孫明軒 吳雨芯 張 鈺

(浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院 杭州 310023)

0 引 言

矩陣求逆與矩陣方程求解是廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究及工程等領(lǐng)域中的典型計算問題。Hopfield于20世紀(jì)80年代提出的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是常用的求解方法[1,2]。遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算具有并行計算的特點，能夠高效、高精度地獲得計算結(jié)果。這種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也被廣泛用于解決優(yōu)化問題。例如，文獻(xiàn)[3]將非線性規(guī)劃歸結(jié)為遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)解，文獻(xiàn)[4]設(shè)計動態(tài)梯度系統(tǒng)求解優(yōu)化問題，文獻(xiàn)[5]采用對偶遞歸神網(wǎng)絡(luò)模型求解線性與二次規(guī)劃問題。為解決傳統(tǒng)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在求解時變問題時的不足,文獻(xiàn)[6]提出一種漸近收斂遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(recurrent neural networks, RNN),將其用于求解時變線性矩陣方程,能夠保證其計算解指數(shù)地收斂于理論解。文獻(xiàn)[7]討論了這種RNN在離散實現(xiàn)時的計算性能, 并與牛頓迭代法進(jìn)行了比較，其與梯度法的比較結(jié)果見文獻(xiàn)[8]。文獻(xiàn)[9]將這種方法應(yīng)用于求解線性矩陣不等式，文獻(xiàn)[10] 在誤差方程中引入積分項，以提高干擾影響下的計算精度。文獻(xiàn)[11]提出一種時變參數(shù)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并將其應(yīng)用于時變Sylvester方程的在線求解。

與漸近穩(wěn)定系統(tǒng)不同，終態(tài)吸引系統(tǒng)是一類具有有限時間收斂特性的動態(tài)系統(tǒng)[12]。采用漸近收斂網(wǎng)絡(luò)模型，求解過程收斂至精確解需無限長的時間，因此有限時間收斂神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型更適用于求解時變矩陣計算問題。將終態(tài)吸引系統(tǒng)理論用于遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，可以在2個方面改善計算性能：一方面提高收斂速度，另一方面提高計算精度。文獻(xiàn)[13-15]提出的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算模型，計算過程能夠在有限時間內(nèi)收斂，給出了時變矩陣計算問題更為有效的解決方案。這種終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已應(yīng)用于求解線性矩陣方程[16]、Lyapunov方程[17]以及Sylvester方程[18，19]。

冗余機(jī)械臂是指末端執(zhí)行器在執(zhí)行給定任務(wù)時所具有自由度超出所需自由度的機(jī)械臂，超出的自由度可以使末端執(zhí)行器在完成給定任務(wù)的同時完成其他各項性能指標(biāo)。傳統(tǒng)的冗余度解析方法是基于偽逆的方法。但是基于偽逆方法得到的關(guān)節(jié)運(yùn)動可能不具有可重復(fù)性[20，21]。文獻(xiàn)[22]通過修正運(yùn)動指標(biāo)，形成重復(fù)運(yùn)動規(guī)劃(二次規(guī)劃), 進(jìn)一步通過拉格朗日乘子法將二次規(guī)劃轉(zhuǎn)換為矩陣求逆問題, 并以遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解冗余度解析問題。近來，為了提高解算效率，基于終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解運(yùn)動規(guī)劃引起人們的關(guān)注[16-18]。從已發(fā)表的文獻(xiàn)可以看出，目前提出的終態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型多具有無限值，不易于實現(xiàn)。

本文提出一類新穎的二次曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，包括雙曲線型、橢圓型和拋物線型3種終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其典型特征是網(wǎng)絡(luò)各變量取值有限。文中詳細(xì)分析了這類網(wǎng)絡(luò)的有限時間收斂特性，并以雙曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為例，檢驗其在時變矩陣計算與機(jī)器人軌跡規(guī)劃方面的有效性。首先將其應(yīng)用于一般時變線性矩陣方程的求解，它能夠在有限時間內(nèi)快速、準(zhǔn)確地收斂到理論解。對于冗余機(jī)械臂重復(fù)規(guī)劃問題，本文將重復(fù)運(yùn)動指標(biāo)取為終態(tài)收斂性能指標(biāo)，通過將其轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題，在初始位置偏移的情況下，利用雙曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行求解，從而實現(xiàn)冗余機(jī)器人有限時間收斂的重復(fù)運(yùn)動規(guī)劃任務(wù)。

1 二次曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

為了解決時變神經(jīng)計算問題，本節(jié)提出二次曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并分析這種終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間收斂性、確定收斂時間。

