張 奇 劉 斌

(*武漢科技大學(xué)冶金自動(dòng)化與測(cè)量技術(shù)工程研究中心 武漢 430081)(**湖北省冶金過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 武漢 430081)

0 引 言

隨著網(wǎng)絡(luò)通訊技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(networked control system， NCS)應(yīng)運(yùn)而生。相比于傳統(tǒng)的控制策略，NCS的優(yōu)勢(shì)在于能夠?qū)崿F(xiàn)遠(yuǎn)程分布控制和遠(yuǎn)程分布共享，安裝維護(hù)方便以及具有高度的靈活性[1]。然而，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳輸數(shù)據(jù)時(shí)，系統(tǒng)中不可避免地存在隨機(jī)時(shí)延和數(shù)據(jù)包丟失，這將會(huì)影響系統(tǒng)的控制性能，甚至破壞其穩(wěn)定性。針對(duì)存在的隨機(jī)時(shí)延和隨機(jī)丟包的線性NCS，輸入時(shí)延、Bernoulli分布、Markov鏈以及切換系統(tǒng)等方法已經(jīng)被用于對(duì)其進(jìn)行建模和分析[2-5]。然而，只有少數(shù)文章研究了非線性被控對(duì)象。因此，對(duì)存在隨機(jī)時(shí)延和丟包的非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(nonlinear networked control system， NNCS)的研究是很有必要的。

對(duì)于一般的非線性被控對(duì)象，通常對(duì)其在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行線性化，然后再基于線性化后的模型進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)控制器。然而，線性化后的模型與原非線性系統(tǒng)模型之間存在較大偏差，這會(huì)影響系統(tǒng)的被控性能。由于Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型對(duì)非線性函數(shù)具有良好的逼近能力，因此，T-S模糊模型已被廣泛用于非線性系統(tǒng)模型的表示[6]。文獻(xiàn)[7，8]使用輸入時(shí)延的方法將網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和丟包等效為輸入時(shí)延，并研究了基于T-S模糊模型的NNCS的穩(wěn)定性問(wèn)題。然而使用輸入時(shí)延的方法往往需要構(gòu)造復(fù)雜的Lyapunov函數(shù)來(lái)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。文獻(xiàn)[9]將NCS中的時(shí)延和丟包的概率作為模糊隸屬度函數(shù)，提出了一種準(zhǔn)T-S模糊模型去表示NCS。文獻(xiàn)[10-12]將NCS中存在的丟包描述為Bernoulli過(guò)程，并采用隨機(jī)系統(tǒng)的分析方法給出了基于T-S模糊模型的NNCS狀態(tài)均方穩(wěn)定的條件。

由于具有隨機(jī)丟包的NCS具有切換系統(tǒng)的特性，可以將存在丟包的NCS建模為具有有限個(gè)子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)模型。文獻(xiàn)[13]將帶有固定時(shí)延和隨機(jī)丟包的NCS建立為切換系統(tǒng)，采用平均駐留時(shí)間(average dwell time， ADT)的方法研究了其指數(shù)穩(wěn)定性問(wèn)題。文獻(xiàn)[14]將帶有時(shí)變時(shí)延和隨機(jī)丟包的T-S模糊系統(tǒng)建模為帶有輸入時(shí)延的切換模糊系統(tǒng)，并采用ADT的方法分析了其指數(shù)穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[15]針對(duì)存在有限個(gè)穩(wěn)定子系統(tǒng)和不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)，在ADT的基礎(chǔ)上提出了慢切換和快切換的模型依賴(lài)的平均駐留時(shí)間(mode-dependent average dwell time， MDADT)方法。文獻(xiàn)[16]將MDADT擴(kuò)展到在T-S模糊模型上的應(yīng)用，但該文章僅研究了開(kāi)環(huán)切換系統(tǒng)。文獻(xiàn)[17]將存在雙邊隨機(jī)時(shí)延和丟包的NCS建模為參數(shù)不確定性的離散時(shí)間切換系統(tǒng)模型，并采用慢切換的MDADT方法對(duì)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。但是，其研究的對(duì)象為線性系統(tǒng)。文獻(xiàn)[18]將存在丟包的type-2模糊系統(tǒng)建模為具有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的模糊切換系統(tǒng)模型，并對(duì)采用慢切換和快切換的MDADT方法分析了系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性。但是，該文章并沒(méi)有考慮系統(tǒng)中存在的隨機(jī)時(shí)延且采用的是零輸出方式來(lái)描述丟包現(xiàn)象。

