馬紅晶

【摘要】定積分是大學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，在許多問題的解決方法中是必不可少的.在幾何學(xué)方面，定積分也有著廣泛的應(yīng)用.也正是因為這些應(yīng)用，才推動了積分學(xué)的不斷發(fā)展和完善.本文將在高等數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上，介紹用定積分表示具體問題的方法——微元法.另外，定積分在初等數(shù)學(xué)中也有著良好的運用.本文研究了如何用定積分推導(dǎo)一些初等數(shù)學(xué)中的面積與體積公式的問題.

【關(guān)鍵詞】定積分;面積;體積;幾何應(yīng)用

一、問題的提出

在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，圓的周長和面積公式就已經(jīng)深深扎根于學(xué)生的心中.一直到初中乃至高中，學(xué)生直接使用這些公式來解題得到了很大的便利.那么圓的面積公式和周長公式到底是如何推導(dǎo)出來的呢？下面我們來用定積分的方法解決這個問題.

二、 微元法

我們來回顧一下如何將曲邊梯形的面積A表示為定積分，步驟如下.

經(jīng)過這四個步驟的層層推導(dǎo)，我們就可以將所求“曲邊梯形面積A”表述成定積分的形式，由此即可以得到如何用定積分來表示所要求的量U，有以下三個步驟：

我們把這種方法稱作微元法，此方法被廣泛應(yīng)用于許多問題中，給我們解決問題帶來了很多便利.

三、旋轉(zhuǎn)曲面的面積

設(shè)平面光滑曲線C的方程為

綜上所述，圓的面積公式和周長公式都可以用定積分進(jìn)行推導(dǎo)，這擴(kuò)展了我們的解題思路.

2.球的表面積公式和體積公式.

用定積分可以計算出旋轉(zhuǎn)曲面的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積，這恰好可以在推導(dǎo)球的面積公式和體積公式中得到良好的運用.下面我們就來研究這個問題.

五、小結(jié)

理論與實際總是密切聯(lián)系、互相促進(jìn)發(fā)展的，沒有無理論的實際，也沒有無實際的理論.高等數(shù)學(xué)知識不僅注重對其各項知識點的了解與掌握，更注重用這些理論知識來解決實際生活中遇到的種種具體問題.定積分是一種實用性非常強的數(shù)學(xué)方法，它的重點是將具體問題表示成定積分，這就需要靈活掌握定積分的意義與分析方法，這樣便可以將一些具體問題中的幾何問題變成有關(guān)定積分的計算問題，在這個過程中的轉(zhuǎn)化為我們解題提供了巨大的便利，同時也省去了很多復(fù)雜的過程，因此定積分在解決實際問題中得到很廣泛的應(yīng)用.

本文圍繞著定積分在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，給出了用定積分來解決在初等數(shù)學(xué)中所解決不了的問題，也提供了一種新的思維方式與解題方法，這既使得對高等數(shù)學(xué)知識與思想的掌握與理解更深一籌，也在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中架起了一道銜接的橋梁，充分體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)的優(yōu)越性.

【參考文獻(xiàn)】

[1]周德國，藺小林.定積分幾何應(yīng)用的幾個問題[J].高等數(shù)學(xué)研究，1994（04）：30-31.

[2]王曉康.淺談定積分在幾何中的應(yīng)用[J].科技資訊，2008（29）：248.

[3]楊淑輝，陳文英，盧立才.微積分[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析第四版（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[5]辛春元.定積分的應(yīng)用研究[J].佳木斯職業(yè)學(xué)院學(xué)報，2010（05）：291-293.

[6]李帥，趙堃.定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用研究[J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2011（16）：98.

[7]齊秀麗.高等數(shù)學(xué)中定積分應(yīng)用部分的教學(xué)研究[J].黑龍江生態(tài)工程職業(yè)學(xué)院學(xué)報，2011（01）：110-111.

[8]范梅.定積分在幾何中的應(yīng)用研究[J].赤峰學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2012（20）：3-4.

[9]李旭東.探討定積分在幾何和經(jīng)濟(jì)工作中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版，2014（11）：126-127.