張 笛，戴紅軍，劉曉瑞

(1.南京信息工程大學 商學院, 江蘇 南京210044; 2.淮南師范學院 經(jīng)濟與管理學院,安徽 淮南 232038; 3.南京航空航天大學 經(jīng)濟與管理學院,江蘇 南京 211106)

0 引言

雙邊匹配是指對兩互不相交集合中不可分的離散資源進行配對或分配問題，具有廣泛的應用背景?，F(xiàn)實生活中雙邊匹配問題普遍存在，例如：婚姻市場中的男女婚姻匹配問題[1]、人才市場中的人崗匹配問題[2]、金融市場中的風險投資匹配問題[3]、商品市場中的供需交易匹配問題[4]以及服務市場中的知識服務匹配問題[5,6]等。因此，研究雙邊匹配問題具有重要的理論意義和實際應用價值。

基于偏好序的雙邊匹配方法及其拓展研究一直是學者們的關(guān)注重點，眾多學者從匹配的穩(wěn)定性、滿意性、抗操縱性和帕累托有效性等視角開展研究。概括起來，這些研究主要包括兩個方面，一方面研究是建立在期望效用理論基礎上的，即假設匹配主體的行為是完全理性的，并且這方面的研究已取得豐碩的成果[1,2,7～11]。在穩(wěn)定匹配算法研究上[1,2,7]：Dogan等[1]、Azevedo等[2]以及Diebold等[9]學者在一對一穩(wěn)定匹配的Gale-Shapley算法的基礎上進行了一系列的拓展研究，并將雙邊匹配理論引入市場機制設計實踐；為解決穩(wěn)定匹配算法單邊最優(yōu)解的缺陷問題：樊治平等[8]提出一種考慮穩(wěn)定匹配條件的雙邊滿意匹配方法；梁海明等[19]構(gòu)建基于認可差異和認可容忍的滿意穩(wěn)定、滿意弱穩(wěn)定和滿意強穩(wěn)定的匹配優(yōu)化模型。在匹配的抗操縱性和帕累托有效性研究上：姜艷萍等[10]提出一種抗操作和抗自虧的雙邊匹配方法；Erdil等[11]研究了無差異偏好序下雙邊匹配的帕累托有效性問題。另一方面研究是考慮匹配主體的行為是有限理性的，大量實驗研究表明，在雙邊匹配中，匹配主體并非總是追求效用最大化，而表現(xiàn)出參照依賴、損失規(guī)避和失望規(guī)避等心理行為特征，這方面研究主要是基于前景理論和失望理論等。目前，可以看到相關(guān)研究成果[12～15]：針對具有主體期望的雙邊匹配問題，樂琦等[12,13]分別提出基于累積前景理論的雙邊匹配方法、基于TODIM的雙邊匹配方法；李銘洋等[14]考慮匹配主體失望規(guī)避心理行為的雙邊匹配問題，構(gòu)建基于失望理論的匹配優(yōu)化模型；Fan等[15]將文獻[14]的方法拓展至不確定偏好序情形。

已有研究豐富、發(fā)展和完善了雙邊匹配理論，然而，由于匹配環(huán)境的不確定性和人類思維的模糊性，在實際匹配中，匹配主體會給出模糊偏好信息。近年來，直覺模糊偏好信息下的雙邊匹配問題，引起了學者們的關(guān)注[16～19]：林楊等[16]提出一種兼具穩(wěn)定性和滿意性的雙邊匹配方法；樂琦[17,18]針對考慮匹配意愿的雙邊匹配問題，構(gòu)建基于直覺模糊得分函數(shù)的匹配優(yōu)化模型；Yue等[19]將文獻[17,18]的方法拓展至區(qū)間直覺模糊偏好情形。上述文獻為解決直覺模糊偏好信息下的雙邊匹配問題提供了思路和方法支撐。在雙邊匹配中，匹配主體的心理感知是不可忽視的重要因素，后悔理論[20]表明匹配主體不僅關(guān)注當前的匹配結(jié)果，而且關(guān)注如果選擇其他匹配主體可能獲得的匹配結(jié)果，并且盡量避免選擇會使其感到后悔的匹配主體，即匹配主體是后悔規(guī)避的。需要指出的是，1)考慮匹配主體后悔規(guī)避心理行為的直覺模糊雙邊匹配方法的研究尚未報道; 2)雙邊主體的匹配意愿與匹配結(jié)果的滿意程度密切相關(guān)[14]，以往這方面的研究很少被關(guān)注。鑒于此，本文針對直覺模糊偏好信息的雙邊匹配問題，提出一種考慮匹配主體后悔規(guī)避心理行為和匹配意愿的雙邊匹配方法。

