蔡 明

(浙江省諸暨市浬浦中學(xué) 311824)

浙江高考連續(xù)三年在小題中均涉及動(dòng)態(tài)下空間角(線線角、線面角、面面角)的大小關(guān)系，蘊(yùn)含常用方法、特殊方法、特殊結(jié)論應(yīng)用等，可以為不同層次的學(xué)生提供不同的方法進(jìn)行三種角解答.

一、真題呈現(xiàn)

圖1

Aγ<α<βB.α<γ<β

C.α<β<γD.β<γ<α

2.【2018浙江卷8】已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則( ).

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

3.【2019浙江卷8】設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，記直線PB與直線AC所成角為α，直線PB與平面ABC所成角為β，二面角P-AC-B的平面角為γ，則( ).

A.β<γ,α<γB.β<α,β<γ

C.β<α,γ<αD.α<β,γ<β

二、命題立意

作為立體幾何中的三種空間角問題立足于教材，命題背景公平，考生容易入手.近三年考題均以棱錐為載體，題型、位置也相對(duì)固定，解答的方法也基本相同，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念和性質(zhì)，以及三種角的計(jì)算.通過對(duì)三種角的三角函數(shù)值求解，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行大小比較，或運(yùn)用圖形特征和變化，也可達(dá)到事半功倍的效果.

三、解法探究

2019年的空間角高考題以動(dòng)態(tài)題為背景，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等，對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化與化歸的能力也有一定的要求.本文通過對(duì)2019年的高考題展開對(duì)解法的探究.

從題型上入手，考生可考慮使用極限法或從圖形上進(jìn)行直觀判斷三個(gè)角的相關(guān)關(guān)系.

方法1在三棱錐逐漸壓扁的過程中不難發(fā)現(xiàn)直線PB與平面ABC所成的角β趨于零，可判斷出β<α,β<γ，選B.

作為選擇題的特點(diǎn)，不妨將三棱錐和動(dòng)點(diǎn)特殊化，用定量的方法進(jìn)行計(jì)算，并進(jìn)行大小比較.

方法2不妨取各棱長(zhǎng)都相等為2的正四面體V-ABC，且P為VA的中點(diǎn)，根據(jù)三種角的定義分別作出相應(yīng)的角，并通過計(jì)算求得：

則sinβ

作為數(shù)學(xué)解題的嚴(yán)密性，往往需要一一求證，因此用一般的方法加以求解、判斷真?zhèn)?

圖2 圖3

方法3取AC的中點(diǎn)為G，O為底面△ABC的中心，連AO，則O為點(diǎn)V在底面ABC內(nèi)的投影，且點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)投影點(diǎn)D在線段AO上運(yùn)動(dòng)，在底面ABC內(nèi)，過D作DE⊥AC交AC于E，連PE，VG，易證PE∥VG.在面VAC內(nèi)過P作PF∥AC交VG于F，過D作DH∥AC交BG于H，

則∠BPF=α，∠PBD=β，∠PED=γ.

綜上，選B.

在立體幾何的三個(gè)角中有兩個(gè)特殊的定理，即最小角定理與最大角定理.最小角定理——一條斜線與一個(gè)平面內(nèi)的直線所成的角的最小角為該直線與此平面所成的角；最大角定理——一個(gè)半平面內(nèi)任意一條直線與另一個(gè)半平面所成角的最大角為該二面角的平面角(或其補(bǔ)角).

方法4由最小角定理直接可得：β<α，設(shè)V-AB-C的平面角為θ，則θ=γ，根據(jù)最大角定理可知：β<θ，則β<γ，故選B.

四、解題思考

常規(guī)解法易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤或運(yùn)算量較大，甚至也有不能正確作圖得出各種角；未能利用特殊圖形、特殊位置，尋求簡(jiǎn)便解法.而運(yùn)用特殊題型的意識(shí)，可運(yùn)用已有的結(jié)論使小題快而準(zhǔn)地解答.

近年來，立體幾何的動(dòng)態(tài)題時(shí)有出現(xiàn)，往往需要學(xué)生更多的空間想象能力或一定的動(dòng)手能力，快速有效地解決問題，因此平時(shí)教學(xué)中要不斷培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、動(dòng)手實(shí)踐等能力.

在解題中重視線線角、線面角、面面角之間的內(nèi)在聯(lián)系，深層次的挖掘空間角的內(nèi)涵，通過對(duì)空間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化來培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).在思維上也要下足功夫，要提升分析問題的能力，從而能更快更有效地解決問題.

五、教學(xué)反思

總體來看相對(duì)比較穩(wěn)定，以基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法為命題出發(fā)點(diǎn)，教學(xué)中讓學(xué)生更多地參與解題的探究過程.教學(xué)中的幾點(diǎn)反思：

1.重視基礎(chǔ)、加強(qiáng)運(yùn)算

從學(xué)生反饋來看，作角容易，計(jì)算困難.由于學(xué)生平時(shí)缺乏對(duì)運(yùn)算的訓(xùn)練，削弱了運(yùn)算能力，在考試中運(yùn)算丟三落四，出錯(cuò)率居高不下.在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)盡量要求學(xué)生在平時(shí)作業(yè)、練習(xí)時(shí)務(wù)必筆算，不要借助計(jì)算器等工具，更不要養(yǎng)成眼高手低的習(xí)慣，導(dǎo)致在真正考試時(shí)手忙腳亂，甚至出現(xiàn)一些低級(jí)的運(yùn)算錯(cuò)誤.

2.通性通法指導(dǎo)

加強(qiáng)重點(diǎn)問題的通性通法指導(dǎo)、保證解題的規(guī)范與嚴(yán)密.近幾年浙江高考總體平穩(wěn)，應(yīng)在平時(shí)強(qiáng)化問題的常規(guī)解法，形成一定的解題模式.學(xué)生解題格式不夠規(guī)范與不到位的失分也頗多，在平時(shí)講解中對(duì)易出錯(cuò)的相關(guān)環(huán)節(jié)應(yīng)強(qiáng)調(diào)于學(xué)生，使學(xué)生減少或避免這些無謂的失分.

總之在教學(xué)中應(yīng)立足課本，抓好基礎(chǔ)，重視數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)的訓(xùn)練，提高分析問題、解決問題的能力.