1.1 雙曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

提出2種雙曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，用于時變問題求解。

雙曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)1的誤差動態(tài)方程如下：

(1)

F1(Eij(t),a,b)=

其中，Eij(t)為誤差變量，ε>0為用于調(diào)整收斂速度的常值；δ、b>0 分別表示雙曲線半實軸與半虛軸長度。

定理1由式(1)描述的雙曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)1全局有限時間收斂，其收斂時間為

T=

(2)

證明針對誤差動態(tài)方程式(1)，分2種情形討論。

(Eij(t)+a)2=Y2+a2

(3)

對其兩端關(guān)于時間t求導(dǎo)：

(4)

這時，式(1)化簡為

(5)

將式(3)與式(5)代入式(4)，得：

(6)

定義Y=atanZ，代入式(6)可得：

(7)

求取Eij(t)由Eij(0)收斂到Eij(t)=0的時間：

解出T得：

(2) 當(dāng)Eij(t)≤0時，同理可得：

雙曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)2的誤差動態(tài)方程為

(8)

F2(Eij(t),σ)=

當(dāng)σ取不同值時，函數(shù)F2(Eij(t),σ)的變化情形如圖1所示?？梢钥闯觯{(diào)整參數(shù)σ會改變該函數(shù)在原點附近的斜率；當(dāng)時間趨于0時，該函數(shù)導(dǎo)數(shù)趨于無窮大，從而使得網(wǎng)絡(luò)有限時間收斂。

圖1 函數(shù)F2(Eij(t),σ)

定理2由式(8)所描述的雙曲線型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)2全局有限時間收斂，其有限時間收斂性分2種情形。

(1) 當(dāng)|Eij(t)|<σ時，誤差Eij(t)從Eij(0)收斂到原點所需時間為

T=

(9)

(2) 當(dāng)|Eij(t)|≥σ時，該網(wǎng)絡(luò)收斂時間為

(10)

證明針對誤差方程式(8)，下面分4種情形分別討論。

(1) 當(dāng)0≤Eij(t)<δ時，類似定理1的證明，求得的收斂時間為

(2) 當(dāng)-δ

(3) 當(dāng)Eij(t)≥δ時，首先考慮誤差從Eij(0)收斂到σ所需的時間T1，有：

解出T1為

誤差由Eij(t)=σ收斂到Eij(t)=0所需時間滿足

解得

因此，當(dāng)Eij(t)≥σ時，Eij(t)從Eij(0)收斂到0所需時間T為

以上提出的是雙曲線型網(wǎng)絡(luò)，除此以外，二次曲線型終態(tài)網(wǎng)絡(luò)還有2種形式，即拋物線型與橢圓型終態(tài)網(wǎng)絡(luò)。

1.2 拋物線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

拋物線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差動態(tài)方程如下：

(11)

F(Eij(t),σ)=

定理3由式(11)描述的拋物線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局有限時間收斂，其有限時間收斂性分以下2種情形。

(1) 當(dāng)|Eij(t)|<σ時，誤差Eij(t)從初始誤差Eij(0)收斂到Eij(t)=0所需時間為

(12)

(2) 當(dāng)|Eij(t)|≥σ時，該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂時間為

(13)

證明依據(jù)誤差動態(tài)方程式(1)，分4種情況分別討論。

(1) 當(dāng)0≤Eij(t)<σ時， 由式(11)可知：

(14)

對式(14)兩端積分：

誤差Eij(t)由Eij(0)收斂至原點所需時間為

(2) 當(dāng)-σ

因此，當(dāng)|Eij(t)|<σ時,收斂時間如式(12)所示。

因此，

這樣，從初始誤差Eij(0)收斂到原點的時間為

(4) 當(dāng)Eij(t)≤-σ時，與情形(3)推導(dǎo)類似，

故當(dāng)|Eij(t)|≥σ時，收斂時間如式(13)所示。

1.3 橢圓型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

橢圓型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差動態(tài)方程如下：

(15)

F(Eij(t),σ)=

定理4由式 (15) 描述的橢圓型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局有限時間收斂，其有限時間收斂性分以下2種情形。

(1) 當(dāng)|Eij(t)|<σ時，該網(wǎng)絡(luò)從初始誤差Eij(0)收斂到Eij(t)=0所需時間為

(16)

(2) 當(dāng)|Eij(t)|≥σ時，該網(wǎng)絡(luò)的收斂時間為

(17)

證明依據(jù)誤差動態(tài)方程式(15)， 分4種情形分別討論。

Y2+(Eij(t)-a)2=a2

(18)

