龐璽斌，梁成程，張闖

(大連海事大學 航海學院，遼寧 大連 116026)

支持向量機(support vector machine，SVM)作為一種線性和非線性建模的回歸算法已經(jīng)得到了廣泛應用，但是這種方法忽略了可能導致系統(tǒng)整體誤差增長的誤差派生濾波器。SVM能夠基于較少的訓練數(shù)據(jù)定義模型，具有實時性。對過度擬合問題的魯棒性表現(xiàn)出優(yōu)越性，并且不需要噪聲模型的先驗知識?；诖?，考慮建立一種混合模型，利用SVM對線性誤差的KF輸出進行建模，并且應用FOS作為自回歸(autoregressive，AR)建模算法對非線性誤差進行建模。利用SVM對多個候選集進行檢驗，得到在GPS失效條件下可以替代KF的最優(yōu)訓練模型。此外，基于AR思想，將計算出的非線性方位誤差傳遞給FOS[1-3]。當GPS失效[4-5]時，算法開始預測階段運行這兩個模型。SVM開始估計線性方位誤差取代KF[6-8]，而FOS自回歸估計方位角的非線性誤差。

1 GPS/RISS組合導航

船舶的縱傾角(β)和橫搖角(γ)表示為

(1)

式中：av為船舶的實際加速度；fx和fy分別為橫向加速度量測量和前向加速度量測量；ωz為垂直陀螺儀量測量；g為重力加速度。

為了給出方位角(Az)，需要對垂直傾角和地球角速率(ωe)的影響進行補償，以計算船舶相對于北向的方位角。

(2)

式中：ve為東向速度分量；φ和h分別為緯度和高度，RN為地球橢球曲率半徑。速度分別沿東向、北向(vn)和垂向(vu)的分量為

(3)

其中：vv為船舶速度。根據(jù)式(4)計算位置的緯度、經(jīng)度和高度。

(4)

式中：RM為地球橢球曲率的子午線半徑。

3D-RISS使用2個加速度計代替陀螺儀來獲得縱傾角和橫搖角。加速度計產(chǎn)生的誤差比陀螺儀小，累積位置誤差隨時間變化與慣性誤差參數(shù)之間的關系如下。

(5)

式中：δp(t)為時間t位置誤差漂移；δp(t0)，δv(t0)為初始速度誤差；ba(t0)和δSFa(t0)分別為初始加速度計偏移偏差和換算系數(shù)誤差，δbg(t0)和δSFg(t0)分別為初始陀螺儀偏移和換算系數(shù)誤差；δθr,p(t0)和δθA(t0)分別為縱傾/橫搖和方位角誤差引起的初始非正交誤差；v為平均速度。

KF同GPS組合提供減少慣性誤差所需的差值，但在GPS失效時，誤差仍然存在。非線性誤差的估計可以用來限制GPS失效期間誤差的快速積累。

由于使用速度傳感器讀數(shù)代替加速度計，計算的速度對RISS有一定的改進?；诩铀俣扔嫷乃俣扔嬎阋肓伺ct成比例的速度誤差和與t2成比例的位置誤差。另一方面，基于速度傳感器的速度計算只需一次積分，最終提高位置誤差。同樣的關系也適用于GPS失效期間。因此，方位角誤差是三維RISS中陀螺垂直對準誤差的主要來源。誤差非線性估計是限制GPS失效期間誤差快速積累的方法之一。同時，失效期間KF輔助提供的解提高了KF的估計性能。

KF實現(xiàn)需要對系統(tǒng)誤差模型進行辨識。由位置誤差(δφ，δλ，δh)、速度誤差(δve，δvn，δvu)、方位誤差(δAz)和傳感器誤差(δav，δωz)組成的RISS誤差狀態(tài)矢量。利用RISS方程的Taylor級數(shù)近似，將這些誤差表示為微分方程。誤差模型可以表示為

(6)

(7)

(8)

式中：Δ(·)為相應的高階誤差。

由于所提出的系統(tǒng)具有GPS，因此,其測量可以用于初始化過程。如果船舶在初始化過程中是靜止的，則速度矢量初始化為零。另外，在動態(tài)條件下，GPS測速量測量用于初始化速度矢量。

姿態(tài)對準分為2步。平臺通過縱傾角和橫搖角的初始化來調平，陀螺羅經(jīng)用于初始化航向或方位角。當船舶靜止時，加速度計通過縱傾和橫搖來測量由于水平面傾斜而產(chǎn)生的重力分量。整個IMU的加速計量測量表示為

(9)

由于RISS中僅使用2個加速計，因此,定義縱傾和橫搖為

(10)

縱傾和橫搖需分開計算，定義方位角為

(11)

2 建模算法

2.1 支持向量機(SVM)

