龐璽斌，梁成程，張闖

(大連海事大學(xué) 航海學(xué)院，遼寧 大連 116026)

支持向量機(jī)(support vector machine，SVM)作為一種線性和非線性建模的回歸算法已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用，但是這種方法忽略了可能導(dǎo)致系統(tǒng)整體誤差增長的誤差派生濾波器。SVM能夠基于較少的訓(xùn)練數(shù)據(jù)定義模型，具有實(shí)時(shí)性。對過度擬合問題的魯棒性表現(xiàn)出優(yōu)越性，并且不需要噪聲模型的先驗(yàn)知識?；诖?，考慮建立一種混合模型，利用SVM對線性誤差的KF輸出進(jìn)行建模，并且應(yīng)用FOS作為自回歸(autoregressive，AR)建模算法對非線性誤差進(jìn)行建模。利用SVM對多個(gè)候選集進(jìn)行檢驗(yàn)，得到在GPS失效條件下可以替代KF的最優(yōu)訓(xùn)練模型。此外，基于AR思想，將計(jì)算出的非線性方位誤差傳遞給FOS[1-3]。當(dāng)GPS失效[4-5]時(shí)，算法開始預(yù)測階段運(yùn)行這兩個(gè)模型。SVM開始估計(jì)線性方位誤差取代KF[6-8]，而FOS自回歸估計(jì)方位角的非線性誤差。

1 GPS/RISS組合導(dǎo)航

船舶的縱傾角(β)和橫搖角(γ)表示為

(1)

式中：av為船舶的實(shí)際加速度；fx和fy分別為橫向加速度量測量和前向加速度量測量；ωz為垂直陀螺儀量測量；g為重力加速度。

為了給出方位角(Az)，需要對垂直傾角和地球角速率(ωe)的影響進(jìn)行補(bǔ)償，以計(jì)算船舶相對于北向的方位角。

(2)

式中：ve為東向速度分量；φ和h分別為緯度和高度，RN為地球橢球曲率半徑。速度分別沿東向、北向(vn)和垂向(vu)的分量為

(3)

其中：vv為船舶速度。根據(jù)式(4)計(jì)算位置的緯度、經(jīng)度和高度。

(4)

式中：RM為地球橢球曲率的子午線半徑。

3D-RISS使用2個(gè)加速度計(jì)代替陀螺儀來獲得縱傾角和橫搖角。加速度計(jì)產(chǎn)生的誤差比陀螺儀小，累積位置誤差隨時(shí)間變化與慣性誤差參數(shù)之間的關(guān)系如下。

(5)

式中：δp(t)為時(shí)間t位置誤差漂移；δp(t0)，δv(t0)為初始速度誤差；ba(t0)和δSFa(t0)分別為初始加速度計(jì)偏移偏差和換算系數(shù)誤差，δbg(t0)和δSFg(t0)分別為初始陀螺儀偏移和換算系數(shù)誤差；δθr,p(t0)和δθA(t0)分別為縱傾/橫搖和方位角誤差引起的初始非正交誤差；v為平均速度。

KF同GPS組合提供減少慣性誤差所需的差值，但在GPS失效時(shí)，誤差仍然存在。非線性誤差的估計(jì)可以用來限制GPS失效期間誤差的快速積累。

由于使用速度傳感器讀數(shù)代替加速度計(jì)，計(jì)算的速度對RISS有一定的改進(jìn)。基于加速度計(jì)的速度計(jì)算引入了與t成比例的速度誤差和與t2成比例的位置誤差。另一方面，基于速度傳感器的速度計(jì)算只需一次積分，最終提高位置誤差。同樣的關(guān)系也適用于GPS失效期間。因此，方位角誤差是三維RISS中陀螺垂直對準(zhǔn)誤差的主要來源。誤差非線性估計(jì)是限制GPS失效期間誤差快速積累的方法之一。同時(shí)，失效期間KF輔助提供的解提高了KF的估計(jì)性能。