1 預備知識和問題描述

1.1 預備知識

首先給出本文需要使用的基礎知識。

定義1[21]設H是給定的論域，稱A={:x∈H}為一直覺模糊集，其中μA(x):H→[0,1]是H中元素x屬于A的隸屬度，vA(x):H→[0,1]是中元素x屬于A的非隸屬度，滿足0≤μA(x)+vA(x)≤1,x∈H，πA(x)=1-μA(x)-vA(x)是H中元素x屬于A的猶豫度。當|A|=1時，稱A為直覺模糊數(shù)，記為A=<μ,v>，最大的直覺模糊數(shù)為x+=<1,0>，最小的直覺模糊數(shù)為x-=<0,1>。

定義2[21]設ρ1=<μ1,v1>,ρ2=<μ2,v2>是兩直覺模糊數(shù)，則設ρ1和設ρ2的距離測度為

在雙邊匹配問題中，設X方主體集為X={X1,X2,…,Xm}，其中Xi表示X方中的第i個匹配主體，i∈I={1,2,…,m},m≥2;Y方主體集Y={Y1,Y2,…,Yn}，其中Yj表示Y方中的第個匹配主體，j∈J={1,2,…,n},n≥2。

定義3[8,15]設μ:X∪Y→X∪Y映射，若n≥m≥2，對?Xi∈X,Yj∈Y，滿足下列條件：(i)μ(Xi)∈Y,μ(Yj)∈X∪{Yj}；(ii)μ(Xi)=Yj,μ(Yj)=Xi，稱Xi和Yj在μ中匹配，記為(Xi,Yj)，其中μ(Yj)=Yj表示Yj在μ中未匹配。若?(Xi,Yj)∈μ，滿足μ(Xi)≠Yj′,Yj′∈Y，Yj′≠Yj,μ(Yj)≠Xi′,Xi′∈X,Xi′≠Xi,稱μ是一對一雙邊匹配。

1.2 問題描述

考慮直覺模糊偏好信息下的一對一雙邊匹配問題，下面給出雙邊匹配的基本設置。

本文需要解決的問題是：在考慮雙邊主體后悔規(guī)避心理行為和匹配意愿情形下，依據(jù)雙邊主體的直覺模糊偏好向量Ti(i∈I)和Lj(j∈J)，建立雙邊匹配模型，獲得雙邊匹配方案。

2 匹配滿意度

為解決上述雙邊匹配問題，本文依據(jù)后悔理論的思想，通過一方主體對另一方主體進行兩兩比較，計算每個主體的后悔值和欣喜值，進而計算每個主體相對于其他所有主體的總體后悔欣喜值，構(gòu)建匹配滿意度計算規(guī)則。下面構(gòu)造效用函數(shù)和后悔-欣喜函數(shù)。

2.1 效用函數(shù)

首先將雙邊主體的直覺模糊偏好信息轉(zhuǎn)化為效用值，基于直覺模糊數(shù)的距離測度和貼近度的思想，構(gòu)造如下的效用函數(shù)。

其中，x=<μ,v>是直覺模糊數(shù)，x+=<1,0>，x-=<0,1>。f∈[0,1]，當x趨近于x+時，f趨近于1，當x趨近于x-時，f趨近于0。特別地，當x=x+時，f=1，當x=x-時，f=0。

