吳存明

南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授倡導(dǎo)“應(yīng)當(dāng)通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，能夠逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更全面、更深刻、更合理”。這里的四個(gè)“更”，直指“數(shù)學(xué)理解”。在倡導(dǎo)深度學(xué)習(xí)的當(dāng)下，“更深刻”應(yīng)成為“數(shù)學(xué)理解”的核心?；谶@樣的思考，筆者設(shè)計(jì)的“用字母表示數(shù)”一課在江蘇省“百師萬(wàn)課”教學(xué)展評(píng)活動(dòng)中獲得好評(píng)，現(xiàn)整理如下，供教育同仁指正。

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第八單元“用字母表示數(shù)”第1課時(shí)第99～100頁(yè)。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.在具體情境中理解字母表示數(shù)的意義，能夠根據(jù)具體的情境用含字母的式子表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系。

2.經(jīng)歷把實(shí)際問(wèn)題用含有字母的式子進(jìn)行表達(dá)的抽象過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括能力。

3.體會(huì)用字母表示數(shù)的簡(jiǎn)潔性與一般性，發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

【教學(xué)重、難點(diǎn)】

重點(diǎn)：在具體情境中理解字母表示數(shù)的意義。

難點(diǎn)：經(jīng)歷用字母表示數(shù)的抽象過(guò)程，發(fā)展符號(hào)意識(shí)。

【教學(xué)過(guò)程】

一、引入：用字母表示未知數(shù)

師：（屏幕出示上圖）前不久，老師的微信收到一個(gè)紅包。猜猜多少錢？

生：10元、66元、888元、1分錢、200元……

師（不斷搖頭）：除了猜，有更好的方法嗎？

（教師出示任務(wù)一：誰(shuí)能想一個(gè)辦法，把所有可能的數(shù)都包括進(jìn)來(lái)。學(xué)生寫(xiě)數(shù)字，教師巡視后選擇典型作品展示）

生1：52元，因?yàn)槲覀儼嗍俏澹?）班。

生2：……元，省略號(hào)可以代替所有的數(shù)。

生3：0.01～200元，我經(jīng)常搶紅包和發(fā)紅包，紅包最少是1分錢，最多是200元。

生4：我就用一個(gè)英語(yǔ)字母表示，是x元。

師：大家的思考很有創(chuàng)意。在數(shù)學(xué)上，人們通常用字母來(lái)表示未知數(shù)。

（教師板書(shū)：用字母表示數(shù)）

師：為什么要用字母來(lái)表示數(shù)？

生：因?yàn)橛泻芏嗫赡苄浴?/p>

師：是啊，這里的字母有魔力，它背后概括了很多數(shù)。那么，x可以表示哪些數(shù)？

（教師板書(shū)：概括）

師：對(duì)方可領(lǐng)取的紅包金額為0.01～200元。

（教師板書(shū)：0.01～200元）

【反思】對(duì)于一個(gè)未知的紅包金額，在不斷地猜想失敗之后，教師布置任務(wù)：“想一個(gè)辦法，把所有可能的數(shù)都包括進(jìn)來(lái)?！边@個(gè)貌似簡(jiǎn)單實(shí)則有挑戰(zhàn)性的任務(wù)“逼迫”學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造過(guò)程，展現(xiàn)了學(xué)生富有個(gè)性的原創(chuàng)思維。學(xué)生的思維從“猜”轉(zhuǎn)向“寫(xiě)”，開(kāi)啟了數(shù)學(xué)理解的第一步。

二、發(fā)展：用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系

師：我又收到一個(gè)紅包。這次還猜嗎？（生搖頭）那你們打算怎么表示？

（教師出示任務(wù)二：想一個(gè)辦法表示，把第二個(gè)紅包可能的數(shù)都包括進(jìn)來(lái)。學(xué)生寫(xiě)數(shù)字，教師巡視后選擇典型作品展示）

