張鵬飛

摘 要：很長(zhǎng)時(shí)間以來，布萊克-斯科爾斯（Black-Scholes）公式一直是期權(quán)定價(jià)的基礎(chǔ)模型。但是，B-S公式假設(shè)回報(bào)分布服從正態(tài)分布，回報(bào)的波動(dòng)率σ也是常數(shù)。正態(tài)分布的對(duì)稱性和快速下降的尾部特征也意味著正態(tài)分布無法準(zhǔn)確的描述資產(chǎn)回報(bào)的經(jīng)驗(yàn)分布的偏度和肥尾性。另外，當(dāng)今的期權(quán)市場(chǎng)波動(dòng)率很高，這也就無法假定波動(dòng)率σ是常數(shù)。因此，本文提出一種經(jīng)典調(diào)和分布模型，并提出數(shù)值計(jì)算方法。經(jīng)過校正，經(jīng)典調(diào)和分布有著比正態(tài)分布更貼合實(shí)際的概率密度曲線。這個(gè)結(jié)果表明經(jīng)典調(diào)和分布可以更好的替代正態(tài)分布。

關(guān)鍵詞：期權(quán)定價(jià)，經(jīng)典調(diào)和分布，數(shù)值模擬

經(jīng)典調(diào)和分布的理論基礎(chǔ)

正態(tài)分布的對(duì)稱性以及快速下降尾部的特征意味著正態(tài)分布無法很好地描述資產(chǎn)回報(bào)概率密度分布的偏度和肥尾特征。經(jīng)典調(diào)和分布可以在模擬實(shí)際回報(bào)率中作為正態(tài)分布的一種替代選擇，因?yàn)槠湓试S一定的偏度和肥尾性。

假設(shè)隨機(jī)變量為X，經(jīng)典調(diào)和分布的特征函數(shù)可以寫作：

由于經(jīng)典調(diào)和分布有5個(gè)參數(shù)，經(jīng)典調(diào)和分布比正態(tài)分布更加靈活，也更適合模擬非對(duì)稱、高峰值、重尾分布的數(shù)據(jù)。

數(shù)據(jù)和數(shù)值模擬

本文以交易所常見的歐式期權(quán)：標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)（S&P 500，NYSE：SPX）為例，選取時(shí)間為01/01/2006至04/01/2016，計(jì)算期間每日的對(duì)數(shù)回報(bào)，然后分別使用正態(tài)分布和經(jīng)典調(diào)和分布來擬合指數(shù)的對(duì)數(shù)回報(bào)曲線。其中，正態(tài)分布的參數(shù)μ（平均對(duì)數(shù)回報(bào)）以及σ（平均對(duì)數(shù)回報(bào)的標(biāo)準(zhǔn)差）很容易計(jì)算。對(duì)于經(jīng)典調(diào)和分布的參數(shù)，我們使用最小二乘法來估計(jì)：

兩個(gè)分布最終的參數(shù)擬合結(jié)果如下：

顯然，由于λ+> λ-，經(jīng)典調(diào)和分布的概率密度函數(shù)是左偏的，左尾下降速度更快。S&P500對(duì)數(shù)回報(bào)曲線（黑線）、經(jīng)典調(diào)和分布曲線（藍(lán)色）以及正態(tài)分布曲線（紅色）如下圖所示：

如圖所示，經(jīng)典調(diào)和分布更加擬合S&P500的對(duì)數(shù)回報(bào)曲線，與實(shí)施更加符合。相比于正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)，經(jīng)典調(diào)和分布的5個(gè)參數(shù)更加貼合真實(shí)的曲線，在期權(quán)定價(jià)上，也會(huì)比使用正態(tài)分布的B-S公式更加準(zhǔn)確。

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