基于上述分析，本文將存在雙邊隨機(jī)時(shí)延和隨機(jī)丟包的NNCS建模為帶有參數(shù)不確定性的離散切換模糊系統(tǒng)，針對(duì)切換系統(tǒng)中的穩(wěn)定子系統(tǒng)和不穩(wěn)定子系統(tǒng)，分別采用慢切換和快切換的MDADT方法對(duì)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，并給出了模糊狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法。最后，通過(guò)非線性倒立擺實(shí)驗(yàn)，證明了所提方法的有效性，并通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了基于T-S模糊模型設(shè)計(jì)的模糊控制器比基于線性化模型設(shè)計(jì)的線性狀態(tài)反饋控制器具有更大的穩(wěn)定范圍。

1 問(wèn)題構(gòu)建及系統(tǒng)模型

本節(jié)基于T-S模糊模型，對(duì)具有隨機(jī)時(shí)延和丟包的一般非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NNCS)進(jìn)行建模。

考慮如下一般的非線性系統(tǒng)：

(1)

其中，x(t)∈Rn表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量，v(t)∈Rm表示系統(tǒng)的輸入變量，f(x(t))和g(x(t)，v(t))為已知的非線性函數(shù)。

T-S模糊模型首先將非線性系統(tǒng)表示為幾個(gè)局部線性的子系統(tǒng)，然后平滑地將各個(gè)局部線性的子系統(tǒng)通過(guò)相應(yīng)的隸屬度連接起來(lái)，從而形成非線性系統(tǒng)的全局模糊模型。因此非線性系統(tǒng)式(1)可以由一個(gè)T-S模糊模型表示，其第i條規(guī)則表示如下：

規(guī)則i： IFθ1(t) isMi1, …,θg(t) isMig

(2)

其中，θ1(t),θ2(t), …,θg(t)為狀態(tài)變量組成的函數(shù)，即前件變量；Mij(i=1,…r,j=1,…,g)是模糊集；r是模糊規(guī)則數(shù)；Ai為Bi為具有合適維度的系數(shù)矩陣。因此，非線性系統(tǒng)式(1)可以表示為

(3)

圖1 非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

對(duì)其作如下假設(shè)。

(1) 傳感器采用時(shí)間驅(qū)動(dòng)方式，且采樣周期為T(mén)。

(2) 控制器和執(zhí)行器采用事件驅(qū)動(dòng)方式。執(zhí)行器采用0階保持輸出，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生數(shù)據(jù)包丟失時(shí)(傳感器到控制器之間或控制器到執(zhí)行器之間發(fā)生丟包)，當(dāng)前周期內(nèi)執(zhí)行器數(shù)據(jù)不會(huì)更新。

NCS的信號(hào)時(shí)序如圖2。由于考慮了網(wǎng)絡(luò)時(shí)延，被控對(duì)象的控制輸入可以表示為[19]

(4)

圖2 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)時(shí)序圖

當(dāng)系統(tǒng)在當(dāng)前時(shí)刻未發(fā)生數(shù)據(jù)包丟失時(shí)，如圖2在[kT, (k+1)T]、[(k+3)T, (k+4)T]以及[(k+4)T, (k+5)T]等時(shí)間周期內(nèi)，由于存在著隨機(jī)時(shí)延，連續(xù)被控對(duì)象模糊模型式(3)的離散化模型為S0。

S0:x(k+1)

(5)

當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生數(shù)據(jù)包丟失時(shí)，如圖2在[(k+1)T, (k+2)T]、[(k+2)T, (k+3)T]等時(shí)間周期內(nèi)，由于執(zhí)行器采用0階保持器輸出，則連續(xù)被控對(duì)象模糊模型式(3)的離散化模型為S1。

(6)

+Γσ(k)iu(k))

(7)

當(dāng)σ(k)=0時(shí)，系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻未發(fā)生丟包，則有：

當(dāng)σ(k)=1時(shí)，系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻發(fā)生丟包，則有：

針對(duì)系統(tǒng)模型中存在的隨機(jī)時(shí)延，使用不確定性的方法對(duì)其進(jìn)行如下表示。

針對(duì)離散時(shí)間的模糊切換系統(tǒng)模型式(6)，使用增廣矩陣z(k)的狀態(tài)信息，根據(jù)并行分布補(bǔ)償(parallel distributed compensation， PDC)，給出了模糊狀態(tài)反饋控制器u(k)的設(shè)計(jì)方法[20]。

(8)

其中，Ki為待設(shè)計(jì)的控制器參數(shù)。

將式(8)帶入式(7)中可以得到如下帶有參數(shù)不確定性的離散時(shí)間模糊切換閉環(huán)系統(tǒng)模型Sσ(k)。

(9)

