劉福才 趙文娜 孟玲聰

(燕山大學工業(yè)計算機控制工程河北省重點實驗室 秦皇島 066004)

0 引 言

航天事業(yè)是一個國家先進技術和綜合國力的重要體現(xiàn)，各國都想在航天領域擁有話語權，因此加快了空間站的研發(fā)步伐。空間機械臂在空間站在軌建設與維護、航天器目標捕獲、廢棄衛(wèi)星回收、太空垃圾清理、輔助航天員艙外作業(yè)等復雜航天任務中必不可少，應用前景廣闊[1，2]。為保證機械臂在空間執(zhí)行任務的可行性，在地面進行微重力環(huán)境模擬這項前期工作至關重要，如何提高地面微重力模擬水平引起了極大關注。文獻[3]設計了一種繩索式減旋裝置和速率控制系統(tǒng)，提高了火箭消旋和姿態(tài)的控制精度，保證了利用微重力火箭進行微重力試驗的可靠性。文獻[4]提出了一種混合微重力仿真方法，通過中性浮力和被控對象的電磁力的共同作用來抵消重力，仿真結果表明微重力模擬精度優(yōu)于中性浮力法。文獻[5]設計了一種可以實現(xiàn)在垂直方向開展空間機構多維運動的微重力模擬系統(tǒng)，主要由垂直升降裝置、PID控制器、伺服電機和空氣軸承組成，該系統(tǒng)能夠實時抵消重力。然而，這些在地面環(huán)境下模擬空間微重力的方法，大多通過使用機械裝置來實現(xiàn)，并不能完全消除重力帶來的影響。文獻[6]中，機械臂飛行驗證(manipulator flight demonstration，MFD)系統(tǒng)在地面進行軌跡跟蹤測試時，機械臂末端在Y軸方向的位置誤差為1 mm,而在空間飛行實驗時測得的位置誤差卻為-3.4 mm。針對這一現(xiàn)象，文獻[7]指出，地面微重力環(huán)境模擬效果有限，應考慮運動行為模擬的方法。因此，文獻[8]提出了一種分數(shù)階終端滑?？刂破?，使空間機械臂在考慮關節(jié)鉸間間隙的情形下，在不同重力環(huán)境下的軌跡跟蹤均能達到理想效果。文獻[9]提出的控制方案中，設計了自適應律對重力進行估計，結合了反演滑?？刂频膬?yōu)點，仿真結果表明該控制算法對2種重力環(huán)境下空間機械臂的末端軌跡均能實現(xiàn)理想跟蹤。然而，以上文獻所提的控制器結構較復雜，在實際情況中恐難實現(xiàn)。本文在傳統(tǒng)PD控制的基礎上，結合了切換控制的思想，提出了一種空間機械臂PD系統(tǒng)切換控制方法。

切換系統(tǒng)包含多個子系統(tǒng)，針對每個子系統(tǒng)設計了相應的控制器，這些子系統(tǒng)和子控制器之間的切換依據(jù)一定的由時間或狀態(tài)決定的切換條件來完成[10]。對切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析已形成較成熟的理論體系[11]。實際被控對象的復雜性和外界環(huán)境的不確定性使得切換系統(tǒng)較之單一固定的控制結構具有明顯優(yōu)勢，并且在生產實踐和工程應用中得到廣泛體現(xiàn)[12-14]。

本文根據(jù)空間機械臂在地面和空間2種情形下不同的動力學特性，提出了一種空間機械臂PD系統(tǒng)切換控制方法。將空間機械臂從裝調到運行分為地面和空間2個子系統(tǒng)，分別設計對應的PD控制器，通過一定的切換規(guī)則，完成2個子系統(tǒng)和對應控制器的切換，從而實現(xiàn)空間機械臂的期望軌跡跟蹤。基于多Lyapunov函數(shù)方法[15]證明了該切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結果表明，與傳統(tǒng)的單一PD控制方法相比，切換控制方法具有明顯的優(yōu)越性。

1 空間機械臂模型

針對空間機械臂系統(tǒng)(如圖1所示)作如下假設：

(1)系統(tǒng)為剛體系統(tǒng)；

(2) 空間忽略微重力，系統(tǒng)處于自由漂浮狀態(tài)，在地面和空間環(huán)境中系統(tǒng)均不受其他外力及外力矩；

(3) 系統(tǒng)由基座和n個連桿組成，基座的位姿不受主動控制，連桿每個關節(jié)具有1個轉動自由度且受主動控制。

圖1 n自由度自由漂浮空間機械臂模型

1.1 地面階段模型

在地面試驗階段，機械臂受到重力作用，系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)等于系統(tǒng)的總動能與總勢能之差。由拉格朗日方程推導而來的基座固定的空間機械臂的動力學方程為

