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        學(xué)會(huì)基于教材的延伸性思考

        2020-11-05 03:35:24黃秀旺特級(jí)教師
        初中生世界 2020年39期
        關(guān)鍵詞:延伸性外角圓心角

        文 黃秀旺(特級(jí)教師)

        教材是老師和同學(xué)們進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的材料,是教學(xué)的主要媒介。蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)“對(duì)稱圖形——圓”給出了一些重要定理,而對(duì)于數(shù)學(xué)問題的探究來說,我們?nèi)绻麑?duì)定理做一些延伸性的思考,會(huì)得到更有價(jià)值的結(jié)論,有助于提升解決問題的能力。

        一、教材對(duì)常用的結(jié)論做出了延伸性的結(jié)論

        基本定理:教材第45頁“圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等”,第55頁“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半”。

        追問:圓周角的度數(shù)與它所對(duì)弧的度數(shù)之間的關(guān)系如何?

        因?yàn)閳A心角的度數(shù)與它所對(duì)弧的度數(shù)相等,圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半,所以圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半。

        例1(2019·江蘇鹽城)如圖1,點(diǎn)A、B、C、D、E在⊙O上,且為50°,則∠E+∠C=________°。

        【解析】∠E與∠C均為圓周角,它們所對(duì)的弧分別是,由于為50°,所 以與的 度 數(shù) 之 和 為360°-50°,即310°,根據(jù)“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半”得到∠E+∠C=155°。

        例2如圖2,是半圓,O為AB的中點(diǎn),C、D兩點(diǎn)在上,且AD∥OC,連接BC、BD。若為62°,則∠ABD為( )。

        A.28 B.29

        C.30 D.31

        【解析】根據(jù)題意,AB是直徑,∠ADB=90°,又AD∥OC,所以O(shè)C⊥DB,根據(jù)垂徑定理,,因?yàn)闉?2°,所以也為62°??梢缘玫綖?6°,根據(jù)“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半”得到∠ABD=28°。

        二、教材“練習(xí)”對(duì)定理做出延伸性的思考

        教材第60頁的練習(xí)3:如圖3,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,∠C=130°。求∠BOD的度數(shù)。

        追問1:一般地,∠C與∠BOD有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

        根據(jù)教材第59頁“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”,第55頁“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半”可以得到∠C+∠A=180°,∠A=∠BOD,所以∠C+∠BOD=180°。

        例3(2018·江蘇蘇州)如圖4,AB是半圓的直徑,O為圓心,C是半圓上的點(diǎn),D是上的點(diǎn),若∠BOC=40°,則∠D的度數(shù)為( )。

        A.100° B.110°

        C.120° D.130°

        【解析】根據(jù)互補(bǔ)得出∠AOC=180°-4

        0°=140°,由延伸性思考可知∠AOC+∠D=180°,所以∠D=110°。

        教材第60頁的練習(xí)2:如圖5,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,∠CBE是它的一個(gè)外角。若∠D=100°,求∠CBE的度數(shù)。

        追問2:一般地,∠CBE與∠D有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

        【解析】根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”得到∠D+∠ABC=180°,又∠ABC+∠CBE=180°,所以∠CBE=∠D,即外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

        例4(2019·貴州銅仁)如圖6,四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形,∠A=100°,則∠DCE的度數(shù)為________。

        【解析】根據(jù)延伸性思考得到外角等于它的內(nèi)對(duì)角,所以∠DCE=∠A=100°。

        三、基于解題經(jīng)驗(yàn)對(duì)定理做出延伸性的思考

        基本定理:教材第47頁“垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧”,第55頁“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半”。

        如圖7,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足為P。

        追問:如圖7,除了∠COB,還有哪個(gè)角與∠BOD相等?

        【解析】根據(jù)已知條件,利用垂徑定理可以知道,再根據(jù)“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半”,可以得到∠CAD=∠BOD。此結(jié)論的應(yīng)用也較為廣泛。

        例5(2013·江蘇南京)如圖8,AD是⊙O的切線,切點(diǎn)為A,AB是⊙O的弦。過點(diǎn)B作BC∥AD,交⊙O于點(diǎn)C,連接AC,過點(diǎn)C作CD∥AB,交AD于點(diǎn)D。連接AO并延長交BC于點(diǎn)M,交過點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P,且∠BCP=∠ACD。

        試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由。

        【解析】如圖9,連接OC,由以上延伸性思考可知∠POC=∠BAC。由AB∥DC得∠ACD=∠BAC,所以∠POC=∠BCP。而由切線AD的性質(zhì)及BC∥AD可知∠OMC=90°,所 以∠POC+∠MCO=90°,從 而∠BCP+∠MCO=90°,易判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系。

        當(dāng)然,圓這一章還有一些定理也可以做出延伸性思考,這就要求同學(xué)們善于把握知識(shí)之間的聯(lián)系,從聯(lián)系中獲得新知;也要善于總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn),從解題經(jīng)驗(yàn)中獲得新知。許多中考試題源于教材,在教材的例習(xí)題基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展延伸,如果我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中,主動(dòng)思考,一定會(huì)提升解決復(fù)雜問題的能力。

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