假設訓練數(shù)據(jù)集D={(a1,b1),(a2,b2),…,(al,bl)}?Rn×R。其中，ai和bi分別表示輸入矢量和輸出矢量；下標l為訓練集大小。支持向量機回歸的目的是識別一個實數(shù)函數(shù)f(a)，用于估計任何輸入向量(a)的輸出(b)。求解算法基于非線性映射Φ的高維空間F中執(zhí)行回歸，以保證輸入向量(a)映射到該空間。

f(a)=WTΦ(a)+c

(12)

式中:Rn→F，W∈F。

(13)

式中：i=1，2，…，l。

用非負Lagrange乘子vi，ηi構造Lagrange函數(shù)(L)作為對偶公式，則式(13)可以寫為

(14)

基于Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件識別式(14)中的參數(shù)v和c，利用核函數(shù)K(ai,aj)，得到最終的近似解為

(15)

以處理后的數(shù)據(jù)為模型輸入，采用SVM對KF估計的線性方位誤差進行建模。選擇高斯徑向基函數(shù)(RBF)作為核函數(shù)，主要是因為其精度滿足要求，而且易于實現(xiàn)。因此，f(a)表示線性方位誤差，ai表示時刻i的模型輸入數(shù)據(jù)集。

2.2 快速正交搜索(FOS)

(16)

FOS通過迭代搜索N個可用的候選基函數(shù)，選擇M個最顯著的函數(shù)，降低均方誤差(MSE)。FOS算法利用(gram schmid，GS)正交化原理識別從pm(n)函數(shù)中生成的正交候選qm(n)，并利用系數(shù)gm(n)降低量化誤差。GS算法產(chǎn)生一個新的正交集，模型為

(17)

FOS通過GS系數(shù)的隱式確定降低了正交函數(shù)定義所需的時間，GS系數(shù)是使用平均時間而不是逐點計算得到的。通過正交展開權重和GS系數(shù)識別出原始權值km。當模型誤差小于可接受值時，正交函數(shù)辨識的FOS迭代過程停止。由于FOS正交候選非直接計算，因此,模型的建立速度非?？?。

本文非線性方位誤差建模是FOS算法的任務。如圖1所示，非線性方位角誤差的自相關函數(shù)在整個測試軌跡中顯示出高相關性。因此，對于非線性方位角誤差的建模，采用AR概念使候選解表示先前計算的非線性方位角誤差。這種方法降低了使用KF輸出作為候選的不確定性。訓練瞬間i的非線性方位角誤差用y(n)表示，而pm表示由先前的非線性方位角誤差(m=1，2，…，i-1)構造的模型候選解。

圖1 非線性方位角誤差自相關函數(shù)

3 混合誤差模型

基于FOS的強化KF-FOS算法是對非線性方位誤差進行建模，此方法使用KF估計的線性誤差作為模型的候選。在模型訓練過程中，將KF的輸出傳遞給FOS來建立非線性模型。在GPS失效期間，用于估計非線性誤差所需的模型線性誤差在預測期間通過KF傳遞，但缺少GPS更新。此方法產(chǎn)生的模型具有影響定位精度的相關不確定性。

為了減小GPS/RISS組合系統(tǒng)的位置誤差，提出SVM-FOS混合建模算法，分別對KF輸出和方位殘余非線性誤差進行建模。當GPS失效期間，隔離獨立KF輸出對最終導航結果的影響。通過利用SVM對GPS輔助時的KF輸出進行建模，并在GPS失效時替換KF而實現(xiàn)的。同時，在GPS失效時，基于AR概念利用FOS對非線性方位誤差進行建模。考慮到KF輸出為線性誤差，本方法使得模型能夠在GPS失效時不使用KF預測來估計線性和非線性誤差。見圖2。

圖2 SVM-FOS混合方法原理

(18)

(19)

估計方位將速度傳感器量測量傳遞到另一個解算算法中(圖3中的INS解算II)以計算校正的導航數(shù)據(jù)。由于本算法不依賴于GPS失效的KF輸出，因此，KF在沒有任何GPS更新的情況下仍預測。在GPS更新過程中，對于傳感器誤差而言，KF線性化模型取決線性隨機模型，并不影響系統(tǒng)精度。在重新捕獲GPS輔助信號后，KF預測能夠加速收斂。

圖3 GPS失效時SVM-FOS混合方法

4 仿真結果與實驗分析

4.1 仿真結果

結合海試來評估所提出的導航解的性能。實驗在大連港附近進行，天氣晴朗，風力3級，微浪。從計程儀獲取以1 Hz采樣率采集的船速數(shù)據(jù)，從Crossbow MEMS級IMU 100陀螺儀(性能參數(shù)見表1)的垂直角速率得到方位量測量。