生1：用字母x來(lái)表示。

師：一學(xué)就會(huì)，還有嗎？

生2：一開(kāi)始寫(xiě)的是x，后來(lái)?yè)Q成y了。

師：為啥換個(gè)字母？

生（齊）：第二個(gè)紅包不一定和第一個(gè)紅包一樣大，不能用同一個(gè)字母。

師：在同一個(gè)問(wèn)題里，不同的數(shù)要用不同的字母來(lái)表示。收到第二個(gè)紅包時(shí)，老師還收到一條短信：“比第一個(gè)紅包多5元”。你又想到了什么？

生3：x+5元。

師：y與x+5哪個(gè)更好？為什么？

生4：我覺(jué)得y更好，更加簡(jiǎn)潔。

生5：x+5更好，可以看出兩個(gè)紅包相差多少，寫(xiě)y就不知道到底是多少了。

師：x+5雖然長(zhǎng)一些，但是它會(huì)“說(shuō)話”——“我比前一個(gè)紅包多5元”。也就是它不但能表示第二個(gè)紅包的錢數(shù)，而且能表示出兩個(gè)紅包之間的關(guān)系。

（教師相機(jī)板書(shū)：關(guān)系）

師：我們對(duì)對(duì)口令，當(dāng)x=1元，x+5=？……當(dāng)x=200元呢？

生6：x不可能為200。

師：此時(shí)，x表示哪些數(shù)？你是怎樣想的？

生7：因?yàn)榈诙€(gè)紅包比第一個(gè)紅包多5元，x的范圍變成了0.01～195元。

（教師調(diào)整之前x的范圍板書(shū)：0.01～195元）

【反思】有了第一個(gè)紅包金額的表示經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于第二個(gè)紅包的金額，學(xué)生自覺(jué)地用字母表示，揭示出“同一個(gè)問(wèn)題中不同的數(shù)用不同的字母來(lái)表示”的一般做法。而隨后教師收到的短信“比第一個(gè)紅包多5元”，引發(fā)了“y與x+5哪個(gè)更好”的討論。

三、探索：字母式的簡(jiǎn)寫(xiě)

師：第三個(gè)紅包來(lái)了。

（課件出示：第三個(gè)紅包是第一個(gè)紅包的2倍）

（教師出示任務(wù)三：想一個(gè)辦法表示，把第三個(gè)紅包可能的數(shù)都包括進(jìn)來(lái)。學(xué)生寫(xiě)數(shù)字，教師巡視后選擇典型作品展示）

生1：x×2元。

生2：可以簡(jiǎn)寫(xiě)成x2元。

生3：不對(duì)，應(yīng)該簡(jiǎn)寫(xiě)成2x元。

師：到底該怎么簡(jiǎn)寫(xiě)呢？看一個(gè)視頻。

……

師：看懂了嗎？接下來(lái)我們來(lái)做一組判斷對(duì)錯(cuò)練習(xí)。

（1）x×3 可以簡(jiǎn)寫(xiě)成 3x。（）

（2）x+3 可以簡(jiǎn)寫(xiě)成 3x。（）

（3）c×c 可以簡(jiǎn)寫(xiě)成 2c。（）

（4）c+c 可以簡(jiǎn)寫(xiě)成 2c。（）

教師針對(duì)（3）（4）題，課件出示下圖。

師：你們覺(jué)得是2c大，還是c2大？

……

【反思】對(duì)于第三個(gè)紅包的金額，在學(xué)生的各種作品展現(xiàn)后，教師聚焦“簡(jiǎn)寫(xiě)”這個(gè)話題，引發(fā)學(xué)生討論，觀看微視頻，學(xué)生進(jìn)行了“有意義的接受式學(xué)習(xí)”。值得指出的是，教師圍繞一些簡(jiǎn)寫(xiě)的難點(diǎn)深入討論，比如“是2c大，還是c2大”，揭示它們的區(qū)別與聯(lián)系，這尤為重要。

四、感受：字母式的變化

（教師出示任務(wù)四：根據(jù)這3個(gè)紅包的信息，你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？）

