摘 要：微分方程最優(yōu)控制在科學(xué)和工程中具有廣泛的應(yīng)用背景，它的數(shù)值求解方法一直是近年來非常活躍的研究分支。對(duì)該問題的提出和研究意義進(jìn)行了闡述，對(duì)國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展動(dòng)態(tài)做了分析，并且總結(jié)了幾個(gè)需要解決的關(guān)鍵科學(xué)問題。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)控制;數(shù)值方法;研究展望

1 研究背景和意義

偏微分方程最優(yōu)控制問題作為一個(gè)非?；钴S的研究分支，在實(shí)際工程領(lǐng)域與計(jì)算科學(xué)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，例如，在液體流、大氣流、電磁場(chǎng)以及放射熱源和激光技術(shù)等許多方面都需要借助流體最優(yōu)控制模型來分析和解決實(shí)際問題。許多實(shí)際應(yīng)用問題，例如，癌癥治療過程中的熱處理、低溫超導(dǎo)激光能量的爆破和混凝土大壩的最優(yōu)溫度控制，都涉及求解偏微分方程描述的最優(yōu)控制問題。這類問題需要求解一個(gè)目標(biāo)泛函的最小值，并且目標(biāo)泛函中的控制變量要滿足偏微分方程描述的某個(gè)物理過程和一些其他約束條件。該問題是無窮維空間的求最優(yōu)解問題，不能用計(jì)算機(jī)精確求解，為了準(zhǔn)確而快速求解這類問題，數(shù)值計(jì)算方法的研究就變得特別重要。隨著人工智能的迅速發(fā)展，偏微分方程最優(yōu)控制在人工智能領(lǐng)域也扮演了重要角色。如何利用已有的算法和理論，構(gòu)造更加高效簡(jiǎn)便的數(shù)值計(jì)算方法或研發(fā)數(shù)值計(jì)算軟件，應(yīng)用到生物醫(yī)藥、人工智能、工業(yè)制造等也是亟待解決的問題。

為了準(zhǔn)確且高效地求解偏微分方程最優(yōu)控制問題，計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)W者們對(duì)該類問題數(shù)值方法的研究顯得尤為重要。關(guān)于最優(yōu)控制問題數(shù)值方法的研究已經(jīng)取得了一批有意義的工作，但是，在如何構(gòu)造高精度的數(shù)值格式方面的研究還相對(duì)較少，特別是針對(duì)復(fù)雜幾何區(qū)域問題或界面問題?？焖俑咝У臄?shù)值方法由于其能大大提高計(jì)算精度和計(jì)算效率等優(yōu)點(diǎn)，具有重要的理論價(jià)值和更加實(shí)際的意義[1]。

2 研究現(xiàn)狀和發(fā)展動(dòng)態(tài)分析

自從Lions對(duì)偏微分方程最優(yōu)控制問題做出開創(chuàng)性理論，此類問題的計(jì)算方法成為了大量計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)者的研究熱點(diǎn)問題。目前對(duì)PDE最優(yōu)控制問題的數(shù)值求解思路主要有兩種：第一種是先優(yōu)化后離散，即先利用Lagrange乘子方法推導(dǎo)出最優(yōu)控制問題的最優(yōu)性條件，這個(gè)最優(yōu)性條件包含狀態(tài)方程、伴隨方程和變分不等式，由于最優(yōu)性條件是無窮維的，然后需采用一定的數(shù)值方法（如：有限元方法、有限體積元方法和譜方法等）進(jìn)行離散，變成有限維的數(shù)值計(jì)算問題;第二種思路是先離散后優(yōu)化，即先利用數(shù)值離散方法對(duì)原最優(yōu)控制問題（目標(biāo)泛函、控制方程和約束條件）進(jìn)行離散，得到離散的最優(yōu)控制問題，然后再利用優(yōu)化算法逼近最優(yōu)解。不論上面兩種方法選哪種，數(shù)值離散都是不可缺少的，因此好的離散方法對(duì)求出最優(yōu)解是至關(guān)重要的。針對(duì)偏微分方程最優(yōu)控制問題，數(shù)值方法的研究主要圍繞優(yōu)化算法、離散、先驗(yàn)和后驗(yàn)誤差估計(jì)這幾個(gè)方面，并且出現(xiàn)了許多的研究成果，相關(guān)理論和誤差估計(jì)如文獻(xiàn)[2]所示。與控制無約束的最優(yōu)控制問題相比，控制帶約束（如逐點(diǎn)約束，不等式約束和積分約束）的最優(yōu)控制問題，其理論分析和計(jì)算方法都更為復(fù)雜和困難，一些學(xué)者進(jìn)行了超收斂方法研究，并對(duì)積分型帶約束橢圓最優(yōu)控制問題，得到了有限元最優(yōu)誤差估計(jì)和超收斂分析。對(duì)于帶間斷系數(shù)的最優(yōu)控制問題，相關(guān)的文獻(xiàn)很少[3]。Apel[4]考慮了帶間斷系數(shù)的橢圓分布控制問題，其中的擴(kuò)散系數(shù)在不同的Lipschitz區(qū)域取值不同。為了避免界面處收斂階的損失，采用了分級(jí)網(wǎng)格方法。文獻(xiàn)[3]采用了浸入有限元方法處理界面。對(duì)拋物型最優(yōu)控制問題的研究，研究工作者考慮了具有逐點(diǎn)約束的全離散有限元逼近。關(guān)于拋物最優(yōu)控制的半離散混合有限元逼近，還有學(xué)者利用RTO有限元逼近狀態(tài)變量、分片常數(shù)逼近最優(yōu)控制，并進(jìn)行了誤差估計(jì)。隨后出現(xiàn)了線性和半線性拋物最優(yōu)控制問題全離散混合有限元方法，關(guān)于具有逐點(diǎn)控制約束和積分控制約束的線性、半線性拋物方程及雙曲方程最優(yōu)控制問題的相關(guān)研究隨后也出現(xiàn)了很多[5]。