為了評估系統(tǒng)性能，采用NovAtel提供的G2 Pro-Pack SPAN裝置提供參考導航解。通過與參考解比較，驗證系統(tǒng)的整體性能。測試軌跡見圖4a)。在后處理過程中，模擬8個300 s長的GPS數(shù)據(jù)丟失，以實現(xiàn)對系統(tǒng)定位精度的評估。模擬其中2、4、6和8號GPS失效時的軌跡,見圖4b)。

表1 IMU的性能參數(shù)

圖4 測試軌跡

將提出的SVM-FOS混合方法的估計導航解與文獻[16]提出的FOS方法進行比較，還包括每種方法相對于參考解的位置RMSE的比較,結果表明，增強KF-FOS方法提高了方位精度，獲得了比僅使用KF更好的性能。

4.2 組合導航系統(tǒng)實船分析

為了在SVM訓練過程中得到一個更精確的KF模型，在系統(tǒng)實現(xiàn)中對不同的候選解進行對比。由于SVM是建立在統(tǒng)計學習理論的基礎上，因此，加入更多的候選對象目的是開發(fā)出更穩(wěn)定的模型，特別是當這些候選對象描述了更多關于擬合參數(shù)的信息。整個訓練期間，模擬失效以得出所需的結果。如圖5所示，將不同的模型輸出與KF輸出作為模型數(shù)據(jù)進行比較，較好的訓練結果來自第三模型SVM3。顯然，SVM3模型跟蹤了模型數(shù)據(jù)的變化，得到的模型與實際數(shù)據(jù)的誤差最小。因此，SVM3所提供的最佳結果可用于描述線性方位誤差的信息量更優(yōu)的候選集。選擇SVM3中的所有候選(ve，vn，wz)是因為其與線性方位角誤差有直接和間接的關系。在對SVM3選項進行信任后，選擇該選項以供提出的解使用。

圖5 SVM模型訓練輸出與實際KF輸出的比較

將非線性方位誤差的2種FOS模型與實際數(shù)據(jù)進行比較。利用基于AR思想的SVM-FOS方法構造非線性誤差模型同以KF估計線性誤差作為模型候選的KF-FOS增廣方法進行比較。如圖6所示，SVM-FOS比KF-FOS具有更好的訓練性能，KF-FOS未能選擇候選對象識別模型，而SVM-FOS方法成功地定義了模型。比較結果表明，在失效時，所提出的方法能夠識別模型候選者，不僅有助于抑制方位誤差，而且可以提高定位精度。

圖6 FOS不同方法的培訓輸出

如圖7所示，本文提出方法的總體性能與其他基于位置RMSE的方法進行比較。結果表明，SVM-FOS算法在定位精度上取得了較好的效果，提高了導航解性能。提出的算法RMSE可以與增廣KF-FOS方法相媲美，對結果進行深入分析表明，該方法較好地抑制了一些峰值誤差。

圖7 FOS不同方法的培訓輸出

系統(tǒng)的總體性能表明了方位誤差的重要性及其對位置誤差的影響，并且在MEMS應用中，表明了非線性殘余誤差對位置誤差的影響。利用MEMS慣性傳感器處理常用的KF組合方法導致系統(tǒng)產(chǎn)生漂移。提出的混合SVM-FOS誤差模型成功地替代了GPS失效時的KF模型，實現(xiàn)了基于SVM模型的線性誤差估計。同時，基于AR思想的FOS給出了非線性方位誤差的穩(wěn)定模型。

混合模型在GPS失效期間獲得的平均位置RMSE為6.2 m。將算法與強化KF-FOS進行比較，其平均位置RMSE降低了2.7 m。

GPS失效期間的船舶航行速度見圖8。在第1次失效期間，混合建模方法在RMSE上比KF方法降低了約77%。而第6次失效期間，船舶轉向，速度發(fā)生了變化，使用混合模型方法比KF算法的位置RMSE降低了約94%。此外，增強KF-FOS方法在第2、5、7和8GPS失效時不能有效選擇模型的候選解。在GPS失效期間，本文算法能夠識別非線性模型候選解，并且位置RMSE比增強KF-FOS方法降低約11%。

圖8 北向和東向速度

5 結論

混合誤差模型利用SVM和FOS兩種方法來估計并消除GPS故障時MEMS陀螺儀的誤差，而無需使用KF輸出。成功地將GPS失效期間的位置RMSE最小化。此外，將AR方法和FOS方法結合，在候選的解選擇和模型準確性方面都取得了較好的效果。

測試結果與理論預期相符，并證明了該算法在GPS失效期間的良好性能，其位置RMSE降低率約75%。此外，該算法通過獲得更好的精度，顯示出優(yōu)于增強KF-FOS融合技術，并且位置RMSE降低了約30%。