生1：此時(shí)，x表示哪些數(shù)？

生2：現(xiàn)在x最少是0.01元，最多是100元。

師：你是怎樣想的？

生2：因?yàn)榈谌齻€(gè)紅包最多是200元，而第三個(gè)紅包是第一個(gè)紅包的2倍。

生3：我想問(wèn)，哪個(gè)紅包最??？哪個(gè)紅包最大？

師：好問(wèn)題！在3個(gè)紅包中哪個(gè)最??？

生（齊）：第一個(gè)。

師：哪個(gè)紅包最大？

生4：我覺(jué)得是第三個(gè)紅包，“2x”要比“x+5”多，比如x=10，x+5=15，2x=20。

生5：我覺(jué)得不一定，如果x=1，x+5=6，2x=2，第二個(gè)紅包最大。

師：看樣子，要么是第二個(gè)紅包最大，要么是第三個(gè)紅包最大。

生6（急切地舉手）：老師，還有第三種可能，當(dāng)x=5，x+5=10，2x=10。

師：好像發(fā)現(xiàn)這3種情況都有可能，為你們的思考點(diǎn)贊！學(xué)到現(xiàn)在，你感覺(jué)今天的數(shù)學(xué)與之前的數(shù)學(xué)有什么不同？

生7：有變化了，答案不唯一了。

生8：以前的數(shù)學(xué)是“死”的，現(xiàn)在變活了。

師：用字母表示數(shù)在數(shù)學(xué)史上是一次飛躍。有了它，數(shù)學(xué)就活了，數(shù)學(xué)從此就更有變化了，變得更有意思了。你們還有什么問(wèn)題嗎？

生9：我想知道每個(gè)紅包到底是多少錢？

（教師揭曉3個(gè)紅包金額）

【反思】教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)3個(gè)紅包的教學(xué)情境，讓學(xué)生學(xué)習(xí)“用字母表示未知數(shù)”“用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系”“字母式的簡(jiǎn)寫(xiě)”等知識(shí)點(diǎn)。至此，學(xué)生對(duì)于“用字母表示數(shù)”的理解有了進(jìn)一步提升， “此時(shí)，x表示哪些數(shù)？”“哪個(gè)紅包最??？哪個(gè)紅包最大？”“每個(gè)紅包到底是多少錢？”都是好問(wèn)題，值得學(xué)生去思考甚至辯論。

五、延展：從特殊到一般，理解用字母表示數(shù)的符號(hào)化思想

師：2x除了表示紅包錢數(shù)之間的關(guān)系，還能表示什么？

（教師出示任務(wù)五：說(shuō)一說(shuō)，還能用2x表示什么）

……

師：能說(shuō)完嗎？對(duì)！只要兩個(gè)量有2倍關(guān)系的，都可以用2x概括，老師也講個(gè)故事（如下圖）。

師：大家為數(shù)學(xué)家們點(diǎn)贊的同時(shí)，不要忘記夸獎(jiǎng)一下自己。短短一堂課，我們就學(xué)會(huì)了用字母表示數(shù)。同樣都是用字母表示數(shù)，我發(fā)現(xiàn)丟番圖還早了1000多年，為什么偏說(shuō)韋達(dá)是“代數(shù)學(xué)之父”呢？

（師生討論，明確：丟番圖用字母表示“事物的縮寫(xiě)”，而韋達(dá)用字母表示“概括的符號(hào)”）

師：最后獎(jiǎng)勵(lì)大家一首兒歌，數(shù)青蛙。

（? ）只青蛙（? ）張嘴，（? ）只眼睛（? ）條腿。

用一句話唱完，按照以前的數(shù)學(xué)是不行的，今天呢？同學(xué)們寫(xiě)下來(lái)。

……

【反思】圍繞“2x”編故事絕不是可有可無(wú)的教學(xué)環(huán)節(jié)，它把整節(jié)課從紅包素材中剝離出來(lái)，從“基于情境”到“去情境化”，學(xué)生認(rèn)識(shí)到“只要兩個(gè)量有2倍關(guān)系的，都可以用‘2x概括”。隨后教師補(bǔ)充的史料和隨后的發(fā)問(wèn)“為什么韋達(dá)被稱為‘代數(shù)學(xué)之父”，讓學(xué)生深刻理解用字母表示數(shù)的千年跨越到底在哪里，一言以蔽之——“抽象概括的符號(hào)”。