設u(Tij)是直覺模糊偏好信息Tij的效用值，其計算公式為

(1)

其中，u(Tij)∈[0,1]，當Tij趨近于x+時，u(Tij)趨近于1，當Tij趨近于x-時，u(Tij)趨近于0。特別地，當Tij=x+時，u(Tij)=1，當Tij=x-時，u(Tij)=0。

設u(Lij)是直覺模糊偏好信息Lij的效用值，其計算公式為

(2)

其中，u(Lij)∈[0,1]，當Lij趨近于x+時，u(Lij)趨近于1，當Lij趨近于x-時，趨近于0。特別地，當Lij=x+時，u(Lij)=1，當Lij=x-時，u(Lij)=0。

2.2 后悔-欣喜函數(shù)

由于雙邊主體對于后悔和欣喜都是風險規(guī)避的，考慮單調(diào)遞增的凹函數(shù)作為后悔-欣喜函數(shù)[20]。本文采用指數(shù)函數(shù)作為后悔-欣喜函數(shù)。R(Δu)=1-exp(-δΔu),其中，R(Δu)是關(guān)于Δu的單調(diào)遞增凹函數(shù)，Δu表示效用值的差值，R(0)=0。當R(Δu)≥0時，R(Δu)表示欣喜，當R(Δu)<0時，R(Δu)表示后悔，當Δu>0時，有|R(-Δu)|>R(Δu)成立，即雙邊主體是后悔規(guī)避的。參數(shù)δ(δ>0)是后悔規(guī)避系數(shù)，且δ越大，表明雙邊主體的后悔規(guī)避程度越大[20]。

設主體Xi和主體Yj匹配相對于和主體Yk匹配的后悔值為Fi(Yj,Yk)，其計算公式為

(3)

設主體Xi和主體Yj匹配相對于和主體Yk匹配的欣喜值為Gi(Yj,Yk)，其計算公式為

(4)

其中，δi是主體Xi的后悔規(guī)避系數(shù)，且δi越大，表明主體Xi的后悔規(guī)避程度越大。

主體Xi和主體Yj匹配相對于和Y方中其他主體匹配的總體后悔欣喜值為

(5)

其中，Vij表示主體Xi和主體Yj匹配關(guān)于后悔和欣喜的總體心理感知，且Vij越大，表明主體Xi對主體Yj的滿意度越大。

(6)

(7)

主體Yj和主體Xi匹配相對于和X方中其他主體匹配的總體后悔欣喜值為

(8)

設主體Xi對主體Yj的匹配滿意度為αij，主體Yj對主體Xi的匹配滿意度為βij，其計算公式分別為

(9)

(10)

為了便于下文的討論，在雙邊匹配滿意度的基礎上給出雙邊匹配差異度的定義。

設xij為0-1變量，其中xij=0表示Xi和Yj不匹配，xij=1表示Xi和Yj匹配。

3 雙邊匹配方法

在本節(jié)中，首先建立雙邊匹配多目標優(yōu)化模型；然后考慮雙邊主體的匹配意愿，將多目標優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃模型進行求解；最后提出一種改進的匹配意愿系數(shù)確定方法。

3.1 雙邊匹配模型

以最大化每方主體的匹配滿意度為目標，建立雙邊匹配多目標優(yōu)化模型：

(11)

(12)

(15)

在上述模型中：式(11)表示最大化X方對Y方主體的滿意度；式(12)表示最大化Y方對X方主體的滿意度；式(13)表示每個X方主體至多與Y方中的一個主體匹配；式(14)表示每個方主體Y至多與X方中一個主體匹配；式(15)表示雙邊匹配數(shù)量約束。

模型(11)～(15)目標函數(shù)的量綱量級相同，使用線性加權(quán)法將其轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃模型：

