員相偉

摘要：從古希臘時期開始，數(shù)學就被賦予了濃郁的邏輯和理性色彩。隨著柏拉圖主義與基督教的結(jié)合，在西方文化中，數(shù)學知識便成為了絕對性、確定性和永恒性的真理的典范，是形而上學哲學的堅實根基之一。但自十九世紀以來，因為數(shù)學自身的發(fā)展，數(shù)學作為神性化形而上學的真理性知識的地位逐漸開始瓦解，一場深刻持久的數(shù)學真理觀念變革拉開了序幕。通過對數(shù)學理性地位的研究，使人認識到，數(shù)學的發(fā)展過程也是自我革新的過程。數(shù)學的這種自我革新的能力也是人類不斷加深自身認識的必要途徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)學;真理觀

數(shù)學依賴一種特殊的方法去達到它驚人而有力的結(jié)果。即從不證自明的公理出發(fā)進行演繹推理。它的實質(zhì)是，若公理為真，則可以保證由其演繹出來的結(jié)論必然為真。通過應(yīng)用這些看起來清晰、真確、完美的邏輯，數(shù)學家們得出毋庸置疑、無可辯駁的結(jié)論。正是通過將數(shù)學的這套邏輯推理體系與恰當?shù)睦碚撃Ｐ徒Y(jié)合了起來，才使得建立在對現(xiàn)象的歸納基礎(chǔ)上的科學理論取得了確定性的推理能力。簡單的說，就是因為數(shù)學的作用，讓所謂的自然定律看起來似乎與數(shù)學真理一樣絕對可信。因此，在經(jīng)典物理學的時代，人們開始普遍的相信數(shù)學能夠牢固的把握宇宙的所作所為，能夠瓦解玄妙并代之以秩序和規(guī)律。人們開始自信的宣稱自己已經(jīng)掌握了宇宙的許多秘密（實際上只是一系列的數(shù)學定理）。

但到了十九世紀，一系列數(shù)學知識的新進展，諸如極限論和實數(shù)理論，非歐幾何，哈密爾頓的四元數(shù)和伽羅瓦的群論等數(shù)學新知識的出現(xiàn)，以及羅素悖論、康托爾悖論等一系列關(guān)乎集合論的完備性和邏輯一致性的悖論的接踵而至，都開始從整體上動搖以形而上學為基調(diào)的傳統(tǒng)數(shù)學真理觀念和思想體系。就在以希爾伯特為代表的形式主義學派和以羅素為代表的邏輯主義學派試圖克服上述的種種困難，以期將數(shù)學的新發(fā)展和傳統(tǒng)的數(shù)學知識體系相融合，重新建立嚴格的數(shù)學基礎(chǔ)時，誕生了在數(shù)學史和邏輯學史上具有里程碑意義的“哥德爾不完備定理”。該定理表明被數(shù)學家們所倚重的公理化和形式化有其內(nèi)在的局限性。不可能一勞永逸地構(gòu)建一套公理化系統(tǒng)來重建數(shù)學的確定性基礎(chǔ)。這意味著對于公理有了選擇的可能，數(shù)學家們在如何看待真理及知識的可靠性方面已不再有完全一致的見解。

以幾何學為例。對于經(jīng)典的歐幾里得幾何學，其核心的五條公理在很長的時間里還沒有人懷疑過它們的物理真實性，它們被認為是明顯的真實和有效的。但到了19世紀的時候，還是有人對這五條公理的真理性提出了質(zhì)疑，尤其是其中的第五條公理，即著名的平行線公理。這條公理是這樣的：“給一條直線和線外的一點，在由該給定直線和點所決定的平面上有而且僅有一條直線經(jīng)過定點而與給定直線不相交”。很多的人開始反對將這個事實作為一條公理引入，因為它看上去不像一條公理應(yīng)當具有的那樣不證自明的特性，為了避免引入這條公理，有人采用了一種巧妙的方法，即將這條公理改為兩種與之相反的形式，即，一、過定點可作多一條直線與給定直線不相交;二、過定點不能做出直線與給定直線不相交。并且將這兩條公理之一代替歐幾里得幾何學中的平行線公理，去聯(lián)同其余的四條公里去推導定理。這些人期望這樣肯定會得到大量相互矛盾的定理，而這將會進一步的證明代換進去的公理是錯誤的。這樣最后一步的推理就是，如果僅有的兩個可能的不同說法都導致了矛盾，則歐幾里得的命題必然是正確無誤的（盡管看起來并不是那么自明）。

