陳嬡燕

數(shù)學(xué)歸根到底是一種語言，是一種高度抽象化、高度簡(jiǎn)潔化的語言。而支持其成為語言的基礎(chǔ)就是眾多數(shù)學(xué)符號(hào)，通過這些符號(hào)，不僅可以表達(dá)出自然語言所無法達(dá)到的精確的對(duì)象，而且能夠讓原本復(fù)雜的思維獲得簡(jiǎn)化的表達(dá)。數(shù)列是符號(hào)表達(dá)比較集中的章節(jié)之一，數(shù)列也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，通過符號(hào)的教學(xué)簡(jiǎn)化學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，可以讓學(xué)生更好地體會(huì)符號(hào)學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)。

數(shù)學(xué)的表達(dá)方式通常分為三種：文字語言、符號(hào)語言和圖表語言。其中的符號(hào)語言是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)推理過程等作出表述的一種語言形式，因其具有形式化、模式化、簡(jiǎn)約化的特點(diǎn)，能夠集中體現(xiàn)數(shù)學(xué)語言的抽象性、簡(jiǎn)約性和精確性，成為數(shù)學(xué)語言中最主要、最廣泛的一類語言。

在數(shù)列章節(jié)的內(nèi)容中，因?yàn)闆]有很好的理解數(shù)列中符號(hào)語言的特點(diǎn)，造成很多學(xué)生在理解數(shù)列中的概念和公式時(shí)產(chǎn)生障礙，只能解決簡(jiǎn)單的公式套用類的問題，稍微加深難度，連入手點(diǎn)都難找到。這就需要教師在教學(xué)的過程中，為學(xué)生呈現(xiàn)數(shù)列所涉及到的符號(hào)的產(chǎn)生過程，讓學(xué)生在體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)所帶來的便利和優(yōu)勢(shì)的基礎(chǔ)上，對(duì)符號(hào)有更深層次的理解，進(jìn)而樂于并善于使用符號(hào)進(jìn)行思考和表達(dá)。

1 符號(hào)簡(jiǎn)化形式表達(dá)

建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者基于原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)生成意義、建構(gòu)理解的過程，而這一過程常常是在社會(huì)文化互動(dòng)中完成的。數(shù)學(xué)的符號(hào)是數(shù)學(xué)抽象的集中體現(xiàn)，可以用最簡(jiǎn)潔的形式表達(dá)最豐富的內(nèi)涵。但是一個(gè)簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)符號(hào)形式，并不是學(xué)生最初的認(rèn)識(shí)形式，學(xué)生最初認(rèn)識(shí)的是現(xiàn)實(shí)直觀的客觀對(duì)象。從課本在數(shù)列章節(jié)的第一段話就是介紹古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常研究的正方形數(shù)的問題可見，數(shù)列所研究的按照一定順序排列的一列數(shù)就是對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的抽象。

在現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)列相關(guān)屬性是認(rèn)識(shí)數(shù)列的起點(diǎn)，接著就要研究這些數(shù)的規(guī)律。在研究這些規(guī)律時(shí)，數(shù)列提供了一系列的符號(hào)，例如：一個(gè)數(shù)列用，數(shù)列中的任意一項(xiàng)用，項(xiàng)在數(shù)列中的位置用等符號(hào)表示。有了這些符號(hào)的輔助，既方便了對(duì)某個(gè)數(shù)列中的各個(gè)項(xiàng)進(jìn)行調(diào)用，進(jìn)而抽象出數(shù)列的一般規(guī)律;也方便利用數(shù)列的知識(shí)簡(jiǎn)化思維和表達(dá)的過程。

問題1：求試數(shù)列1，4，9，16，25的一個(gè)遞推公式。

先說研究下標(biāo)的關(guān)系，可以看出下標(biāo)的關(guān)系是相鄰的兩個(gè)數(shù)，如果代數(shù)化就應(yīng)該表示為和，或者與，這就使得原有的四個(gè)形式統(tǒng)一為一個(gè)形式或者。代數(shù)化之后還要對(duì)字母對(duì)應(yīng)的數(shù)進(jìn)行限制，使得字母符合對(duì)應(yīng)的情境，此處表現(xiàn)為（）或者（），這就完成了對(duì)下標(biāo)的代數(shù)化。

對(duì)于差值所形成的數(shù)列3，5，7，9的抽象，實(shí)際上是將一個(gè)數(shù)列的特征轉(zhuǎn)化為另一個(gè)數(shù)列的特征，同樣都是對(duì)不同數(shù)字的相同規(guī)律的總結(jié)，如果再對(duì)這個(gè)數(shù)列使用符號(hào)進(jìn)行表達(dá)，形成的形式。如果將這一形式按照上面的方法代數(shù)化，就得到了，可見這一新的數(shù)列形式的遞推公式就是（）。

數(shù)學(xué)的抽象并不是簡(jiǎn)單的得到結(jié)果作為最終的目的，在保證精確表達(dá)的前提下，最大限度的提升形式的簡(jiǎn)潔度才是數(shù)學(xué)抽象的真正目標(biāo)。同樣以問題一的遞推公式的推導(dǎo)過程為例，如果將這些數(shù)表示成：，那么所得到的遞推公式就可以很容易的表達(dá)為（）的形式，進(jìn)而得出一個(gè)等差數(shù)列，此時(shí)獲得通項(xiàng)公式也就更加的容易。