(1)

用x∈Rn表示空間機械臂末端在工作空間的位置和姿態(tài)，J(q)∈R6×n為系統(tǒng)的雅可比矩陣，并且滿足非奇異，即J(q)可逆，則系統(tǒng)在工作空間的運動學方程為

(2)

1.2 空間階段模型

在空間微重力環(huán)境中，基座處于自由漂浮狀態(tài)，從而整個系統(tǒng)的運動增加了6個自由度。系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)等于系統(tǒng)的總動能。由拉格朗日方程推導得到的系統(tǒng)的動力學方程為

(3)

(4)

本文將用到空間機械臂的如下特性[16]。

特性1M(q)為正定對稱陣且有界，滿足

λm‖η‖2≤ηTM(q)η≤λM‖η‖2,

?η∈Rn+6

其中，λm和λM分別表示對稱正定矩陣的最小和最大特征值，都是正常數(shù)。

2 控制器設計和穩(wěn)定性分析

2.1 控制器設計

首先，根據(jù)空間機械臂在地面和空間所受重力的不同，將地面和空間看成2個子系統(tǒng)，再分別為地面子系統(tǒng)和空間子系統(tǒng)設計不同的PD控制器。開始時刻，機械臂在地面調試階段，此時地面子系統(tǒng)和對應的控制器處于工作狀態(tài)。當重力加速度測量系統(tǒng)[17]檢測到重力加速度≤10-4g，表明此時空間機械臂已處于微重力環(huán)境，則控制系統(tǒng)從地面子系統(tǒng)切換到空間子系統(tǒng)，對應的PD控制器同時發(fā)生轉換。2個子系統(tǒng)的PD控制器形式如下。

地面階段

(5)

空間階段

(6)

空間機械臂系統(tǒng)的閉環(huán)方程可表示為如下形式：

(7)

空間機械臂PD系統(tǒng)切換控制結構圖如圖2所示。

圖2 空間機械臂PD系統(tǒng)切換控制圖

2.2 穩(wěn)定性分析

首先證明2個子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

為第i個子系統(tǒng)選取1個Lyapunov函數(shù)：

正確的臥位,是杜絕頭部壓瘡發(fā)生的關鍵。臥位要求,雙側去骨瓣者給予頭部仰臥位或U型枕交替使用;小腦手術者,給予完全健側臥位2小時和平臥位1小時交替進行;一側去骨瓣者給予健側臥位和平臥位;頸項強直者臥位時米枕抵住,慢慢糾正。

(8)

(9)

其中，

(10)

因為

(11)

(12)

所以

(13)

γ5=2αβλmax(Mi(q))+γ2+αγ4

γ6=-λmin(Kv)+γ2+γ3

由不等式定理得：

(14)

(15)

綜上，有：

(16)

可以得出,地面和空間2個子系統(tǒng)均能保證穩(wěn)定性。

下面證明切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

假設第i個子系統(tǒng)存在常數(shù)ai,bi,ci。

由式(8),結合特性1，可知：

(17)

從而，

(18)

由式(16)可知：

(19)

結合式(18)、式(19)，可得：

(20)

即，

(21)

假設σ(t)=i, ?t∈[t0,t0+τ]，i=1，2。其中，σ(t)表示切換信號，τ是一個正常數(shù)。則：

Vi(x(t0+τ))≤e-λiτVi(x(t0))

(22)

可以推出：

(23)

由此得：

(24)

只要τ足夠大，就可以保證V1(t2)≤V1(t0)，引用多Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性條件可知，此時切換系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。

3 仿真研究

為了驗證切換控制理論應用于空間機械臂的可行性，用Matlab軟件對地面重力環(huán)境和空間微重力環(huán)境中空間機械臂的末端軌跡跟蹤進行了仿真研究，同時將本文所提控制策略與PD控制方法進行了比較。表1為2自由度空間機械臂的仿真參數(shù)?？刂破鲄?shù)為

Kp=diag{250， 250},Kv=diag{25，25}

空間機械臂的期望末端軌跡為

表1 2自由度空間機械臂仿真參數(shù)