由于σ(k)∈Ω={0, 1}，即S0表示系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻未發(fā)生丟包；S1表示系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻發(fā)生丟包。由切換系統(tǒng)式(9)可知，當(dāng)系統(tǒng)被控對(duì)象開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定時(shí)，可以通過(guò)設(shè)計(jì)合適的控制器使子系統(tǒng)S0狀態(tài)穩(wěn)定，即子系統(tǒng)S0為穩(wěn)定的子系統(tǒng)；然而當(dāng)系統(tǒng)被控對(duì)象開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定時(shí)，由于子系統(tǒng)S1不可控，即子系統(tǒng)S1為不穩(wěn)定子系統(tǒng)。因此，根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻是否發(fā)生數(shù)據(jù)包丟失可以將系統(tǒng)描述為一個(gè)穩(wěn)定子系統(tǒng)S0和一個(gè)不穩(wěn)定子系統(tǒng)S1之間相互切換的切換系統(tǒng)模型。本文所給出的模糊切換系統(tǒng)模型可以有效地描述具有隨機(jī)時(shí)延和丟包的NNCS。

2 系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性分析

定義1對(duì)于給定的切換信號(hào)σ(k)，如果存在常數(shù)α>0， 0<γ<1，使得對(duì)于任意的初始狀態(tài)x(k0)滿(mǎn)足‖x(k)‖≤αγ(k-k0)‖x(k0)‖， ?k≥k0，則離散時(shí)間切換系統(tǒng)模型式(9)的平衡點(diǎn)x=0在切換信號(hào)σ(k)的作用下全局一致指數(shù)穩(wěn)定且具有衰減率γ。

定義2慢切換平均駐留時(shí)間(slow switching MDADT)[15]，對(duì)任意的k2>k1≥0，令Nσp(k1,k2)為在時(shí)間區(qū)域[k1,k2]上子系統(tǒng)Sp被激活的次數(shù)，Tp(k1,k2)表示在時(shí)間區(qū)域[k1,k2]上子系統(tǒng)Sp被激活的總時(shí)間周期數(shù)，N0p為系統(tǒng)的顫抖界，p∈Ω={0, 1}。如果存在常數(shù)τap>0，使得Nσp(k1,k2)≤N0p+Tp(k1,k2)/τap成立，則稱(chēng)τap為子系統(tǒng)Sp模型依賴(lài)的MDADT。

定義3快切換平均駐留時(shí)間(fast switching MDADT)[15]，對(duì)任意的k2>k1≥0，令Nσp(k1,k2)為在時(shí)間區(qū)域[k1,k2]上快切換子系統(tǒng)Sp被激活的次數(shù)，Tp(k2,k1)表示在時(shí)間區(qū)域[k1,k2]上快切換子系統(tǒng)Sp被激活的總時(shí)間周期數(shù)，N0p為系統(tǒng)的顫抖界，p∈Ω={0, 1}。如果存在常數(shù)τap>0，使得Nσp(k1,k2)≥N0p+Tp(k1,k2)/τap成立，則稱(chēng)τap為快切換子系統(tǒng)Sp的MDADT。

根據(jù)上述定義，慢切換MDADT的含義為切換系統(tǒng)式(9)中某個(gè)子系統(tǒng)Sp在某2個(gè)相鄰切換點(diǎn)之間的時(shí)間間隔可能會(huì)小于τap個(gè)采樣周期，但是在整個(gè)時(shí)間域內(nèi)，子系統(tǒng)Sp在某2個(gè)相鄰切換點(diǎn)之間的時(shí)間間隔平均起來(lái)不小于τap個(gè)采樣周期。同理，快切換MDADT的含義為切換系統(tǒng)式(9)中某個(gè)子系統(tǒng)Sp在某2個(gè)相鄰切換點(diǎn)之間的時(shí)間間隔可能會(huì)大于τap個(gè)采樣周期，但是在整個(gè)時(shí)間域內(nèi)，子系統(tǒng)Sp在某2個(gè)相鄰切換點(diǎn)之間的時(shí)間間隔平均起來(lái)不大于τap個(gè)采樣周期。

