張波

摘 要：以“多邊形”和“平方差公式”為例，分別從“框架式”和“文化源”兩個(gè)角度進(jìn)行整體關(guān)聯(lián)教學(xué)，利用數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)和數(shù)學(xué)史文化關(guān)聯(lián)，經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性，培養(yǎng)學(xué)生思維，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：關(guān)聯(lián);四邊形;平方差公式

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出“應(yīng)注重學(xué)科內(nèi)容選擇、活動(dòng)設(shè)計(jì)的有機(jī)聯(lián)系”[1]，強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)的整體性設(shè)計(jì);比利時(shí)教育家德克樂(lè)利在19世紀(jì)末就提出教學(xué)遵循“整體化”和“興趣中心”的原則;章建躍教授在《數(shù)學(xué)教育之取勢(shì)明道優(yōu)術(shù)》中指出“在面對(duì)一個(gè)新的數(shù)學(xué)研究對(duì)象是，要有“整體觀”，要先為學(xué)生構(gòu)建研究的整體框架”[2]。開展整體關(guān)聯(lián)教學(xué)有利于數(shù)學(xué)教師在實(shí)踐的過(guò)程中更好地理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的本質(zhì)，將數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)和人才培養(yǎng)有機(jī)融合，促進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng);對(duì)學(xué)生而言，整體關(guān)聯(lián)教學(xué)有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中較好地構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系，真正把握學(xué)科本質(zhì)，最終整體達(dá)成涵養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

一.以“多邊形”為例的“框架式”整體關(guān)聯(lián)教學(xué)

思考 學(xué)生在八年級(jí)上冊(cè)已經(jīng)對(duì)三角形有了比較深刻而且完整的認(rèn)識(shí)，所以考慮立足三角形相關(guān)知識(shí)，找到相通，通過(guò)與三角形的整體關(guān)聯(lián)，找到多邊形與三角形相同的本質(zhì)，在類比中把多邊形同化，建立類似知識(shí)系統(tǒng)之間的整體關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移，實(shí)現(xiàn)思維的提升，進(jìn)而提升學(xué)生核心素養(yǎng)。

片段1.概念關(guān)聯(lián)

出示圖片，抽象出三角形，回顧三角形定義;出示圖片，抽象出四邊形，類比三角形定義得出四邊形定義;進(jìn)而關(guān)聯(lián)歸納出多邊形的定義。以此類推，學(xué)生自主探究，類比三角形的內(nèi)角、頂點(diǎn)、邊等概念關(guān)聯(lián)得到出四邊形和多變形的相關(guān)概念。

教師：從這張圖片中我們能抽象出什么圖形？（出示圖片）

眾生：三角形。

教師：三角形是我們已研究過(guò)的圖形，它是如何定義的呢？

學(xué)生1：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接形成的圖形。

教師：從這張圖片中我們又能抽象出什么圖形呢？（出示圖片）

學(xué)生2：四邊形。

教師：對(duì)，是四邊形，那么誰(shuí)能給它下個(gè)定義呢？

學(xué)生3：由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接形成的圖形。

教師：很好，請(qǐng)問(wèn)你是怎么得到的呢？

學(xué)生3：我是模仿三角形的定義。

教師：對(duì)，我們可以類比三角形的定義快速得出四邊形的定義。那么同學(xué)們能類比三角形和四邊形的定義歸納出多邊形的定義嗎？

學(xué)生4：由不在同一條直線上的若干條線段首尾順次相接形成的圖形。

教師：類比得很好，我們說(shuō)，在同一平面內(nèi)，由任意兩條都不在同一條直線上的若干條線段（線段的條數(shù)不小于3）首尾順次相接形成的圖形叫做多邊形。接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)剛才的方法，類比三角形的內(nèi)角、外角、頂點(diǎn)、邊等相關(guān)概念，自主探究四邊形的相關(guān)概念，進(jìn)而歸納出多邊形的相關(guān)概念。