3.1 有重力補償?shù)目臻g機械臂軌跡跟蹤

圖3表示在同一有重力補償項的PD控制器作用下的空間機械臂在地面和空間2個階段的末端軌跡跟蹤情況。

圖3 有重力補償?shù)目臻g機械臂軌跡跟蹤

由圖3(a)可知，在地面環(huán)境中，機械臂受到的重力作用與PD控制器中的重力項相抵消，因此軌跡跟蹤情況較理想。而圖3(b)說明了在空間微重力環(huán)境中，PD控制器中的重力項對機械臂不起作用，導致空間機械臂末端的實際軌跡與期望軌跡嚴重不符。

3.2 無重力補償?shù)目臻g機械臂軌跡跟蹤

圖4表示在同一無重力補償?shù)腜D控制器作用下的空間機械臂在地面和空間2個階段的末端軌跡跟蹤情況。

圖4 無重力補償?shù)目臻g機械臂軌跡跟蹤

從圖4(b)可知，采用沒有重力項的PD控制器，空間階段的機械臂末端軌跡跟蹤達到理想效果。而圖4(a)說明了在地面環(huán)境中，機械臂受到的重力由于未得到實時補償，末端實際軌跡無法準確跟蹤期望軌跡。

3.3 采用切換控制的空間機械臂軌跡跟蹤

通過以上仿真結果可以得出，在地面和空間2種環(huán)境中，采用不同的PD控制器，空間機械臂末端實際軌跡都能較好跟蹤理想軌跡。據(jù)此本文提出的PD系統(tǒng)切換控制策略，能夠實現(xiàn)從地面到空間2個階段的機械臂末端軌跡的準確跟蹤。以下為具體仿真過程。

仿真時間為20 s。假設加速度測量系統(tǒng)在第10 s時檢測到重力加速度≤10-4g，則控制系統(tǒng)從地面子系統(tǒng)切換到空間子系統(tǒng)，對應的PD控制器同時發(fā)生轉換。仿真結果如圖5(a)～5(d)所示。

圖5 空間機械臂切換控制仿真結果

從圖5(a)和5(b)可以看出，采用本文提出的PD系統(tǒng)切換策略，在地面階段，地面子系統(tǒng)和子控制器處于工作狀態(tài)，機械臂的末端和2個關節(jié)的軌跡跟蹤均取得了較好效果。到達切換時刻時，子系統(tǒng)和相應的控制器能夠快速同步作出響應。切換后的機械臂的末端和2個關節(jié)依然能快速跟蹤上期望軌跡，且切換過程迅速平穩(wěn)，無較大波動，切換前后2個子系統(tǒng)均是穩(wěn)定的，滿足切換系統(tǒng)的多Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性條件。

圖5(c)給出了空間機械臂在地面和空間2個階段關節(jié)力矩的變化情況，可以看出，空間環(huán)境中，2個關節(jié)所需的控制力矩較之地面階段顯著減小，符合實際情形。發(fā)生系統(tǒng)和控制器切換時，控制力矩沒有因此發(fā)生劇烈變化，為空間機械臂末端提供了穩(wěn)定的控制作用。圖5(d)表示空間機械臂的末端軌跡跟蹤誤差，可以看出，在地面和空間2種環(huán)境下，空間機械臂的末端軌跡跟蹤誤差都趨近于0，實際軌跡都能較好跟蹤期望軌跡,系統(tǒng)和控制器切換的發(fā)生并沒有造成誤差的增大，保證了系統(tǒng)的魯棒性。

4 結 論

針對空間機械臂從地面階段到空間階段因重力變化而引起的末端軌跡跟蹤問題，提出了一種PD系統(tǒng)切換控制策略。當檢測到重力發(fā)生變化時，能夠主動實現(xiàn)從地面子系統(tǒng)到空間子系統(tǒng)，從地面PD控制器到空間PD控制器的同步切換，切換過程在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的基礎上體現(xiàn)了較好的快速性。仿真結果表明該控制方法在地面和空間2種環(huán)境中空間機械臂的末端軌跡跟蹤均能取得較好效果，通過與單一的PD控制方法進行比較，證明了本文所提控制策略的優(yōu)越性。本文的控制算法結合了PD控制和切換控制的優(yōu)點，簡單易行，并具有較強的魯棒性，對解決空間機械臂在地面和空間不同重力環(huán)境下的控制問題提出了新的思路，具有較好的參考價值。