但不幸的是采用的這兩個不同的公理并沒有到處任何的矛盾，這也就意味著我們得到了兩種全新的幾何學，并且這兩種幾何學有著和經(jīng)典的歐式幾何學一樣嚴謹?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)。這是有人可能要說，這種建立純粹的數(shù)學演算基礎(chǔ)上的幾何學怎么看都像是一種數(shù)學游戲，它們在實際的應(yīng)用中是否能和久經(jīng)考驗的歐幾里得幾何學相媲美？答案是，若把這些新的幾何學應(yīng)用于自然界，在當時的測量所能確定的精度下，其結(jié)構(gòu)是同歐式幾何學一樣精確的（這是高斯在大地測量學中的偉大貢獻）。

就這樣數(shù)學家們被迫面對這樣一個問題，“這些幾何學，歐式的和非歐式的，究竟哪個是自然界的真理？沒有標準可以指明哪一個比另一個更合適?？墒呛脦讉€互相根本不同的幾何學不可能都是真實的，這是不符合邏輯的。數(shù)學家們慢慢地勉強領(lǐng)悟了其中的真諦，即哪一種幾何學都沒有理由使人相信是真實的。

就這樣，如果作為數(shù)學的基本分支之一的歐幾里得幾何學都不必須是真實的，數(shù)學家們應(yīng)當重新考慮他們對所有數(shù)學本質(zhì)的理解是不是有問題。他們曾經(jīng)相信自己是從自然界中顯現(xiàn)的真理出發(fā)，并運用推理演繹出有關(guān)自然界進一步的真理。然而非歐幾何的教訓在于：人們過去膚淺的挑選了有關(guān)自然界的一些似乎是正確的事實作為公理并演繹出一批結(jié)論，而這些結(jié)論又碰巧可以被應(yīng)用。確實可能從完全不同于原先的歐幾里得的斷言出發(fā)而仍然獲得有用的結(jié)果。這對于根植于數(shù)學發(fā)展歷史中的理性主義是一個強烈的打擊。顯然數(shù)學是人的創(chuàng)造，它是人工的。無論其公理或由次推出的定理那都是由人寫進宇宙的 。數(shù)學知識的確定性已經(jīng)開始喪失。

如果說第一次數(shù)學危機摧毀了畢達哥拉斯學派的神秘主義堡壘，那么從十九世紀中葉以來所發(fā)生的數(shù)學革命所摧毀的是整個西方近代科學哲學所依賴的形而上學思想體系。這意味著西方自古希臘、文藝復興和近代科學誕生以來所取得的巨大的精神財富和思想成就面臨著被重新估計、重新審視的境地。面對出人意料的成就和令人焦躁不安的危機，那些固守傳統(tǒng)信念的數(shù)學家和哲學家，尤其是在柏拉圖主義者和概念實在論者那里，產(chǎn)生了西方文化史上最嚴重的理性主義信仰危機。在表明其最終哲學觀點的《我的哲學發(fā)展》一書中，羅素清楚地表明其對數(shù)學的悲觀看法：“一直以來，我希望在數(shù)學中找到的絕對的確定性消失在一個令人迷惑的迷宮中了……它卻是一個復雜的概念的迷宮?！钡珎鹘y(tǒng)數(shù)學家的沮喪并不意味著數(shù)學知識失去了其認識自然和描述自然的有效性。事實恰恰相反，近現(xiàn)代以來幾乎每一次的科學革命，都與數(shù)學的發(fā)展和革新緊密相關(guān)，例如廣義相對論之于非歐幾何，四維空間理論之于漢密爾頓四元數(shù)，量子力學理論之于伽羅瓦群論。

參考文獻

[1] Morris Kline主編：《現(xiàn)代世界中的數(shù)學》，齊友民等譯，上海教育出版社，2004年。

[2] M·克萊因：《數(shù)學：確定性的喪失》，李宏魁譯，湖南科學技術(shù)出版社，2001年。

[3] Ivar Ekeland：《最佳可能性世界——數(shù)學與命運》，馮國蘋、張端智譯，科學出版社，2012年。