反思上述課例之所以取得比較好的教學(xué)效果，有以下四點(diǎn)值得總結(jié)：

1.有意思的情境讓數(shù)學(xué)理解更深刻

“用字母表示數(shù)”的學(xué)習(xí)到底該選用怎樣的素材？筆者以為，紅包情境適合學(xué)生，無(wú)論城市，還是農(nóng)村，學(xué)生都見(jiàn)過(guò)或者收到過(guò)紅包，有切身的體驗(yàn)，喜聞樂(lè)見(jiàn)，學(xué)生喜歡。這樣有意思且有意義的情境讓數(shù)學(xué)理解有更肥沃的土壤。

2.挑戰(zhàn)性的任務(wù)讓數(shù)學(xué)理解更深刻

筆者以為，好的學(xué)習(xí)任務(wù)要聚焦矛盾沖突，在關(guān)鍵處“推學(xué)生一把”，讓學(xué)生卷入。日本著名學(xué)者佐藤學(xué)就曾明確提出：“學(xué)校和教師的責(zé)任并不在于上好課，而在于保障每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)權(quán)，給學(xué)生挑戰(zhàn)高水準(zhǔn)學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)?！币虼?，把教學(xué)內(nèi)容巧妙地隱含到一個(gè)個(gè)富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)中，通過(guò)“讓學(xué)生想一個(gè)辦法，把所有可能的數(shù)都包括進(jìn)來(lái)”的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，連續(xù)激發(fā)了學(xué)生的探究需求，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)地學(xué)習(xí)。

3.層次化的過(guò)程讓數(shù)學(xué)理解更深刻

本節(jié)課的學(xué)習(xí)，教師讓學(xué)生經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)理解（從猜到寫(xiě)）—形式理解（凸顯關(guān)系，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)寫(xiě)）—關(guān)系理解（從特殊到一般，去情境化）—觀念理解（史料拓展，符號(hào)化思想）等四個(gè)階段。從課堂反饋看，學(xué)生經(jīng)歷了過(guò)程，產(chǎn)生了體驗(yàn)，不僅深入地理解了字母的產(chǎn)生與優(yōu)點(diǎn)，還對(duì)字母的發(fā)展有了較為深刻的體驗(yàn)。

4.高質(zhì)量的問(wèn)題讓數(shù)學(xué)理解更深刻

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說(shuō)過(guò)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟?！惫P者以為，教師應(yīng)該在“學(xué)生現(xiàn)在在哪里”和“學(xué)生能夠到哪里”的區(qū)間里，引導(dǎo)學(xué)生自己提出高質(zhì)量的問(wèn)題。在上述課例里，像“x表示哪些數(shù)？”“哪個(gè)紅包最少？哪個(gè)紅包最大？”這樣高質(zhì)量的問(wèn)題就來(lái)源于學(xué)生;像“同樣都是用字母表示數(shù)，我發(fā)現(xiàn)丟番圖還早了1000多年，為什么偏說(shuō)韋達(dá)是‘代數(shù)學(xué)之父 呢？”這樣高質(zhì)量的問(wèn)題就來(lái)源于教師。沒(méi)有這一系列恰到好處、層層遞進(jìn)的問(wèn)題引領(lǐng)，學(xué)生的深刻理解就難以保障。

總之，本節(jié)課教師創(chuàng)設(shè)了貼近兒童的情境，以挑戰(zhàn)性的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，以高質(zhì)量的問(wèn)題引領(lǐng)，讓不同層次的學(xué)生都有思考與創(chuàng)造的時(shí)間和空間，讓學(xué)習(xí)看得見(jiàn)，讓數(shù)學(xué)理解更深刻。

（作者單位：江蘇省南京市溧水區(qū)東廬小學(xué)）