林朝冰
【摘要】數學建模是數學學科六大核心素養(yǎng)之一,創(chuàng)設真實情境是素養(yǎng)導向下高考數學的重要考查方式,簡單多面體外接球問題是立體幾何中的難點和重要的考點。事實上,2019年高考數學全國卷已經充分體現了對核心素養(yǎng)和情境化的考查,2019年高考數學全國Ⅲ卷的第16題就設置了一個3D打印的情境。logoup 3D繪圖軟件可以簡單形象地畫出球及各種多面體的3D圖形,能生動形象地再現球與簡單多面體的空間位置,并能通過3D打印機將模型打印出來。利用logoup 3D繪圖軟件繪制簡單多面體及其外接球并通過3D打印機將繪制的模型打印出來,能達到三個目的,一是培養(yǎng)了學生數學建模的核心素養(yǎng);二是為學生創(chuàng)設了一個真實的情境,在情境學習過程中數學核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng);三是使簡單多面體外接球問題這個學習難點得以突破。筆者在教學過程中做了一些嘗試,意在拋磚引玉,供大家參考。
【關鍵詞】核心素養(yǎng);外接球;logoup 3D繪圖;創(chuàng)設情境
簡單多面體外接球問題是立體幾何中的難點和重要的考點,此類問題的關鍵是確定球心的位置進而求出球的半徑。這類問題之所以成為學生的難點,主要是因為學生在頭腦中沒有形成清晰的空間形象,無法想象出球與簡單多面體的空間位置。logoup 3D繪圖軟件可以簡單形象地畫出球及各種多面體的3D圖形,能生動形象地再現球與簡單多面體的空間位置,并能通過3D打印機將模型打印出來。
著名的學習金字塔告訴我們“做中學”或“實際演練”是主動學習的一種,學習效率可達到75%,學生在信息技術課中已經學習了logoup 3D繪圖軟件的使用,動手繪出簡單多面體及其外接球,能有效幫助學生形成清晰的球與簡單多面體的空間位置的空間形象,從而突破本問題的難點。
一、簡單多面體外接球相關結論的推導
二、繪制直棱柱及其外接球
1.繪制邊長為100的正方體及其外接球
將學生分為6個小組,讓每個學生獨立自主繪制2分鐘,然后小組交流3分鐘。
教師:同學們在繪制過程中遇到了什么困難?后來又是怎么解決的?
學生:繪制正方體后,光標位于正方體下底面的中心處,繪制球時,球心位于光標處,也就是說球心位于正方體的下底面的中心,所以必須移動光標,光標的位置和球的半徑是解決本問題的關鍵。
成果分享:
logouo 3D繪圖代碼:
1 color red
2 cube 100,100,100
3 up 50
4 t=50*sqrt(3)
5 color lime
6 ball t
設計意圖:直觀地感受了球心與正方體中心的空間位置,進一步鞏固了正方體外接球的半徑與正方體邊長之間的關系。
2.繪制邊長為100的正方體及其內切球
將1.1的問題改為繪制內切球,學生很快得出解決方案,只須將第6行改為ball 50即可,這時有學生提出繪制的圖形不像!教師適時引導哪里不像?如何修改才會更像?經過小組討論很快學生得出修改方案,先繪制球再繪制正方體。
成果分享:
logouo 3D繪圖代碼:
1 color red
2 cube 100,100,100
3 up 50
4 color lime
5 ball 50
設計意圖:體會到了用logouo 3D繪圖的次序。
3.繪制長、寬、高分別為100、80、60的長方體及其外接球
要求:小組合作繪圖方案,并分享成果。
教師:繪圖次序是怎樣的?
學生:先畫長方體,再定球心,后求半徑。
教師:球心位置如何確定?
學生:將光標上移30。
教師:球的半徑怎么求?能用數學式子表述出來嗎?
