué)生見到的一般算式不太一樣,圖1中呈現(xiàn)的式子特別“長”,“=”后又是一個(gè)算式,在學(xué)生的觀念中,一個(gè)算式的“=”之后緊跟著的應(yīng)該是一個(gè)計(jì)算結(jié)果。
二、學(xué)生所理解的“=”
從以上例子我們可以看出學(xué)生理解的“=”和其含義不完全對等?!暗扔谔栂裥?,算對了,過了橋,算錯(cuò)了,過不了”,這首兒歌多少能反映學(xué)生對“=”意義理解的角度,“=”傳遞給學(xué)生的信息和“算”“結(jié)果”這些詞相關(guān)。因此,在學(xué)生的理解中,“=”是算式與答案的連接符號或分隔符號,有了“=”,就可以把左邊算式的答案在右邊寫下來,等號被看成是“開始計(jì)算算式的固定信號”。等號像一個(gè)程序,看到等號,學(xué)生就不假思索地開始計(jì)算。為了弄清楚學(xué)生對等號的理解,筆者把等號的意義和學(xué)生的理解做了一個(gè)對比。
學(xué)生對等號的理解往往停留在“算術(shù)”中,僅僅將它作為得出運(yùn)算結(jié)果的符號,而要把等號理解為等量關(guān)系的表示,應(yīng)該是“代數(shù)”中的事情了。那么,為何學(xué)生在很長的一段時(shí)間內(nèi),對等號的理解沒能跳出“算術(shù)”,拓展到“代數(shù)”中呢?
三、“=”被簡單地教學(xué)
數(shù)學(xué)符號的“一詞多義”往往造成學(xué)生理解上的片面性,因?yàn)槊鎸Φ氖窍嗤囊曈X對象,而它們表達(dá)的意義卻并不一定相同?!?”就是一個(gè)“一詞多義”的符號,那么,除了視覺對象有時(shí)并不等于思維對象而造成學(xué)生理解上的困難之外,還有別的原因嗎?是不是學(xué)生代數(shù)思維發(fā)展滯后所造成的呢?
曾有研究指出,孩子在9~10歲的時(shí)候能夠擴(kuò)大對等號意義的理解,用字母表征未知數(shù),用變量表征關(guān)系,計(jì)算未知數(shù),甚至能解帶字母符號的一元一次方程。看來這和學(xué)生代數(shù)思維發(fā)展滯后有關(guān),那么,和我們的教學(xué)有關(guān)系嗎?
在人教版教材中,學(xué)生第一次接觸等號是在一年級上冊“數(shù)的大小比較”一課中,兩個(gè)數(shù)的大小比較有兩類:一類相等,一類不等。之后,學(xué)生開始在運(yùn)算中使用等號,如3+4=7,等號被理解為“得出”,學(xué)生只是把等號簡單地看成得出運(yùn)算結(jié)果的符號。盡管教師會(huì)強(qiáng)調(diào)“兩邊相等,就用等號表示”,暗示等號的意義,但學(xué)生由于年齡、思維的特點(diǎn),把等號理解為表示計(jì)算的結(jié)果是十分自然的。但問題在于,之后很長的一段時(shí)間內(nèi),等號的意義沒有得到新的拓展。直到五年級上冊學(xué)習(xí)“簡易方程”時(shí),才賦予等號“真正”的意義。
筆者統(tǒng)計(jì)了原人教版實(shí)驗(yàn)教材一年級至三年級拓展“=”意義的訓(xùn)練題,見下表:
其中,一年級上冊中有1題是思考題,二年級上冊中的2題是學(xué)生認(rèn)識乘法意義后,把加法算式改寫成乘法算式的訓(xùn)練,如4+4+4=( ?)×( ?),學(xué)生對此更多的理解是乘法的意義??梢?,拓展等號意義的題目在教材中出現(xiàn)不多。那么,是否可以這樣理解:在“數(shù)的大小比較”一課中第一次引出“=”是基于等號相等意義的,但在這之后的很長一段時(shí)間(學(xué)習(xí)方程之前)“=”卻作為得出結(jié)果而出現(xiàn),教材和教學(xué)既沒有幫助學(xué)生打破算式總在左邊、結(jié)果總在右邊的觀念,也沒有幫助學(xué)生逐步建立等號表示算式等值的觀念,以致學(xué)生沒有逐步豐富和擴(kuò)充對等號意義新的理解,沒有為學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)、建立兩邊有多個(gè)算式的代數(shù)方程做好準(zhǔn)備。一項(xiàng)面對學(xué)生的訪談表明,當(dāng)問及學(xué)生等號表示什么時(shí),多數(shù)學(xué)生的回答是等號表示答案,進(jìn)一步要求學(xué)生舉出用等號的例子,學(xué)生所舉的只限于左邊是運(yùn)算、右邊是答案的例子。在分解質(zhì)因數(shù)時(shí),學(xué)生對合數(shù)在等號左邊的算式感覺很“另類”。因此,要突破從算術(shù)思維到代數(shù)思維的障礙,首先要將等號的意義從“得出”回歸到“相等”層面。
那么,我們的教學(xué)可以做些什么呢?