由上文可知，系統(tǒng)可以被描述為在一個(gè)穩(wěn)定子系統(tǒng)S0和一個(gè)不穩(wěn)定子系統(tǒng)S1之間相互切換的離散模糊系統(tǒng)模型。根據(jù)上述所給出的離散切換系統(tǒng)的2類(lèi)MDADT，與文獻(xiàn)[17]采用慢切換去處理所有的子系統(tǒng)不同的是，本文采用慢切換方法去處理穩(wěn)定子系統(tǒng)S0，采用快切換方法去處理不穩(wěn)定的子系統(tǒng)S1。其主要思想是設(shè)計(jì)切換規(guī)則使穩(wěn)定子系統(tǒng)的MDADT足夠大以及使不穩(wěn)定子系統(tǒng)的MDADT足夠小，從而使整個(gè)切換系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定。因此，在時(shí)間區(qū)域[k1,k2]上，對(duì)于穩(wěn)定子系統(tǒng)S0，有Nσ0(k1,k2)≤N00+T0(k1,k2)/τa0；對(duì)于不穩(wěn)定子系統(tǒng)S1，有Nσ1(k1,k2)≥N01+T1(k1,k2)/τa1。

本文的主要目的是在考慮一定時(shí)延和丟包率的條件下，采用模型依賴(lài)的平均駐留時(shí)間方法，通過(guò)合理地設(shè)計(jì)控制器增益，使系統(tǒng)的狀態(tài)全局一致指數(shù)穩(wěn)定。

引理1考慮上述系統(tǒng)式(9)，對(duì)于給定的常數(shù)-1<λ0<0、λ1>0，假設(shè)存在C1函數(shù)V0(z(k))和V1(z(k))：Rn→R以及κ∞類(lèi)函數(shù)κ1、κ2，使得：

以及對(duì)于任意的切換信號(hào)滿(mǎn)足如下的MDADT：

(10)

其中，τa0是子系統(tǒng)S0的MDADT，τa1是子系統(tǒng)S1的MDADT，那么切換系統(tǒng)式(9)是全局一致指數(shù)穩(wěn)定的，其指數(shù)收斂率為γ。

定理1考慮離散模糊切換系統(tǒng)式(9)，對(duì)于給定的常數(shù)μ0>1、 0<μ1<1， -1<λ0<0、 0<λ1<1，如果存在對(duì)稱(chēng)矩陣Pp>0，Pq>0， ?(p,q)∈Ω×Ω，且p≠q，使得下式成立：

Vp(z(k+1))≤(1+λp)Vp(z(k))

(11)

Pp<μpPq

(12)

且如果切換系統(tǒng)的MDADT滿(mǎn)足式(10)時(shí)，離散模糊切換系統(tǒng)式(9)是全局一致指數(shù)穩(wěn)定的。

Vσ(ki)(k)

…

Vσ(k0)(k0)

令k0=0，Vσ(k)(k)=Vσ(ki)(k)，對(duì)于模型依賴(lài)的平均駐留時(shí)間滿(mǎn)足式(10)的切換信號(hào)，有：

=exp{N00(k, 0)lnμ0+N01(k, 0)lnμ1}

≤exp{N00(k,0)lnμ0+N01(k,0)lnμ1}γkVσ(0)(0)

(13)

β1‖z(k)‖≤Vσ(k)(k)

≤Lγk·β2‖z(0)‖

‖x(k)‖≤‖z(k)‖<αγk‖z(0)‖

=αγk‖x(0)‖

當(dāng)γ<1時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)指數(shù)穩(wěn)定。證畢。

3 系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定控制器設(shè)計(jì)

引理2(Schur補(bǔ)引理)對(duì)于給定的對(duì)稱(chēng)矩陣A、對(duì)稱(chēng)正定矩陣C、矩陣B，A+BTCB<0等價(jià)于

引理3對(duì)于給定的實(shí)矩陣W、D、E和F(k)，其中W為對(duì)稱(chēng)矩陣，對(duì)于任意滿(mǎn)足FT(k)F(k)0，使得W+εDDT+ε-1ETE<0。

引理4對(duì)于任意實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Xi、Yi(1≤i≤r)和適當(dāng)維數(shù)的矩陣S>0，以下不等式成立：

定理2考慮離散模糊切換系統(tǒng)模型式(9)，對(duì)于給定的常數(shù)μ0>1、0<μ1<1，-1<λ0<0、0<λ1<1，若存在對(duì)稱(chēng)正定矩陣Xp，p∈Ω，矩陣Y0i以及標(biāo)量εi>0，i=1,…,r，使得如下線性矩陣不等式(LMIs)成立。

(14)

(15)

(16)

其中，

(17)

對(duì)式(12)和式(17)運(yùn)用Schur補(bǔ)引理得：

?p∈Ω(18)

(19)

?p∈Ω(20)

(21)

因此，由不等式(21)可得不等式(16)。

(22)

因此，當(dāng)式(15)成立時(shí)，式(22)成立。

當(dāng)p=0，系統(tǒng)不發(fā)生丟包，系統(tǒng)中存在的隨機(jī)時(shí)變時(shí)延用參數(shù)不確定性的形式表現(xiàn)，由式(20)可得：