(16)

其中，ωX和ωY分別是目標函數(shù)Z1和Z2的權(quán)重系數(shù)，滿足ωX+ωY=1,0<ωX,ωY<1。

基于優(yōu)化模型的雙邊滿意匹配方法獲得的匹配解大多是部分最優(yōu)解，即在獲得的雙邊匹配對中可能會出現(xiàn)一方匹配主體的滿意度較高，而另一方匹配主體的滿意度較低的不公平匹配現(xiàn)象[17,18,22]。為解決該問題，樂琦[17,18]考慮雙邊主體的匹配意愿，構(gòu)建基于匹配意愿的雙邊滿意匹配優(yōu)化模型；王中興等[22]基于匹配滿意度的互補性和一致性，建立基于調(diào)節(jié)參數(shù)的組合優(yōu)化模型。

考慮雙邊主體的匹配意愿[17,18]將模型(16)～(19)擴展為如下的線性規(guī)劃模型：

(20)

3.2 改進的匹配意愿系數(shù)確定方法

文獻[17,18,22]提出的方法對解決基于優(yōu)化模型的雙邊滿意匹配方法部分最優(yōu)解的不足問題提供了可借鑒的思路和方法支撐。文獻[22]方法中調(diào)節(jié)參數(shù)的確定帶有主觀性，在實際應用中可操性不強。文獻[17,18]分別提出基于得分差異度的匹配意愿系數(shù)確定方法，獲得規(guī)范化的匹配意愿系數(shù)分別為式(24)和式(25)所示：

(24)

(25)

注1文獻[17,18]構(gòu)建基于直覺模糊得分函數(shù)的匹配優(yōu)化模型，該得分函數(shù)相當于本文中的滿意度函數(shù)，式(24)～(25)中的滿意度對應于文獻[17,18]中的得分值。

從式(24)和式(25)可以看出：1)雙邊主體的匹配意愿系數(shù)wij僅與匹配差異度γij相關(guān)，且與γij呈負相關(guān)關(guān)系；2)當γi′j′=γij,i′≠i,j′≠j,i′,i′∈I,j′,j∈J時，則wi′j′=wij，即匹配差異度相同的雙邊主體對應的匹配意愿系數(shù)相同。結(jié)論1)和2)與實際匹配情況不一致，下面通過一個例子來說明。

例1設X方主體集為{X1,X2,X3}，Y方主體集為{Y1,Y2,Y3}，雙邊滿意度矩陣如下所示：

1)SIFT，該算法用于檢測斑點；2)SURF，該算法用于檢測斑點；3)ORB：該算法代表帶方向的 FAST 算法與具有旋轉(zhuǎn)不變性的 BRIEF 算法。

其中，αij是Xi對Yj的滿意度，βij是Yj對Xi的滿意度，i,j=1,2,3。

依據(jù)式(24)和式(25)計算獲得雙邊主體的匹配差異度和匹配意愿系數(shù)為

從雙邊主體的滿意度矩陣和匹配差異度矩陣可以看出：1)X1和Y2彼此間的滿意度均為最高(α12=β12=1.00)，X1和Y1彼此間的滿意度均較高(α11=β11=0.80)，X1和Y3彼此間的滿意度均為最低(α13=β13=0.40)。因此，X1和Y2相匹配的意愿最高，X1和Y1相匹配的意愿次之，X1和Y3相匹配的意愿最低。根據(jù)式(24)和式(25)的計算結(jié)果，則上述雙邊主體對應的匹配意愿系數(shù)皆相同(w12=w11=w13=0.126[17],w12=w11=w13=0.148[18])；2)X3和Y3彼此間的滿意度均較高(α33=0.90>α13=0.4,β33=1.00>β13=0.4)，因此，X3和Y3相匹配的意愿高于X1和Y3相匹配的意愿，根據(jù)式(24)和式(25)的計算結(jié)果，后者的匹配意愿系數(shù)大于前者的匹配意愿系數(shù)(w13>w33[17,18])。顯然，1)和2)與實際匹配情況不一致。