四、對“=”教學(xué)的建議
國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)獲獎(jiǎng)?wù)呃サ碌难芯勘砻?,代?shù)思維的早期發(fā)展可以使學(xué)生更加容易地接受代數(shù)符號,也就是說,重視代數(shù)思維早期的系統(tǒng)滲透,能更好地幫助學(xué)生從算術(shù)思維轉(zhuǎn)向代數(shù)思維。無疑,拓展對等號意義的理解是教師首先應(yīng)該關(guān)注和引起重視的。在教學(xué)中可注意以下幾點(diǎn)。
(一)天平直觀模型的應(yīng)用
在幫助學(xué)生理解等號的意義時(shí),天平是一個(gè)非常適合的直觀模型。天平左右兩邊平衡的狀態(tài)直觀地表達(dá)了等號兩邊等量的意義。如“數(shù)的大小比較”一課中,教材是通過比較小猴子數(shù)量和水果數(shù)量的多少認(rèn)識、學(xué)習(xí)等號的。盡管該情境比較有趣,符合學(xué)生的身心特點(diǎn),但對等號兩邊相等意義的詮釋卻不如天平來得直觀。因此,教師不妨引入天平應(yīng)用于教學(xué),為了兼顧學(xué)習(xí)的趣味性,依然可以創(chuàng)設(shè)情境——“小猴子玩天平”(如圖4)。
通過天平的多種狀況比較,學(xué)生對等號“兩邊相等”建立了一個(gè)比較直觀的表象。
(二)適時(shí)打破結(jié)果總在右邊的觀念
學(xué)生初學(xué)運(yùn)算,教師往往會(huì)為算式創(chuàng)設(shè)一個(gè)生動(dòng)的“故事情境”。如3+2=5,可能講述的是“樹上原來有3只鳥,又飛來2只,合起來是5只”,這有利于學(xué)生理解運(yùn)算的含義。按照“故事情境”發(fā)展順序?qū)懗龅乃闶剑脭?shù)在等號的右邊是很自然的事情。那么,怎樣幫助學(xué)生打破算式總在等號左邊、結(jié)果總在等號右邊的觀念呢?
