張漢玉，徐文君

（中國民航大學(xué)工程技術(shù)訓(xùn)練中心，天津 300300）

葉片是航空發(fā)動機的重要構(gòu)件，在工作環(huán)境惡劣情況下，尤其是渦輪葉片，要承受高溫高壓燃氣的高速沖擊。據(jù)統(tǒng)計，發(fā)動機結(jié)構(gòu)性故障中，葉片是研制和使用過程中故障率最高的零件之一，占發(fā)動機總故障的30%以上[1-2]。因而，最大限度地降低葉片結(jié)構(gòu)在工作中的振動應(yīng)力是十分必要的。工程上通常利用干摩擦阻尼器來消耗葉片的振動能量，以實現(xiàn)減振的目的。

在干摩擦阻尼器設(shè)計或計算中，接觸剛度通常是最先要確定的參數(shù)，然而，接觸剛度一般較難確定，往往依賴經(jīng)驗給定一個較為合理的數(shù)值[3]。郝燕平等[4]提出帶阻尼器的葉片振動響應(yīng)實驗和理論計算相結(jié)合的方法，并研究了接觸面法向正壓力及激振力對接觸剛度kt的影響規(guī)律，得出kt·為的三次函數(shù)。按照該結(jié)論，當激振力不變時，隨著法向正壓力的增加，接觸剛度kt也隨之增加，且趨向于無窮，這與實際不符。史亞杰等[5]通過有限單元法對干摩擦阻尼的接觸剛度進行求解，并分析了接觸面法向正壓力、摩擦系數(shù)、接觸面大小等對接觸剛度的影響規(guī)律。何尚文等[6]引入彈性剪切層，給出了正壓力恒定時的接觸剛度計算方法。漆文凱等[7]采用整體-局部滑動模型，結(jié)合有限元軟件對等效剛度進行了分析。以上研究，在計算接觸剛度時，使用的是直角平板接觸模型，且將法向正壓力簡化為恒力或二次函數(shù)形式，顯然沒有考慮到接觸邊緣的應(yīng)力集中問題，與實際分布情況差別較大，導(dǎo)致接觸剛度的計算結(jié)果不可靠。

雖然前人已對阻尼器接觸剛度進行一定研究，但尚無一種準確有效的計算方法。因此，提出將理論推導(dǎo)與有限元計算相結(jié)合的方法，并使用帶圓角的平板接觸模型來計算接觸面上的法向正壓力、切向力以及接觸剛度；使用有限元軟件對接觸模型進行模擬計算，并擬合出接觸剛度隨正壓力變化的關(guān)系式，從而，可以獲得較為簡便可靠的接觸剛度計算方法。

1 接觸剛度理論推導(dǎo)

1.1 接觸模型

圖1 帶圓角的平板接觸模型Fig.1 Flat contact model with rounded edges

為了得到切向剛度的表達式，假設(shè)：①接觸面上的受力沿著y 向均勻分布；②接觸面上的壓力和剪力沿x 向的分布可由二維接觸分析得到，即忽略了有限長平板的邊緣效應(yīng)。

1.2 二維模型中正壓力和切向力分布

沿y 向提取一個單位長度的平板進行分析，如圖2所示。其中，和對應(yīng)單位長度的法向正壓力和切向力；a 為未添加正壓力時x 向的接觸長度；c 為添加切向力后x 向的粘滯長度。

圖2 二維接觸模型Fig.2 2D contact model

接觸面的法向正壓力分布[8]為

式中，sin φ0=a/b。

利用壓力分布公式（1）可得到正壓力p（x）隨接觸長度x 的變化曲線，并將縱坐標的p（x）和橫坐標x 分別以（P/b）和b 進行無量綱處理，即：橫坐標的取值范圍從[-b，b]變?yōu)閇-1，1]，從而縱坐標的取值范圍也隨之改變，如圖3所示。

前列腺炎是成年男性常見的泌尿系統(tǒng)疾病，主要分為急性和慢性起病，臨床上將其分為4型[1]。在中醫(yī)，前列腺炎可屬于“淋證”、“精濁”、“腰痛”等范疇。慢性前列腺炎(chronicprostatitis，CP)并不危及生命，但嚴重影響患者的心理與生理健康，降低患者的生活質(zhì)量與幸福指數(shù)[2]。目前，主要的治療方法療效并不理想，針刺作為一種傳統(tǒng)的中醫(yī)藥療法，近年來已有許多臨床研究證實其有效的治療作用，為了對針刺與其他治療方法進行更客觀的療效對比開展了本項Meta分析。