KF實(shí)現(xiàn)需要對系統(tǒng)誤差模型進(jìn)行辨識。由位置誤差(δφ，δλ，δh)、速度誤差(δve，δvn，δvu)、方位誤差(δAz)和傳感器誤差(δav，δωz)組成的RISS誤差狀態(tài)矢量。利用RISS方程的Taylor級數(shù)近似，將這些誤差表示為微分方程。誤差模型可以表示為

(6)

(7)

(8)

式中：Δ(·)為相應(yīng)的高階誤差。

由于所提出的系統(tǒng)具有GPS，因此,其測量可以用于初始化過程。如果船舶在初始化過程中是靜止的，則速度矢量初始化為零。另外，在動態(tài)條件下，GPS測速量測量用于初始化速度矢量。

姿態(tài)對準(zhǔn)分為2步。平臺通過縱傾角和橫搖角的初始化來調(diào)平，陀螺羅經(jīng)用于初始化航向或方位角。當(dāng)船舶靜止時(shí)，加速度計(jì)通過縱傾和橫搖來測量由于水平面傾斜而產(chǎn)生的重力分量。整個(gè)IMU的加速計(jì)量測量表示為

(9)

由于RISS中僅使用2個(gè)加速計(jì)，因此,定義縱傾和橫搖為

(10)

縱傾和橫搖需分開計(jì)算，定義方位角為

(11)

2 建模算法

2.1 支持向量機(jī)(SVM)

假設(shè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集D={(a1,b1),(a2,b2),…,(al,bl)}?Rn×R。其中，ai和bi分別表示輸入矢量和輸出矢量；下標(biāo)l為訓(xùn)練集大小。支持向量機(jī)回歸的目的是識別一個(gè)實(shí)數(shù)函數(shù)f(a)，用于估計(jì)任何輸入向量(a)的輸出(b)。求解算法基于非線性映射Φ的高維空間F中執(zhí)行回歸，以保證輸入向量(a)映射到該空間。

f(a)=WTΦ(a)+c

(12)

式中:Rn→F，W∈F。

(13)

式中：i=1，2，…，l。

用非負(fù)Lagrange乘子vi，ηi構(gòu)造Lagrange函數(shù)(L)作為對偶公式，則式(13)可以寫為

(14)

基于Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件識別式(14)中的參數(shù)v和c，利用核函數(shù)K(ai,aj)，得到最終的近似解為

(15)

以處理后的數(shù)據(jù)為模型輸入，采用SVM對KF估計(jì)的線性方位誤差進(jìn)行建模。選擇高斯徑向基函數(shù)(RBF)作為核函數(shù)，主要是因?yàn)槠渚葷M足要求，而且易于實(shí)現(xiàn)。因此，f(a)表示線性方位誤差，ai表示時(shí)刻i的模型輸入數(shù)據(jù)集。

2.2 快速正交搜索(FOS)

(16)

FOS通過迭代搜索N個(gè)可用的候選基函數(shù)，選擇M個(gè)最顯著的函數(shù)，降低均方誤差(MSE)。FOS算法利用(gram schmid，GS)正交化原理識別從pm(n)函數(shù)中生成的正交候選qm(n)，并利用系數(shù)gm(n)降低量化誤差。GS算法產(chǎn)生一個(gè)新的正交集，模型為

(17)

FOS通過GS系數(shù)的隱式確定降低了正交函數(shù)定義所需的時(shí)間，GS系數(shù)是使用平均時(shí)間而不是逐點(diǎn)計(jì)算得到的。通過正交展開權(quán)重和GS系數(shù)識別出原始權(quán)值km。當(dāng)模型誤差小于可接受值時(shí)，正交函數(shù)辨識的FOS迭代過程停止。由于FOS正交候選非直接計(jì)算，因此,模型的建立速度非?？?。

本文非線性方位誤差建模是FOS算法的任務(wù)。如圖1所示，非線性方位角誤差的自相關(guān)函數(shù)在整個(gè)測試軌跡中顯示出高相關(guān)性。因此，對于非線性方位角誤差的建模，采用AR概念使候選解表示先前計(jì)算的非線性方位角誤差。這種方法降低了使用KF輸出作為候選的不確定性。訓(xùn)練瞬間i的非線性方位角誤差用y(n)表示，而pm表示由先前的非線性方位角誤差(m=1，2，…，i-1)構(gòu)造的模型候選解。