社會交換理論表明雙邊匹配實質(zhì)上是一種資源的交換行為，匹配成功的條件不僅取決于于匹配雙方具備相近的滿意度，而且取決于匹配雙方彼此間的滿意度大小。雙邊主體匹配意愿的含義是：匹配雙方彼此間的滿意度越高，且匹配差異度越小，雙方相匹配的意愿就越高，反之，雙方相匹配的意愿就越低。因此，雙邊主體的匹配意愿系數(shù)不僅與匹配差異度有關(guān)，且與滿意度密切相關(guān)。下面給出一種新的匹配意愿系數(shù)確定方法。

考慮雙邊主體的匹配滿意度和匹配差異度，構(gòu)建如下的匹配意愿系數(shù)優(yōu)化模型：

(26)

為求解上述模型，構(gòu)造如下的拉格朗日函數(shù)：

(27)

對拉格朗日函數(shù)關(guān)于ωij,i∈I,j∈J和λ求偏導，并令其為零，則

求解上述方程組，獲得最優(yōu)解，其中

(28)

(29)

依據(jù)式(29)可以得出：1)雙邊主體的匹配意愿系數(shù)wij和雙邊滿意度(αij+βij)以及匹配差異度γij相關(guān)，且與(αij+βij)呈正相關(guān)關(guān)系，γij與呈負相關(guān)關(guān)系；2)當雙邊主體的匹配差異度相等時，雙邊滿意度越大，雙邊主體的匹配意愿系數(shù)也越大，反之亦然。

為了說明本文匹配意愿系數(shù)確定方法的合理性，下面使用本文方法對例1進行求解，獲得雙邊主體的匹配差異度和匹配意愿系數(shù)如下所示:

由上知：w12=0.174>w11=0.139>w13=0.070,且w33=0.150>w13=0.070，這X1與Y2和相匹配的意愿最高，X1與Y1相匹配的意愿次之，X1與Y3相匹配的意愿最低以及X3與Y3相匹配的意愿高于X1與Y3相匹配的意愿的實際情況相一致。

綜上所述，考慮后悔規(guī)避與匹配意愿的直覺模糊雙邊匹配方法的計算步驟如下：

步驟1依據(jù)式(1)～(2)將雙邊主體的直覺模糊偏好信息轉(zhuǎn)化為效用值；

步驟2依據(jù)式(3)～(5)和式(6)～(8)計算雙邊主體的總體后悔欣喜值；

步驟3依據(jù)式(9)～(10)計算雙邊主體的匹配滿意度；

步驟4依據(jù)式(29)計算雙邊主體的匹配意愿系數(shù)；

步驟5建立雙邊匹配模型(11)～(15)，將其擴展為模型(20)～(23)；

步驟6通過求解模型(20)～(23)，獲得雙邊匹配方案。

4 算例分析

考慮服務外包供需匹配問題。CS服務外包網(wǎng)是專門從事為服務外包發(fā)包企業(yè)和接包企業(yè)提供信息和撮合服務的第三方非營利性平臺。某季度，CS收到4家企業(yè)X1,X2,X3,X4關(guān)于業(yè)務流程外包(BPO)的發(fā)包信息和5家企業(yè)Y1,Y2,Y3,Y4,Y5關(guān)于業(yè)務流程外包的接包信息。發(fā)包企業(yè)的外包專家小組依據(jù)服務質(zhì)量、服務價格、服務響應和管理能力等對接包企業(yè)進行綜合評價，采用投票方式和統(tǒng)計分析方法給出5家接包企業(yè)的直覺模糊偏好信息，如表1所示。接包企業(yè)的接包專家小組依據(jù)服務內(nèi)容、服務技術(shù)水平、服務方式和企業(yè)信譽等對發(fā)包企業(yè)進行綜合評價，采用投票方式和統(tǒng)計分析方法給出4家發(fā)包企業(yè)的直覺模糊偏好信息，如表2所示。CS依據(jù)發(fā)包企業(yè)和接包企業(yè)的偏好信息對雙方進行優(yōu)化匹配。