圖3 法向正壓力p（x）沿x 向的分布Fig.3 Normal pressure distribution along x axis

圖3中描述了a/b 取不同值時，法向正壓力的分布曲線。當a/b=0 時，即未加載法向正壓力，初始接觸長度a=0，此時的接觸模型可以轉(zhuǎn)化為“圓柱-平板”接觸；隨a/b 逐漸增加，接觸面兩端的正壓力最大值max[p（x）]逐漸變大，而中心位置的正壓力最小值min[p（x）]逐漸變??；當a/b=1 時，即接觸面的初始長度與加載后的長度一致，此時接觸模型可轉(zhuǎn)化為“平板-平板”接觸。

圖4 切向力q（x）沿x 向的分布Fig.4 Tangent pressure distribution along x axis

1.3 切向力與切向位移

前文分析了2D 接觸模型的壓力分布，這種方法并不能直接確定切向力和切向相對位移之間的聯(lián)系。當已知3D 接觸模型的法向正壓力與切向力時，Johnson[9]提出了一種方法來確定切向力和切向相對位移之間的關(guān)系，從而來計算遲滯環(huán)。

將切向力q（x）施加在彈性半空間上，如圖5所示，則位移為

其中：E 為彈性模量，v 為泊松比；R2=（x - r）2+（y -s）2+z2。

圖5 半空間局部受載示意圖Fig.5 Local load of half-space

在目前的研究中，接觸面的相對位移被認為是一維的，沿x 方向。令x=y=z=0，得到接觸中心的位移為

由于接觸面上的法向正壓力與切向力是關(guān)于接觸中心對稱分布的，可得到

考慮到L?b 和-b ≤r ≤b，有L?r。式（4）可近似地寫為

因此，接觸面上邊緣區(qū)域接觸點的切向相對位移可表示為

式中，E*=2（1-v2）/E。

根據(jù)剛度的定義，可將接觸剛度表示為

進而可得到接觸剛度kd，再由Mindlin 球接觸理論可得到法向接觸剛度為

2 切向接觸剛度的有限元計算

2.1 有限元模型

首先，建立帶圓角的“平板-平板”接觸模型，如圖6所示。模型由阻尼塊和地面組成，分別采用四邊形平面應(yīng)變單元進行分網(wǎng)?？紤]到結(jié)果可靠性要求，對接觸區(qū)域進行了模型網(wǎng)格的收斂性分析，確定最佳的細化網(wǎng)格。材料屬性為：彈性模量為E=1.07×105MPa，泊松比v = 0.3。邊界條件和加載情況為：對地面所有節(jié)點的位移全約束；對阻尼塊施加法向力及切向力。這樣便可以得到接觸面在正壓力和切向力作用下的切向位移，如圖7所示。

圖6 有限元模型Fig.6 Finite element model

圖7 接觸面切向位移云圖Fig.7 Tangent displacement nephegram of contact surface

接觸剛度kd為阻尼塊左側(cè)的切向力和引起的接觸點的滑動距離的比值，即

2.2 接觸剛度確定

根據(jù)1.3 節(jié)提出的方法，分別求解不同摩擦系數(shù)及不同受力情況下的接觸剛度。在阻尼塊上表面施加20 N 法向正壓力，選取摩擦系數(shù)為μ=0.3 時，切向位移計算結(jié)果如表1所示。由表1中的數(shù)據(jù)計算得出切向力與接觸點切向位移的關(guān)系，如圖8所示。

表1 正壓力為20 N 時的切向位移計算結(jié)果Tab.1 Calculation result of tangential deformation when normal pressure is 20 N