1.擺脫故事情節(jié)發(fā)展順序的束縛
既然故事情節(jié)發(fā)展順序使算式的書寫自然地從左到右,那么教師可適時(shí)地采用無故事情節(jié)的題目,以擺脫此束縛(如圖5)。學(xué)生按照已有的知識和經(jīng)驗(yàn),很容易將題目與數(shù)的分解建立聯(lián)系,解釋為把6分成幾和幾。這時(shí)等號的含義不是算出算式結(jié)果,而是把等號前的數(shù)分解,等號在算式的左邊,理解成“可以分成”是比較自然的。如果說“□+□=□”是實(shí)施一個(gè)確定的運(yùn)算,那么“□=□+□”是尋找一個(gè)數(shù)可能的運(yùn)算,結(jié)果不唯一,這樣的式子也可理解為“數(shù)”與“式”的等價(jià)。
2.借助天平實(shí)現(xiàn)等號兩邊的互換
(三)逐步建立式與式等值的觀念
除了幫助學(xué)生建立數(shù)與式等值以理解等號的意義外,教師還應(yīng)幫助學(xué)生建立式與式等值的觀念。式與式等值觀念的建立需要相應(yīng)的、持續(xù)的刺激和訓(xùn)練。
1.利用得數(shù)幫助理解
學(xué)生理解兩個(gè)算式等值似乎沒有什么困難,但把兩個(gè)等值的算式用等號連接起來,學(xué)生卻不太容易接受。如5-2和1+2,學(xué)生理解這兩個(gè)算式結(jié)果相同,是等值的。但如果用“=”把兩個(gè)算式連接起來,得到等式5-2=1+2,學(xué)生認(rèn)為5-2后面應(yīng)該寫上3,怎么會(huì)是1呢?因此初始時(shí)可以保留得數(shù)“3”做過渡,即5-2=3=1+2。雖然這樣的表示不一定規(guī)范,但學(xué)生會(huì)認(rèn)為這個(gè)等式比較“可靠”。當(dāng)然,當(dāng)學(xué)生有所理解后,應(yīng)把插入的得數(shù)從等式中刪除。
2.利用圖示直觀支持
學(xué)生的思維在達(dá)到一定水平之前,需要依賴圖示,以獲得直觀化的支撐。如4+□=5+□,學(xué)生所理解的往往不是兩個(gè)等值的算式,而是從這個(gè)等式中“肢解”出4+□=5這樣一個(gè)算式,然后在□中毫不猶豫地填入1,即4+1=5。如果提示5+□的方框也要填入一個(gè)數(shù),學(xué)生才會(huì)“醒悟”過來:得數(shù)要一樣也得是5,再填入0。
但如果為學(xué)生提供一個(gè)圖示(如圖8),學(xué)生就比較容易把等號兩邊的算式各看成一個(gè)獨(dú)立的整體。圖示直觀的作用不僅提示和相等的事實(shí),還為學(xué)生理解等式的意義提供了情境。
3.循序漸進(jìn),逐步建立
教師要幫助學(xué)生循序漸進(jìn)地建立式與式等值的觀念,可以從最簡單的“兩個(gè)算式加數(shù)相同”開始,如4+5=5+4。借助圖示直觀,學(xué)生能比較容易地理解加法的可交換性、和不變的規(guī)律并構(gòu)建類似和相等的例子。接著可以拓展到“兩個(gè)算式加數(shù)不同”的情況,如4+5=6+3。再到“加數(shù)個(gè)數(shù)不同”的情況,如4+5=2+6+1。因?yàn)榧訑?shù)的個(gè)數(shù)也會(huì)影響到學(xué)生對等式平衡的判斷,并由加法積累的經(jīng)驗(yàn)拓展到“減法”“等號兩邊包含不同的運(yùn)算”等情況,如12-4=13-□,12-4=6+□,3+4+5=4×□,使學(xué)生對等號表示等值的意義有進(jìn)一步的認(rèn)識。
克服從算術(shù)思維到代數(shù)思維的障礙,需要適時(shí)拓展學(xué)生對等號意義的理解。因此打破算式總在等號左邊、結(jié)果總在右邊的觀念,逐步建立式與式等值的觀念是非常必要的,需要在教學(xué)中進(jìn)行一些針對性的、序列化的拓展和訓(xùn)練。
參考資料:
[1] 張?zhí)煨?,姜榮富.小學(xué)生代數(shù)思維萌發(fā)的實(shí)驗(yàn)研究(一)——代數(shù)思維的理解和正在變化的觀念[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2013(7-8).
[2] 張?zhí)煨?,姜榮富.小學(xué)生代數(shù)思維萌發(fā)的實(shí)驗(yàn)研究(二)——理解等號的傳遞性和對稱性[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2013(9).
[3] 張?zhí)煨?,姜榮富.小學(xué)生代數(shù)思維萌發(fā)的實(shí)驗(yàn)研究(三)——構(gòu)建和相等的式子[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2013(11).
[4] 張 丹.如何理解和發(fā)展代數(shù)思維——讀《早期代數(shù)思維的認(rèn)識論、符號學(xué)及發(fā)展問題》有感(上)[J].小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版),2012 (11).
[5] 任景業(yè).你并不理解“=”——讀懂學(xué)生的建議(一)[J].小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版),2013(5).
(浙江省泰順縣育才小學(xué) ? 325500)