王大星

（滁州學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽 滁州 239000）

0 引言

科學(xué)合理地評價是進行科學(xué)決策的前提，沒有科學(xué)的評價就很難實現(xiàn)科學(xué)的決策?，F(xiàn)代綜合評價方法是數(shù)學(xué)建?；蜻\籌學(xué)課程里的一項重要方法，其目的是根據(jù)系統(tǒng)的屬性判斷確定這些系統(tǒng)運行狀況的優(yōu)劣，也就是按照優(yōu)劣程度對各個評價對象進行排序或分類。[1]一般地，根據(jù)如何確定評價指標(biāo)的權(quán)重，綜合評價方法一般可以分為兩大類。一類是主觀賦權(quán)法，通過采用綜合咨詢評分的辦法來確定權(quán)重，如層次分析法、模糊綜合評判法等。另一類是客觀賦權(quán)法，它根據(jù)各指標(biāo)間的相關(guān)關(guān)系或各指標(biāo)的變異程度來確定權(quán)重，如因子分析法、理想解法等。

理想解法又稱為TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution）法，由C.L. Hwang和K.Yoon于1981年首次提出。與灰色關(guān)聯(lián)度分析法類似，它也是根據(jù)有限個評價對象與理想化目標(biāo)的關(guān)聯(lián)程度進行排序的方法。[2-3]在數(shù)學(xué)建模課程的TOPSIS模型實驗課教學(xué)中，我們通常利用MATLAB或C語言來作為編程工具來求解，過程比較復(fù)雜，并且耗時多，學(xué)生難以接受。LINGO軟件是美國LINDO系統(tǒng)公司開發(fā)的一套專門用于求解優(yōu)化問題的編程工具。LINGO提供了強大的語言和快速的求解引擎來闡述和求解優(yōu)化規(guī)劃模型，以功能強、計算效果好、代碼語法簡單、執(zhí)行速度快為特色，是求解線性、非線性和整數(shù)規(guī)劃模型的首選工具，在國外運籌學(xué)和數(shù)學(xué)模型類課程的實驗教學(xué)中廣泛使用。隨著LINGO軟件的不斷開發(fā)，尤其是CALC字段和子模型功能的出現(xiàn)，LINGO功能日益強大，求解問題的領(lǐng)域也越來越廣泛。目前大多數(shù)高校在數(shù)學(xué)建模實驗教學(xué)中主要運用MATLAB實現(xiàn)，少數(shù)高校只用LINGO實現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的實驗。本文探索利用LINGO17.0來求解綜合評價模型中的TOPSIS模型實驗，使得學(xué)生更容易理解和掌握復(fù)雜的TOPSIS方法，也激發(fā)學(xué)生用LINGO軟件去嘗試實現(xiàn)其他數(shù)學(xué)模型算法。

1 TOPSIS模型基本原理

假定多屬性決策方案集為D={d1,d2,…,dm}，衡量方案優(yōu)劣的屬性變量為x1,x2…,xn，這時方案集D中的每個方案di(i=1,…,m)的n個屬性值構(gòu)成的向量是[ai1,ai2,…,ain]，它作為n維空間中的一個點，能唯一地表示方案di。

TOPSIS模型的基本思想，是通過計算評價對象與最優(yōu)解和最差解之間的距離進行排序。如果評價對象離最優(yōu)解最近，而且離最差解最遠，則評價對象是最優(yōu)的；否則評價對象就不是最優(yōu)的。一般來說，最優(yōu)解的各指標(biāo)值均達到各評價指標(biāo)的最優(yōu)值，而最差解的各指標(biāo)值均達到各評價指標(biāo)的最差值。

正理想解C*和負(fù)理想解C0是TOPSIS模型的兩個基本概念。所謂正理想解是假設(shè)的最優(yōu)解或方案，其屬性值在每種替代方案中均達到最佳值。負(fù)理想解是假設(shè)的最壞解或方案，并且其屬性值在每種替代方案中均達到最差值。方案排序的規(guī)則是將每個待選方案與正理想解和負(fù)理想解進行比較。如果其中某一種方案最接近于正理想解，同時又遠離負(fù)理想解，那么該方案就確定為最優(yōu)的方案。[4-5]

2 TOPSIS模型的求解步驟

求解TOPSIS模型的具體步驟如下：

（1）用向量規(guī)劃的方法求得規(guī)范決策矩陣，并進行數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理。

（2）確定正理想解和負(fù)理想解。

（3）計算各個方案到正理想解和負(fù)理想解的距離。

（4）計算各個方案的指標(biāo)值，即綜合評價指數(shù)。

（5）將上一步得出的指標(biāo)值從優(yōu)到劣排序。

3 案例分析——研究生院評估

為了客觀公正地評價當(dāng)前我國研究生教育的實際情況和各研究生院的教學(xué)質(zhì)量，國務(wù)院學(xué)位委員會辦公室組織對研究生院進行了評估。為便于后續(xù)工作，現(xiàn)選取了其中5所研究生院進行試點評價，調(diào)查收集了相關(guān)數(shù)據(jù)，并按照重要性篩選出人均專著、生師比、科研經(jīng)費、逾期畢業(yè)率等4項評價指標(biāo)。具體數(shù)據(jù)見表1。

表1 評估數(shù)據(jù)

實驗?zāi)康模豪肨OPSIS方法實現(xiàn)研究生院的綜合實力評估

實驗環(huán)境：Window 10，LINGO 17.0

實驗步驟：

（1）求解規(guī)范化決策矩陣。

（2）確定正理想解C*和負(fù)理想解C0。

設(shè)正理想解C*的第j個屬性值為負(fù)理想解C0的第j個屬性值為則

（3）計算各個方案到正理想解和負(fù)理想解的距離。

備選方案di到正理想解的距離為

備選方案di到負(fù)理想解的距離為

（4）計算各個方案的綜合評價指數(shù)，即

（5）按由大到小排列方案確定該5所研究生院的優(yōu)劣次序。

（6）模型的求解。

將原始數(shù)據(jù)保存在文本文件data1.txt中，在LINGO軟件的主窗口中依次輸入集合段、數(shù)據(jù)段和計算段的代碼，如表2所示。

表2 求解TOPSIS模型的LINGO代碼

（7）運行LINGO代碼，得到結(jié)果如下：

結(jié)果表明，原題中5個研究生院的綜合評比從優(yōu)到劣的排序結(jié)果為：4、3、2、1、5。

4 結(jié)語

綜合評價方法主要應(yīng)用于研究多目標(biāo)決策有關(guān)的評價問題，研究解決這類問題在實際中有著廣泛的意義。TOPSIS方法是其中一種有效的多指標(biāo)評價方法。LINGO軟件一般用于求解數(shù)學(xué)建模中的優(yōu)化和規(guī)劃問題，而本文作者將LINGO推廣到求解綜合評價問題，并結(jié)合具體的實際案例，簡單快速地實現(xiàn)了TOPSIS算法，并得出結(jié)果。筆者希望以此文激發(fā)廣大數(shù)學(xué)建模愛好者和教學(xué)工作者，繼續(xù)探索利用LINGO軟件的優(yōu)勢來實現(xiàn)其它一些較復(fù)雜的建模算法。