對式(18)兩端關(guān)于時間求導(dǎo)：

(19)

(20)

對式(20)兩端積分， 有：

可求得誤差Eij(t)由Eij(0)收斂到原點的時間T滿足：

(2) 當(dāng)-σ

故當(dāng)|Eij(t)|<σ時, 收斂時間如式(16)所示。

誤差從Eij(t)=σ收斂到0所需的時間T2滿足：

解得，

這樣，誤差從初始誤差Eij(0)收斂到Eij(t)=0所需的時間為

(4) 當(dāng)Eij(t)≤-σ時，同理可得：

故當(dāng)|Eij(t)|≥σ時, 收斂時間如式(17)所示。

2 時變線性矩陣方程求解

考慮下述一般時變線性矩陣方程：

(21)

其中，Ak(t)∈Rn×n,Bk(t)∈Rm×m,C(t)∈Rn×m為時變系數(shù)矩陣，X(t)∈Rn×m為待求解未知時變矩陣。

本文的計算目的是以雙曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解未知時變矩陣X(t)，在有限時間收斂后，獲得時變矩陣的解。為此目的，依據(jù)式 (21)，定義矩陣值誤差函數(shù)為

(22)

對式 (22) 左右兩邊同時求導(dǎo)，可得到：

(23)

(24)

為了驗證所提出的雙曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在計算時變線性矩陣方程式(21)方面的有效性，本文設(shè)置時變線性矩陣方程式(21)不同的系數(shù)矩陣，給出具體形式的時變矩陣方程，包括時變Lyapunov方程和時變Sylvester方程。分別給出將雙曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于求解這2類時變矩陣方程的計算結(jié)果，并與遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對于同一算例的結(jié)果進(jìn)行比較，以驗證所提出的雙曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂性能。

2.1 時變Lyapunov方程

(25)

定義矩陣值誤差函數(shù)為

(26)

對式 (26) 左右兩邊同時求導(dǎo)：

(27)

將式(27)代入網(wǎng)絡(luò)誤差動態(tài)方程式(1)和式(8)，可得如下終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

例1利用雙曲線型終態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型式(28)求解時變Lyapunov方程式(25)，其中時變矩陣為

(29)

(30)

圖2 時變Lyapunov方程的求解結(jié)果

圖3 時變Lyapunov方程計算誤差軌跡

圖4 時變Lyapunov方程計算誤差對比

2.2 時變Sylvester方程

在時變線性矩陣方程式(21)中，置k=2，m=n，B1(t)=A2(t)=I，該方程簡化為下述時變Sylvester方程：

A1(t)X(t)+X(t)B2(t)=C(t)

(31)

定義矩陣值誤差函數(shù)為

E(t)=A1(t)X(t)+X(t)B2(t)-C(t)

(32)

對式(32)左右兩邊同時求導(dǎo)，可得：

(33)

將式(33)代入網(wǎng)絡(luò)誤差動態(tài)方程式(1)和式(8)，可得雙曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

例2利用雙曲線型終態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型式(34)求解時變Sylvester方程式(31)，其中時變矩陣為

(35)

(36)

(37)

圖5和圖6給出了雙曲線型終態(tài)網(wǎng)絡(luò)的求解結(jié)果及計算誤差。當(dāng)所有解元素的誤差小于5×10-3時，基于雙曲線型終態(tài)網(wǎng)絡(luò)1求解所需時間t=0.699 s;基于雙曲線型終態(tài)網(wǎng)絡(luò)2求解所需時間t=0.837 s。當(dāng)T∈[9,10]范圍內(nèi)，基于雙曲線型終態(tài)網(wǎng)絡(luò)求解得到的誤差波動范圍為[-5×10-3, 5×10-3]。圖7為分段邊界σ取不同值時，利用雙曲線型終態(tài)網(wǎng)絡(luò)2求解時誤差的F范數(shù)，可以看出，隨著σ的減小，X(t)收斂到理論解X*(t)的速度加快。

上述算例表明，所提出的雙曲線型終態(tài)網(wǎng)絡(luò)對于解決一般時變線性矩陣問題是有效的。相比于具有漸近收斂動態(tài)特性的遞歸網(wǎng)絡(luò)，雙曲線型終態(tài)網(wǎng)絡(luò)具有有限時間收斂性、收斂速度快、計算精度高的特點。

圖5 雙曲線型終態(tài)網(wǎng)絡(luò)1求解結(jié)果及計算誤差

圖6 雙曲線型終態(tài)網(wǎng)絡(luò)2求解結(jié)果及計算誤差

圖7 雙曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)2求解誤差范數(shù)