針對(duì)流體控制問題，從有限元方法出發(fā)，許多學(xué)者做了探索，提出了各種各樣的高精度離散格式，例如非協(xié)調(diào)有限元方法[6]、自適應(yīng)有限元方法和混合有限元方法等。劉文斌等人給出了Stoke方程分布最優(yōu)控制問題的后驗(yàn)誤差估計(jì)，為自適應(yīng)有限元方法求解流體控制問題鋪平了道路。陳燕萍等人采用勒讓德伽略金方法數(shù)值求解Stoke方程分布控制問題，通過選擇適當(dāng)?shù)牧魉俸蛪毫Φ碾x散空間，使得離散方程組的系數(shù)矩陣系數(shù)，對(duì)流體控制問題譜方法分析的超收斂性研究有著重要的參考價(jià)值。

帶有界面的最優(yōu)控制問題也一直是計(jì)算數(shù)學(xué)家研究的熱點(diǎn)問題之一。目前，比較青睞的做法是使用與界面無關(guān)的網(wǎng)格來離散。在對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行剖分時(shí)，網(wǎng)格不需要擬合界面，即，允許界面穿過剖分單元的內(nèi)部，這在文獻(xiàn)中經(jīng)常稱為非擬合網(wǎng)格，例如最簡(jiǎn)單的一致網(wǎng)格。利用這種網(wǎng)格求解流體界面問題有很多優(yōu)點(diǎn)，比如說，網(wǎng)格的生成很簡(jiǎn)單，即使對(duì)于幾何形狀非常復(fù)雜的界面也不需要花費(fèi)大量的時(shí)間來生成網(wǎng)格;如果界面隨著時(shí)間移動(dòng)，不需要對(duì)每一時(shí)間層重新生成網(wǎng)格，極大地減少了算法的復(fù)雜度和計(jì)算時(shí)間。浸入邊界方法將一個(gè)具有幾何形狀復(fù)雜且不停跳動(dòng)的心臟模擬放到一個(gè)矩形盒中，利用Dirac delta函數(shù)作為源分布取代原來復(fù)雜的邊界條件。浸入邊界方法雖然簡(jiǎn)單、具有魯棒性，但它是一個(gè)正則化的方法，只有一階精度。圍繞提高浸入邊界方法的精度，不少學(xué)者做了很多的研究工作。Lin等人[7]針對(duì)穩(wěn)態(tài)二維Stokes界面問題提出了基于間斷Galerkin的矩形Q1/Q0浸入界面有限元方法。該方法把速度和壓力聯(lián)合在一起，通過耦合的界面跳躍條件構(gòu)造浸入界面有限元空間。這也意味著，離散空間里的速度和壓力也是耦合在一起的，這增加了程序?qū)崿F(xiàn)的難度。該方法的穩(wěn)定性和最優(yōu)收斂精度只是通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)去說明，其理論證明目前還欠缺。接著，Lin等人[8]利用該方法求解了帶有移動(dòng)界面的二維Stokes問題。該方法的穩(wěn)定性、收斂性、以及如何推廣到三維Stokes、Navier-Stokes界面問題還有待研究。

3 研究展望

仍然有很多待解決的關(guān)鍵問題：（1）最優(yōu)控制問題求解區(qū)域?yàn)榄h(huán)形域時(shí)，有限體積方法中傳統(tǒng)的一致網(wǎng)格使得計(jì)算代價(jià)太昂貴，構(gòu)造一個(gè)合適的計(jì)算網(wǎng)格，用最小的代價(jià)取得預(yù)期的計(jì)算精度是求解過程中比較關(guān)鍵的一個(gè)問題。（2）對(duì)于邊界控制問題，最優(yōu)控制的正則性降低，限制了我們使用有限元空間的多項(xiàng)式次數(shù)，為了得到整體超收斂的結(jié)果，采用一定的插值后處理技巧是比較關(guān)鍵的問題。（3）由于系數(shù)在界面處產(chǎn)生間斷，偏微分方程最優(yōu)控制問題的解跨過界面上有跳躍，而且其導(dǎo)數(shù)也不連續(xù)，在構(gòu)造計(jì)算網(wǎng)格時(shí)，允許界面穿過某些單元的內(nèi)部，這樣如果在這些單元上面還用傳統(tǒng)的多項(xiàng)式函數(shù)去逼近，則逼近效果不好，甚至?xí)霈F(xiàn)錯(cuò)誤。如何在這些單元上構(gòu)造出好的逼近函數(shù)是需要解決的關(guān)鍵問題之一。（4）如果考慮非穩(wěn)態(tài)且界面移動(dòng)的情形，那么溫度場(chǎng)在時(shí)間方向上也存在著跳躍。在離散時(shí)間導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，如果使用傳統(tǒng)的時(shí)間離散方法，比如說Crank-Nicolson格式，那么離散精度會(huì)損失，甚至不能得到正確的結(jié)果。如何修正傳統(tǒng)的Crank-Nicolson格式，使得精度不損失也是需要解決的關(guān)鍵問題。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：張倩（1988—），女，漢族，河南中牟縣人，博士，講師，研究方向：偏微分方程數(shù)值解。