張 楠

本文匯集函數(shù)模型及函數(shù)綜合應(yīng)用中的誤區(qū)警示，希望引起同學(xué)們的高度重視。

誤區(qū)1：求解函數(shù)零點的方法選擇不當(dāng)

例1判斷函數(shù)f(x)=|2x|-3在區(qū)間[-1，1]內(nèi)是否有零點。

錯解：因為f(-1)=f(1)=-1，所以f(-1)·f(1)＞0，則函數(shù)f(x)=|2x|-3在區(qū)間[-1，1]內(nèi)沒有零點。

剖析：上述解法套用了函數(shù)零點的存在性判定定理，忽視了其前提條件。

正解1：當(dāng)x ∈[-1，1]時，f(x)=|2x|-3≤-1，函數(shù)y=f(x)在[-1，1]上的圖像與x 軸沒有交點，即函數(shù)f(x)=|2x|-3在區(qū)間[-1，1]內(nèi)沒有零點。

警示：判斷函數(shù)的零點個數(shù)，需要判斷在給定區(qū)間上兩端點的函數(shù)值的正負(fù)，若兩端點函數(shù)值符號相反，再結(jié)合圖像的連續(xù)性進(jìn)行判斷；若兩端點函數(shù)值符號相同，需探究函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，再利用函數(shù)圖像進(jìn)行判斷。一般地，當(dāng)不能直接求出零點時，可根據(jù)零點存在性定理判斷；當(dāng)用零點存在性定理也無法判斷時，可畫出圖像判斷。

誤區(qū)2：由函數(shù)零點求參數(shù)時忽視分類討論

例2函數(shù)f(x)=ax-x-a(a＞0，且a≠1)有兩個零點，則實數(shù)a 的取值范圍是____。函數(shù)y=x+a，則函數(shù)f(x)=ax-x-a(a＞0，且a≠1)有兩個零點，也就是函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)與函數(shù)y=x+a 的圖像有兩個交點。

畫出兩個函數(shù)的圖像(圖略)。由圖像可知，當(dāng)0＜a＜1時，兩個函數(shù)的圖像只有一個交點，不符合題意；當(dāng)a＞1 時，函數(shù)y=ax(a＞1)的圖像過點(0，1)，而直線y=x+a所過的點一定在點(0，1)的上方，這時一定有兩個交點。

故實數(shù)a 的取值范圍是a＞1，即a∈(1，+∞)。

警示：函數(shù)的零點問題，常?；瘹w為兩個函數(shù)圖像的交點問題求解。解答這類問題，合理分類和數(shù)形結(jié)合法以及函數(shù)思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵。

誤區(qū)3：函數(shù)的零點的大小比較中忽視圖像的作用

錯解：所求問題可化為函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)與函數(shù)y=x+a 的圖像有兩個交點問題求解。畫出兩個函數(shù)的圖像(圖略)，由圖像易得a＞1。

剖析：當(dāng)化為兩個函數(shù)的圖像有兩個交點時，忽視了0＜a＜1的情況。

正解：設(shè)函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)和

錯解：沒有理解m，n 的意義，不能得到正數(shù)m，n 的大小關(guān)系。

或者，胡亂猜測m＞n。

剖析：忽視特殊值法和圖像法的作用。

正解1：(特殊值法)嘗試m=3，n=2，這時適合方程2m+m=3n+n，則正數(shù)m＞n。

正解2：(數(shù)形結(jié)合法)設(shè)2m+m=3n+n=k，則2m=k-m，3n=k-n，于是m，n 分別為函數(shù)y=2x，y=3x，y=k-x 的圖 像交點的橫坐標(biāo)。作出這三個函數(shù)的大致圖像(圖略)，注意指數(shù)函數(shù)圖像的分布規(guī)律，易得m＞n。

警示：特殊值法判斷是最優(yōu)化的解法。利用一條直線與兩個指數(shù)函數(shù)圖像的交點，借助指數(shù)函數(shù)圖像分布規(guī)律求解，凸顯函數(shù)與方程和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。