學生:設長方體的長、寬、高分別為a、b、c則球的半徑為:
成果分享:
logouo 3D繪圖代碼:
1 COLOR red
2 CUBE 100,80,60
3 up 30
4 COLOR lime
5 t=0.5*sqrt(pow(100,2)+pow(80,2)+pow(60,2))
6 BALL t
設計意圖:直觀地感受了球心與長方體中心的空間位置,進一步鞏固了長方體外接球的半徑與正方體邊長之間的關系。
4.繪制底面邊長為30、高為30的正六棱柱及其外接球
要求:小組合作繪圖方案,并分享成果。
教師:請分享繪制過程中遇到的問題及解決方案。
學生:不能直接插入正六棱柱,只能先畫好正六邊形再拉伸,而且畫正六邊形時,軟件設定的變量是邊數和外接圓半徑,需要將邊長換算成半徑。
教師:如何換算?
學生:正六邊形的邊長等于外接圓的半徑。
教師:球心位置如何確定?
學生:將光標下移15。
教師:前面的例子都是光標上移,為什么這個例了是下稱?
學生:畫好正六棱柱后光標位于上底面中心。
教師:球的半徑怎么求?能用數學式子表述出來嗎?
學生:設正六棱柱的底面邊長為a,高為h,則正六棱柱的底面外接圓半徑r=a,所以球的半徑為:R。
成果分享:
logouo 3D繪圖代碼:
教師:球心位置如何確定?
學生:底面中心向上拉伸到33處。
成果分享:
1 NGON 4,56.5685425
2 COLORRGB(255,0,0)
3 FILL
4 BODY
5 SCALE 0
6 UP 100
7 DONE
8 UP-66
9 COLOR gray
10 BALL 66
設計意圖:體會如何確定正棱錐外接球心的位置及求外接球半徑的方法。
四、拓展:繪制圓錐及其內切球
1.相關結論的推導
定理2 已知球O是底面半徑為r,高為h的圓錐的內切球,則球O的半徑為
2.繪制底面半徑為30,高為40的圓錐及其內切球
教師:內切球的半徑怎么求?
教師:球心位置如何確定?
學生:底面中心向上拉伸到15處。
成果分享:
1 COLOR red
2 CONE 30,40
3 UP 15
4 COLOR blue
5 BALL 15
設計意圖:體會如何確定圓錐外接球心的位置及求外接球半徑的方法。
《普通高中數學課程標準》(2017年版)明確指出:“學科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現.是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力。數學學科核心素養(yǎng)是數學課程目標的集中休現,是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現,是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的。數學學科核心養(yǎng)素包括:數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。”
教育部考試中心任子朝先生在《從能力立意到素養(yǎng)導向》一文中指出:“素養(yǎng)導向的高考命題注重情境化試題的考查。情境活動指能夠表現出學生學科素養(yǎng)的情境活動,是學科素養(yǎng)的載體,情境包指現實的生活實踐情境活動與學術探究情境活動。在考查過程要理論結合實踐,特別是結合生產、生活實際設計試題,采用源于社會、源于生活的真實的情境,考查學生分析和解決具有實際意義的問題的能力?!?/p>
事實上,2019年高考數學全國卷已經充分體現了對核心素養(yǎng)和情境化的考查,2019年高考數學全國Ⅲ卷的第16題就設置了一個3D打印的情境。
利用logoup 3D繪圖軟件繪制簡單多面體及其外接球并通過3D打印機將繪制的模型打印出來,能達到三個目的,一是培養(yǎng)了學生數學建模的核心素養(yǎng);二是為學生創(chuàng)設了一個真實的情境,在情境學習過程中數學核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng);三是使簡單多面體外接球問題這個學習難點得以突破。
當前,信息技術飛速發(fā)展,利用3D打印等先進的信息技術輔助數學教學,是數學教學改革的發(fā)展方向。
參考文獻:
[1]教育部.普通高中數學課程標準(2017年版).
[2]任子朝.從能力立意到素養(yǎng)導向[J].中學數學教學參考,2018,13.