表1 發(fā)包企業(yè)給出的關(guān)于接包企業(yè)的直覺模糊偏好信息

表2 接包企業(yè)給出的關(guān)于發(fā)包企業(yè)的直覺模糊偏好信息

4.1 計算過程

為解決上述雙邊匹配問題，采用前文提出的方法，下面給出計算過程和結(jié)果。

首先依據(jù)式(1)～(2)將雙邊主體的直覺模糊偏好信息轉(zhuǎn)化為效用值，獲得雙邊主體的效用值矩陣分別為

依據(jù)式(9)～(10)計算雙邊主體的滿意度，獲得雙邊主體的滿意度矩陣分別為

建立雙邊匹配多目標優(yōu)化模型(11)～(15)，依據(jù)式(29)計算雙邊主體的匹配意愿系數(shù)，采用等權(quán)重線性加權(quán)法(為了便于下文作對比，取ωX=ωY=1)將多目標優(yōu)化模型(11)～(15)擴展為單目標規(guī)劃模型(20)～(23)，并使用軟件LINGO 11.0求解，可得Z*=0.4564,x11=x22=x35=x44=1，其余xij=0。

即發(fā)包企業(yè)X1和接包企業(yè)Y1匹配，發(fā)包企業(yè)X2和接包企業(yè)Y2匹配，發(fā)包企業(yè)X3和接包企業(yè)Y5匹配，發(fā)包企業(yè)X4和接包企業(yè)Y4匹配，接包企業(yè)Y3未匹配。

4.2 結(jié)果分析

為了說明本文方法的合理性，下面采用文獻[17,18]的方法對上述雙邊匹配問題進行求解，獲得的雙邊匹配結(jié)果如表3所示。從表3可以看出：文獻[17,18]的雙邊匹配結(jié)果相同，本文的雙邊匹配方案與文獻[17,18]的方案不完全一致，且對應的單邊匹配滿意度(目標函數(shù)值Z1和Z2)、匹配差異度(g)皆優(yōu)于文獻[17,18]的結(jié)果。產(chǎn)生這種差異的主要原因在于：文獻[17,18]構(gòu)建基于得分函數(shù)的匹配滿意度，建立基于期望效用理論的雙邊匹配模型，忽略了直覺模糊偏好中的猶豫度信息和雙邊主體的有限理性行為；本文構(gòu)建基于直覺模糊距離測度的效用函數(shù)以及考慮雙邊主體的后悔規(guī)避心理行為，建立基于后悔理論的雙邊匹配模型，因此，挖掘和利用了直覺模糊偏好中的猶豫度信息以及匹配主體關(guān)于后悔和欣喜的心理感知。

表3 不同雙邊匹配方法的對比

5 結(jié)語

本文針對直覺模糊偏好信息的雙邊匹配問題，考慮匹配主體的后悔規(guī)避心理行為和匹配意愿，基于直覺模糊距離測度和貼近度的思想構(gòu)造效用函數(shù)，依據(jù)后悔理論，通過一方主體將另一方主體進行兩兩比較，獲得每個主體的總體后悔欣喜值，建立雙邊匹配多目標優(yōu)化模型，為解決現(xiàn)有匹配意愿系數(shù)確定方法的不足問題，提出一種改進的匹配意愿確定方法，考慮雙邊主體的匹配意愿，將多目標優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃模型進行求解。本文為解決考慮匹配主體心理行為的雙邊匹配問題，提供了一種新的思路和方法。進一步的工作是研究考慮匹配主體參照依賴和損失規(guī)避心理行為的直覺模糊雙邊匹配問題。