3 冗余機(jī)械臂重復(fù)運(yùn)動規(guī)劃

本節(jié)將雙曲線型終態(tài)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于求解冗余機(jī)械臂重復(fù)運(yùn)動規(guī)劃，并以PA10機(jī)械臂為例驗證所提出終態(tài)網(wǎng)絡(luò)的適用性。

考慮n自由度機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角度和末端執(zhí)行器位移關(guān)系

r(t)=f(θ(t))

(38)

其中，r(t)表示末端執(zhí)行器在笛卡爾坐標(biāo)系下的位姿變量，θ(t)表示關(guān)節(jié)角。末端笛卡爾空間和關(guān)節(jié)空間的各變量微分之間的關(guān)系為

(39)

為了執(zhí)行重復(fù)運(yùn)動任務(wù),可引入重復(fù)運(yùn)動指標(biāo)作為優(yōu)化準(zhǔn)則，將冗余機(jī)械臂運(yùn)動規(guī)劃描述為相應(yīng)的二次規(guī)劃問題，通過求解該優(yōu)化問題形成重復(fù)運(yùn)動規(guī)劃方案。與文獻(xiàn)[18]不同的是，本文將重復(fù)運(yùn)動指標(biāo)設(shè)計為終態(tài)收斂性能指標(biāo)，其具體形式如下：

(40)

其中，

g(θ)=

sgn(θ(t)-θd(0))

(41)

定義拉格朗日函數(shù)如下：

-βr(rd-f(θ)))

(42)

W(t)Y(t)=V(t)

(43)

其中，

為求解由式(41)所示的二次規(guī)劃問題，定義誤差：

E(t)=W(t)Y(t)-V(t)

(44)

將式(44)代入誤差動態(tài)方程，可得終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

(45)

據(jù)此模型完成求解過程，便可得到機(jī)械臂各個關(guān)節(jié)角軌跡。

圖8分別給出了求解獲得的 PA10 末端執(zhí)行器在空間中的運(yùn)動軌跡及各個關(guān)節(jié)運(yùn)動軌跡。可以看出，末端執(zhí)行器的初始位置不在期望軌跡上，但各個關(guān)節(jié)的軌跡在運(yùn)行一個周期后是閉合的，實現(xiàn)了重復(fù)運(yùn)動控制。為了說明該終態(tài)網(wǎng)絡(luò)在重復(fù)運(yùn)動規(guī)劃中的有效性，機(jī)械臂末端執(zhí)行器完成圓軌跡過程中相應(yīng)的關(guān)節(jié)角和關(guān)節(jié)角速度軌跡如圖 9 所示。機(jī)械臂各關(guān)節(jié)角最終收斂于期望關(guān)節(jié)角位置，關(guān)節(jié)角速度收斂于0 ，機(jī)械臂運(yùn)動停止。末端執(zhí)行器各個位置誤差如圖10所示，隨著時間增加(T=10 s)，末端執(zhí)行器的終值位置誤差精度在XYZ軸3個方向上達(dá)到4×10-6，實際軌跡與期望軌跡吻合，從而實現(xiàn)由初始位置收斂于期望軌跡。

圖8 PA10末端執(zhí)行器運(yùn)動軌跡及各關(guān)節(jié)運(yùn)動軌跡

圖9 PA10關(guān)節(jié)角及關(guān)節(jié)角速度軌跡

另外，表1 給出了當(dāng)軌跡規(guī)劃完成時的雙曲線型終態(tài)網(wǎng)絡(luò)及漸近收斂網(wǎng)絡(luò)各關(guān)節(jié)角實際回攏角度與其期望角度之間的偏差對比，其中，取參數(shù)ε=2。

4 結(jié) 論

本文提出一種新的二次曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并證明其有限時間收斂性。以雙曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為例，將其用于一般時變線性矩陣方程的求解，使時變線性矩陣方程解能夠快速地在有限時間內(nèi)收斂到其理論解。將雙曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于冗余機(jī)械臂重復(fù)運(yùn)動規(guī)劃，并將重復(fù)運(yùn)動指標(biāo)設(shè)計為終態(tài)收斂性能指標(biāo)，在初始位置偏移的情況下，實現(xiàn)冗余機(jī)械臂快速有限時間內(nèi)收斂的重復(fù)運(yùn)動規(guī)劃任務(wù)，進(jìn)一步說明了雙曲線型終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的適用性。

圖10 末端執(zhí)行器各位置誤差

表1 各關(guān)節(jié)角實際回攏角度與期望角度偏差