（學(xué)生合作交流，教師引導(dǎo)，完成表格。始終沿著類比三角形概念得出四邊形概念進(jìn)行關(guān)聯(lián)探究，進(jìn)而由特殊到一般，歸納出多邊形概念這一條線貫穿這一環(huán)節(jié)）

設(shè)計(jì)分析：奧蘇貝爾指出：影響學(xué)習(xí)的最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況進(jìn)行教學(xué)。學(xué)生在八年級(jí)上冊(cè)已經(jīng)對(duì)三角形有了深刻而完整的認(rèn)識(shí)，了解了三角形的相關(guān)概念，本環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生類比三角形定義得出四邊形和多邊形定義，讓學(xué)生體會(huì)在之前學(xué)習(xí)過(guò)程中積累下的三角形相關(guān)知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)可以適當(dāng)遷移，推廣到四邊形學(xué)習(xí)中來(lái)，進(jìn)而學(xué)生以此類推，四邊形的內(nèi)角、外角、頂點(diǎn)、邊等相關(guān)概念的生成自然而然，使得四邊形的新知識(shí)可以很快生長(zhǎng)出來(lái)。

片段2.性質(zhì)關(guān)聯(lián)

教師：回顧三角形的探究經(jīng)歷，三角形概念后我們探究的是三角形的性質(zhì)，最先了解的是三角形內(nèi)角和定理，那么同學(xué)們知道嗎？

學(xué)生5：三角形內(nèi)角和等于180°。

教師：那么四邊形的內(nèi)角和等于多少呢？讓我們用我們手上的道具，跟著這張表格一起來(lái)探究吧。

（學(xué)生根據(jù)已有關(guān)聯(lián)經(jīng)驗(yàn)繼續(xù)小組交流，合作完成表格。表格中的實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)有一定的難度，教師事先給每個(gè)小組準(zhǔn)備好道具，學(xué)生自己創(chuàng)設(shè)情境，動(dòng)手操作。）

設(shè)計(jì)分析：《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程。認(rèn)真聽講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程?！北经h(huán)節(jié)，通過(guò)類比，提出疑問(wèn)，帶著疑問(wèn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)大膽猜想，進(jìn)而證明，用類比—實(shí)驗(yàn)—猜想—證明的方法師生共同探究四邊形內(nèi)角和定理，再根據(jù)這樣的方法，學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、合作交流，自主探究四邊形定理的推論。類比—實(shí)驗(yàn)—猜想—證明這一數(shù)學(xué)體驗(yàn)讓學(xué)生置身數(shù)學(xué)活動(dòng)中，親歷具體的操作過(guò)程，感受數(shù)學(xué)對(duì)象，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，領(lǐng)悟思想方法，獲取活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二.以“平方差公式”為例的“文化源”整體關(guān)聯(lián)教學(xué)

思考 上述課例是通過(guò)知識(shí)內(nèi)在邏輯關(guān)系建立的體系，教師在關(guān)注知識(shí)的邏輯順序的同時(shí)，應(yīng)與學(xué)生的心理發(fā)生順序一致，探究知識(shí)究竟為何會(huì)產(chǎn)生，追溯知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展歷史。關(guān)于平方差公式最早可追溯到古巴比倫數(shù)學(xué)泥版，記載了大量的二元二次方程組問(wèn)題，當(dāng)時(shí)解決的方法是“和差術(shù)”，公元3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖也利用和差術(shù)來(lái)解二元二次方程（如：已知兩數(shù)的和為20，乘積為96，求這兩個(gè)數(shù)）。在中國(guó)古代數(shù)學(xué)中，趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)，給出了平方差公式的幾何證明。后來(lái)的希臘數(shù)學(xué)中，平方差公式和等周問(wèn)題密切相關(guān)，芝諾多魯斯著《論等周圖形》一書，證明了如下命題：“在邊數(shù)相同的等周多邊形中，等邊且等角的多邊形面積最大?！盵3]

片段1.現(xiàn)實(shí)中的等周問(wèn)題，引出課例