<0 (23)

其中，Y0j=KjX0。

< 0 (24)

運(yùn)用Schur補(bǔ)引理，不等式(22)可以等效為

<0 (25)

因此，當(dāng)式(14)成立時(shí)，式(25)成立。證畢。

同樣地，當(dāng)考慮線性被控對(duì)象時(shí)，在定理2的基礎(chǔ)上，有如下推論。

(26)

(27)

(28)

證明推論1證明過(guò)程與定理2類(lèi)似，在此不作說(shuō)明。

由定理1和定理2可知，如果切換系統(tǒng)的MDADT滿(mǎn)足式(10)，則可以對(duì)模糊切換系統(tǒng)式(9)的指數(shù)穩(wěn)定性進(jìn)行分析及控制器的求解。值得注意的是，系統(tǒng)的丟包率越大，越難得到滿(mǎn)足系統(tǒng)狀態(tài)指數(shù)穩(wěn)定的控制器。

傳統(tǒng)的ADT方法是讓所有子系統(tǒng)共用同一個(gè)ADT，而MDADT方法是讓每個(gè)子系統(tǒng)都擁有單獨(dú)的ADT，相比較而言，MDADT方法在穩(wěn)定性分析上具有更小的保守性。同時(shí)快切換和慢切換相結(jié)合的MDADT方法更是對(duì)慢切換MDADT方法的一種補(bǔ)充。

4 數(shù)值仿真

考慮帶有隨機(jī)時(shí)延和隨機(jī)丟包的非線性倒立擺系統(tǒng)，倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型描述如下：

(29)

分別使用T-S模糊模型以及線性化后的模型表示上述倒立擺的分線性動(dòng)力學(xué)模型，然后分別根據(jù)相應(yīng)的模型以及本文所提出的方法設(shè)計(jì)模糊狀態(tài)反饋控制器以及線性控制器，比較兩者控制器的控制效果。

4.1 T-S模糊模型

當(dāng)x1(t)在平衡0點(diǎn)附近時(shí)，有sin(α)≈α和cos(α)≈1。值得注意的是，當(dāng)x1(t)=±π/2時(shí)，系統(tǒng)是不可控的。因此，當(dāng)x1(t)在±π/2附近時(shí)，有sin(x1(t))≈±1和cos(x1(t))≈cos(±88 °)。由式(2)可知，倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型式(29)可以被表示為T(mén)-S模糊模型，其模糊規(guī)則如下：

(30)

4.2 線性化模型

當(dāng)x1(t)在平衡0點(diǎn)附近時(shí)，有sin(α)≈α和cos(α)≈1。則式(29)在0點(diǎn)附近線性化為

(31)

對(duì)于上述的線性化的模型式(31)，通過(guò)推論1求解LMIs式(26)～(28),可得：K=[69.369616.6809 0.5031]。

如圖4可知，當(dāng)擺桿的初始狀態(tài)滿(mǎn)足x1(0)∈[-55 °, 55 °]時(shí)，模糊控制器可以使倒立擺平衡，當(dāng)擺桿的初始狀態(tài)|x1(0)|>55 °時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)散。如圖5可知，當(dāng)擺桿的初始狀態(tài)滿(mǎn)足x1(0)∈[-45 °, 45 °]時(shí)，模糊控制器可以使倒立擺平衡，當(dāng)擺桿的初始狀態(tài)|x1(0)|>45 °時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)散。因此，對(duì)于帶有隨機(jī)時(shí)延和丟包NNCS穩(wěn)定性分析,仿真結(jié)果證明了所提方法的有效性，并且通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了根據(jù)T-S模糊模型所設(shè)計(jì)的模糊控制器比根據(jù)模型線性化方法所設(shè)計(jì)的線性控制器具有更大的穩(wěn)定范圍。

圖3 采樣周期T=0.04 s，丟包率17.20%的數(shù)據(jù)包傳輸時(shí)序圖

圖4 模糊控制器仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖5 線性控制器仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5 結(jié) 論

本文使用T-S模糊模型、參數(shù)不確定性方法以及切換系統(tǒng)方法將帶有雙邊隨機(jī)時(shí)延和丟包的NNCS建模為參數(shù)不確定性的離散模糊切換系統(tǒng)，使用慢切換和快切換相結(jié)合的MDADT方法給出了該切換系統(tǒng)狀態(tài)指數(shù)穩(wěn)定性條件，并求解相應(yīng)的LMIs得到模糊控制參數(shù)，根據(jù)T-S模糊模型所設(shè)計(jì)的模糊控制器比根據(jù)模型線性化方法所設(shè)計(jì)的線性控制器具有更好的控制效果。