圖8 μ=0.3 時切向力與切向位移的關(guān)系Fig.8 Tangential force vs.deformation at μ=0.3

從圖9可看出，保持正壓力不變，切向力較小時，接觸點的切向位移與切向力成線性關(guān)系，當切向力變大直至接近最大靜摩擦力時，切向力和變形不再滿足線性關(guān)系。因此，當正壓力一定時，可通過求解圖8中直線段的斜率來獲得不同摩擦系數(shù)對應(yīng)的切向接觸剛度。計算了選取不同正壓力時，3 種摩擦系數(shù)對應(yīng)的切向接觸剛度，如表2所示，并以此繪制了接觸剛度和正壓力的關(guān)系曲線，如圖9所示。

表2 不同摩擦系數(shù)下正壓力對應(yīng)的接觸剛度Tab.2 Contact stiffness vs normal pressures with different friction coefficients

圖9 不同摩擦系數(shù)下接觸剛度和正壓力的關(guān)系曲線Fig.9 Contact stiffness vs.pressure with different friction coefficients

由圖9可看出：當選取不同正壓力時，接觸剛度值變化很大，接觸剛度隨正壓力的增加而逐漸增加；當正壓力足夠大時，接觸剛度增加的速度趨于平緩。

在葉片的實際振動過程中，接觸面上的受力會在一個振動周期內(nèi)發(fā)生很大變化，特別是葉冠和凸肩，這會導(dǎo)致接觸剛度也發(fā)生相應(yīng)的變化。為了在葉片非線性響應(yīng)計算中獲得準確的接觸剛度及摩擦力，需要考慮這種變化。以摩擦系數(shù)μ=0.3 的計算結(jié)果為例，選擇冪函數(shù)形式進行曲線擬合，如圖10所示。

當彈性模量E=1.07E5 MPa，泊松比v=0.3 時，通過擬合圖10中接觸剛度與正壓力的關(guān)系曲線，得到接觸剛度和法向正壓力之間的關(guān)系式為對原數(shù)據(jù)點的擬合精度頗高，R2為99.49%?？烧J為，在該正壓力范圍內(nèi)，摩擦塊與地面之間的接觸剛度隨正壓力變化呈現(xiàn)冪函數(shù)形式的變化規(guī)律。

圖10 μ=0.3 時接觸剛度變化曲線Fig.10 Change curve of contact stiffness at μ=0.3

用同樣的擬合形式，分別對摩擦系數(shù)為μ=0.5 和μ=0.7 兩種情況進行擬合，如圖11和圖12所示。

圖11 μ=0.5 時接觸剛度變化曲線Fig.11 Change curve of contact stiffness at μ=0.5

圖12 μ=0.7 時切向接觸剛度變化曲線Fig.12 Change curve of contact stiffness at μ=0.7

當μ=0.5 時，切向接觸剛度和法向正壓力之間的關(guān)系式為

對原數(shù)據(jù)點的擬合精度頗高，R2為99.65%。

當μ=0.7 時，切向接觸剛度和法向正壓力之間的關(guān)系式為對原數(shù)據(jù)點的擬合精度更高，R2為99.76%。

得到接觸面上接觸剛度kd隨正壓力的變化規(guī)律后，則相應(yīng)的法向接觸剛度則可以利用式（9）進行計算，當泊松比v=0.3 時，kn≈1.21kd。

3 結(jié)語

首先分析了帶圓角的平板接觸模型接觸面上的受力情況，討論了平板圓角的變化對接觸面上正壓力和切向力分布的影響；根據(jù)剛度定義，并結(jié)合接觸點的位移分布，給出了接觸剛度和法向正壓力之間的關(guān)系。

然后，利用數(shù)值仿真對接觸剛度的求解方法進行了模擬計算，得到可用來描述正壓力與接觸剛度關(guān)系的表達式，并得到以下結(jié)論：①接觸剛度會因接觸面上正壓力與摩擦系數(shù)的不同而變化；②接觸剛度隨接觸面上正壓力的增加而變大，并呈冪函數(shù)關(guān)系；③接觸剛度隨摩擦系數(shù)增加而增大，正壓力越大，接觸剛度隨摩擦系數(shù)的不同而變化越顯著。

上述方法可快捷準確地得到正壓力與接觸剛度的關(guān)系表達式。接觸剛度的準確性直接決定了接觸面的接觸狀態(tài)變化，實時地考慮接觸剛度能夠更加準確地分析接觸點從粘滯到滑動的變化過程，為遲滯環(huán)以及葉片響應(yīng)的正確計算提供了保證。