圖1 非線性方位角誤差自相關(guān)函數(shù)

3 混合誤差模型

基于FOS的強(qiáng)化KF-FOS算法是對非線性方位誤差進(jìn)行建模，此方法使用KF估計(jì)的線性誤差作為模型的候選。在模型訓(xùn)練過程中，將KF的輸出傳遞給FOS來建立非線性模型。在GPS失效期間，用于估計(jì)非線性誤差所需的模型線性誤差在預(yù)測期間通過KF傳遞，但缺少GPS更新。此方法產(chǎn)生的模型具有影響定位精度的相關(guān)不確定性。

為了減小GPS/RISS組合系統(tǒng)的位置誤差，提出SVM-FOS混合建模算法，分別對KF輸出和方位殘余非線性誤差進(jìn)行建模。當(dāng)GPS失效期間，隔離獨(dú)立KF輸出對最終導(dǎo)航結(jié)果的影響。通過利用SVM對GPS輔助時(shí)的KF輸出進(jìn)行建模，并在GPS失效時(shí)替換KF而實(shí)現(xiàn)的。同時(shí)，在GPS失效時(shí)，基于AR概念利用FOS對非線性方位誤差進(jìn)行建模?？紤]到KF輸出為線性誤差，本方法使得模型能夠在GPS失效時(shí)不使用KF預(yù)測來估計(jì)線性和非線性誤差。見圖2。

圖2 SVM-FOS混合方法原理

(18)

(19)

估計(jì)方位將速度傳感器量測量傳遞到另一個(gè)解算算法中(圖3中的INS解算II)以計(jì)算校正的導(dǎo)航數(shù)據(jù)。由于本算法不依賴于GPS失效的KF輸出，因此，KF在沒有任何GPS更新的情況下仍預(yù)測。在GPS更新過程中，對于傳感器誤差而言，KF線性化模型取決線性隨機(jī)模型，并不影響系統(tǒng)精度。在重新捕獲GPS輔助信號后，KF預(yù)測能夠加速收斂。

圖3 GPS失效時(shí)SVM-FOS混合方法

4 仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)分析

4.1 仿真結(jié)果

結(jié)合海試來評估所提出的導(dǎo)航解的性能。實(shí)驗(yàn)在大連港附近進(jìn)行，天氣晴朗，風(fēng)力3級，微浪。從計(jì)程儀獲取以1 Hz采樣率采集的船速數(shù)據(jù)，從Crossbow MEMS級IMU 100陀螺儀(性能參數(shù)見表1)的垂直角速率得到方位量測量。

為了評估系統(tǒng)性能，采用NovAtel提供的G2 Pro-Pack SPAN裝置提供參考導(dǎo)航解。通過與參考解比較，驗(yàn)證系統(tǒng)的整體性能。測試軌跡見圖4a)。在后處理過程中，模擬8個(gè)300 s長的GPS數(shù)據(jù)丟失，以實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)定位精度的評估。模擬其中2、4、6和8號GPS失效時(shí)的軌跡,見圖4b)。

表1 IMU的性能參數(shù)

圖4 測試軌跡

將提出的SVM-FOS混合方法的估計(jì)導(dǎo)航解與文獻(xiàn)[16]提出的FOS方法進(jìn)行比較，還包括每種方法相對于參考解的位置RMSE的比較,結(jié)果表明，增強(qiáng)KF-FOS方法提高了方位精度，獲得了比僅使用KF更好的性能。