2 符號(hào)簡(jiǎn)化思維過程

良好的數(shù)學(xué)符號(hào)可以將數(shù)學(xué)對(duì)象的特征全方位的表達(dá)出來，進(jìn)而通過很好的呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)對(duì)象中所隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，最終用最簡(jiǎn)潔的形式表達(dá)出數(shù)學(xué)對(duì)象中的規(guī)律。不僅如此，通過從不同的角度表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象的特征，數(shù)學(xué)抽象的層次也不同。也就是說，數(shù)學(xué)符號(hào)實(shí)際上是充當(dāng)著數(shù)學(xué)研究者的思想的載體。不同的數(shù)學(xué)研究者，通過對(duì)符號(hào)不同的表達(dá)方式，可以將思維的難度以豐富的形態(tài)表現(xiàn)出來。

問題2：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

這是一道利用錯(cuò)位相減法求和的問題，這是數(shù)列求和教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，更是難點(diǎn)。常見的教學(xué)思路是通過將的形式通過具體的數(shù)字形式表達(dá)出來，得到，然后兩邊同時(shí)乘以2，得到，進(jìn)而通過將兩次相減，消去其中的同次項(xiàng)，得到一個(gè)局部等比數(shù)列的形式，最終求得的形式。

但是實(shí)際的教學(xué)中，通過錯(cuò)位相減，消去其中的同次項(xiàng)，進(jìn)而得到局部等比數(shù)列的形式，這個(gè)步驟是很多學(xué)生在初學(xué)的過程中難以很好的而理解，導(dǎo)致機(jī)械地應(yīng)用這個(gè)方法，甚至于有的教師在教學(xué)過程中直接將錯(cuò)位相減法的問題結(jié)果用公式的形式直接要求學(xué)生進(jìn)行記憶，這對(duì)學(xué)生的核心素養(yǎng)的形成是非常不利的。

解決這樣的難點(diǎn)可以先從錯(cuò)位相減法的由來進(jìn)行梳理。錯(cuò)位相減法是從公比不為1的等比數(shù)列求和方法中得來的。比如，學(xué)生很容易就能夠得出，進(jìn)而通過兩個(gè)等式的相減，消去其中的相同項(xiàng)，最終得到結(jié)果。

這個(gè)方法學(xué)生是很容易接受的，可是到了指數(shù)的系數(shù)不同的情況下，卻成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。反思這一問題后可以看出，單一指數(shù)形式是學(xué)生比較容易接受的;多個(gè)指數(shù)形式相加，如果只是指數(shù)發(fā)生規(guī)律性變化，學(xué)生接受起來也比較容易;可是如果在此基礎(chǔ)上對(duì)多個(gè)相加的指數(shù)形式前再加入系數(shù)，這時(shí)候整個(gè)問題的思維復(fù)雜就可能產(chǎn)生質(zhì)變的提升。因此，學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)還是出現(xiàn)在形式的復(fù)雜度上。如果此時(shí)對(duì)指數(shù)的符號(hào)形式進(jìn)行改進(jìn)，將其表達(dá)成數(shù)列中的項(xiàng)的符號(hào)形式，就可以將問題的難度明顯的降低。

所得到的結(jié)果，從原本的指數(shù)運(yùn)算問題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算的問題，多項(xiàng)指數(shù)運(yùn)算需要思考的對(duì)象較多，但是多項(xiàng)代數(shù)運(yùn)算就只需要考慮同類項(xiàng)的運(yùn)算就可以。因此，學(xué)生很容易就會(huì)想到需要對(duì)所得結(jié)果，即

進(jìn)行合并同類項(xiàng)的運(yùn)算，容易得到了，最終先對(duì)進(jìn)行求值，進(jìn)而求出的值。

符號(hào)化運(yùn)算方法的意義不僅僅在于能夠?qū)栴}2這個(gè)具體問題進(jìn)行簡(jiǎn)化思考，還在于容易將這樣計(jì)算方法推廣到任意的錯(cuò)位相減法問題的解決。

問題3：已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，且數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求的前項(xiàng)和。

現(xiàn)簡(jiǎn)單描述符號(hào)的使用過程如下：

學(xué)生得到這個(gè)等式以后，后續(xù)的解答過程就會(huì)顯得輕松許多，通過從局部到整體的分列式計(jì)算思想，就可以很容易的到最終的結(jié)果。

3 結(jié)論

通過數(shù)列中對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的應(yīng)用方法可以看出，數(shù)學(xué)符號(hào)使用不僅能夠更好的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象中所隱含的規(guī)律，還能夠更好的體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象中的多層抽象的特征，而恰恰是這種多層的抽象過程，能夠很好的體現(xiàn)出數(shù)學(xué)問題在解決過程中的思維過程。用數(shù)學(xué)的思想思考世界是數(shù)學(xué)教學(xué)的主陣地，是學(xué)生核心素養(yǎng)的集中體現(xiàn)。因此在教學(xué)過程中，重視學(xué)生對(duì)符號(hào)意義的理解，同時(shí)用多種方法讓學(xué)生在不同的應(yīng)用場(chǎng)景中深刻的體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)作為數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)方式，最終提升學(xué)生符號(hào)應(yīng)用能力，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的核心價(jià)值。

基金項(xiàng)目：福建省“十三五”規(guī)劃2019年課題 ——基于HPM視角下的高中數(shù)學(xué)系列微專題開發(fā)研究（ FJJKXB19-478）成果。

（作者單位：福建省三明市第九中）