4.2 組合導(dǎo)航系統(tǒng)實(shí)船分析

為了在SVM訓(xùn)練過程中得到一個(gè)更精確的KF模型，在系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)中對不同的候選解進(jìn)行對比。由于SVM是建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上，因此，加入更多的候選對象目的是開發(fā)出更穩(wěn)定的模型，特別是當(dāng)這些候選對象描述了更多關(guān)于擬合參數(shù)的信息。整個(gè)訓(xùn)練期間，模擬失效以得出所需的結(jié)果。如圖5所示，將不同的模型輸出與KF輸出作為模型數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，較好的訓(xùn)練結(jié)果來自第三模型SVM3。顯然，SVM3模型跟蹤了模型數(shù)據(jù)的變化，得到的模型與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差最小。因此，SVM3所提供的最佳結(jié)果可用于描述線性方位誤差的信息量更優(yōu)的候選集。選擇SVM3中的所有候選(ve，vn，wz)是因?yàn)槠渑c線性方位角誤差有直接和間接的關(guān)系。在對SVM3選項(xiàng)進(jìn)行信任后，選擇該選項(xiàng)以供提出的解使用。

圖5 SVM模型訓(xùn)練輸出與實(shí)際KF輸出的比較

將非線性方位誤差的2種FOS模型與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。利用基于AR思想的SVM-FOS方法構(gòu)造非線性誤差模型同以KF估計(jì)線性誤差作為模型候選的KF-FOS增廣方法進(jìn)行比較。如圖6所示，SVM-FOS比KF-FOS具有更好的訓(xùn)練性能，KF-FOS未能選擇候選對象識別模型，而SVM-FOS方法成功地定義了模型。比較結(jié)果表明，在失效時(shí)，所提出的方法能夠識別模型候選者，不僅有助于抑制方位誤差，而且可以提高定位精度。

圖6 FOS不同方法的培訓(xùn)輸出

如圖7所示，本文提出方法的總體性能與其他基于位置RMSE的方法進(jìn)行比較。結(jié)果表明，SVM-FOS算法在定位精度上取得了較好的效果，提高了導(dǎo)航解性能。提出的算法RMSE可以與增廣KF-FOS方法相媲美，對結(jié)果進(jìn)行深入分析表明，該方法較好地抑制了一些峰值誤差。

圖7 FOS不同方法的培訓(xùn)輸出

系統(tǒng)的總體性能表明了方位誤差的重要性及其對位置誤差的影響，并且在MEMS應(yīng)用中，表明了非線性殘余誤差對位置誤差的影響。利用MEMS慣性傳感器處理常用的KF組合方法導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生漂移。提出的混合SVM-FOS誤差模型成功地替代了GPS失效時(shí)的KF模型，實(shí)現(xiàn)了基于SVM模型的線性誤差估計(jì)。同時(shí)，基于AR思想的FOS給出了非線性方位誤差的穩(wěn)定模型。

混合模型在GPS失效期間獲得的平均位置RMSE為6.2 m。將算法與強(qiáng)化KF-FOS進(jìn)行比較，其平均位置RMSE降低了2.7 m。

GPS失效期間的船舶航行速度見圖8。在第1次失效期間，混合建模方法在RMSE上比KF方法降低了約77%。而第6次失效期間，船舶轉(zhuǎn)向，速度發(fā)生了變化，使用混合模型方法比KF算法的位置RMSE降低了約94%。此外，增強(qiáng)KF-FOS方法在第2、5、7和8GPS失效時(shí)不能有效選擇模型的候選解。在GPS失效期間，本文算法能夠識別非線性模型候選解，并且位置RMSE比增強(qiáng)KF-FOS方法降低約11%。

圖8 北向和東向速度

5 結(jié)論

混合誤差模型利用SVM和FOS兩種方法來估計(jì)并消除GPS故障時(shí)MEMS陀螺儀的誤差，而無需使用KF輸出。成功地將GPS失效期間的位置RMSE最小化。此外，將AR方法和FOS方法結(jié)合，在候選的解選擇和模型準(zhǔn)確性方面都取得了較好的效果。

測試結(jié)果與理論預(yù)期相符，并證明了該算法在GPS失效期間的良好性能，其位置RMSE降低率約75%。此外，該算法通過獲得更好的精度，顯示出優(yōu)于增強(qiáng)KF-FOS融合技術(shù)，并且位置RMSE降低了約30%。