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        幾類特殊的多面體的外接球問題

        2020-10-19 08:52:08沈清臣
        數(shù)理化解題研究 2020年28期
        關(guān)鍵詞:球心棱錐三棱錐

        沈清臣

        (湖南省長沙市長郡中學(xué) 410000)

        空間幾何體與球的組合問題是近幾年高考中的一個(gè)頻考點(diǎn),且考查形式靈活多樣;要正確求解此類問題,學(xué)生必須通過讀、想、畫、轉(zhuǎn)、算五個(gè)基本環(huán)節(jié),找準(zhǔn)熟悉的基本幾何模型及相應(yīng)的求解策略.

        此類問題可劃分為旋轉(zhuǎn)體、多面體的內(nèi)切、外接球問題;而旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切、外接球問題,通過軸截面可轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解;多面體的內(nèi)切球問題,利用等體法可直接求解.因此,本文主要介紹多面體(棱柱、棱錐)的外接球問題,在此之前,我們先熟悉空間球體的截面性質(zhì)及其應(yīng)用.

        一、球的截面性質(zhì)及其應(yīng)用

        如圖1,空間球體有如下性質(zhì):

        (1)用一個(gè)平面去截球,所得截面是一個(gè)圓面;

        (2)球心與截面圓心的連線與截面垂直,且滿足:R2=r2+d2(其中R表示球的半徑,r表示截面圓的半徑,d表示球心到截面的距離).

        圖1 圖2

        上例的求解過程,充分利用球體的截面性質(zhì),即球心與截面圓圓心的連線與截面垂直,使得求解難度大大降低.類似的問題還在高考試題中曾多次出現(xiàn),如2013年新課標(biāo)Ⅰ(理)第6題、2013年新課標(biāo)Ⅰ卷(文)第15題、2013年大綱卷(文)第16題、2013年大綱卷(理)第16題等.其實(shí),更多幾何體的外接球問題的求解均需要利用到球體的截面性質(zhì),在后面的問題中將作介紹.

        二、棱柱的外接球問題

        此處我們主要介紹直棱柱(側(cè)棱垂直于底面)的外接球問題.因?yàn)檎襟w、長方體的外接球直徑即為體對角線,因此遇到直棱柱的外接球問題,首先可以考慮將該直棱柱補(bǔ)體為長方體或正方體;若不能補(bǔ)體,再考慮利用球體的截面性質(zhì)確定球心位置,再由勾股定理求解.

        圖3

        如圖3,設(shè)直三棱柱ABC-A1B1C1上、下底面的外接圓圓心分別為H1、H,連接H、H1,則易知HH1的中點(diǎn)O即為該棱柱外接球的球心,AH即為底面外接圓的半徑,AO即為球的半徑R.利用平面幾何知識求出AH,再結(jié)合球的截面性質(zhì)可直接求解.

        例2(2013年遼寧文、理第10題)已知三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為( ).

        直接考查正方體、長方體的外接球問題,在高考試題中曾多次出現(xiàn),如2013年天津文第10題、2014年陜西理第5題、2016全國Ⅱ文第4題、2017年天津文、理第10題、2017年全國Ⅱ文第15題等,此類問題難度不大.

        補(bǔ)體的策略在后面的錐體的外接球問題中將進(jìn)一步詳細(xì)介紹.

        三、棱錐的外接球問題

        球與錐體的組合問題,在高考真題及各地的模擬試題中出現(xiàn)頻率最高,試題形式多樣,靈活多變.類似于柱體的求解策略,我們首先考慮補(bǔ)體,再者利用截面性質(zhì)確定球心,進(jìn)而可得解.下面將按四種類型進(jìn)行詳細(xì)闡述.

        1.有條側(cè)棱垂直于底面的棱錐

        若棱錐的一條側(cè)棱垂直于底,則補(bǔ)體為直棱柱求解,如圖4,三棱錐S-ABC中,側(cè)棱SA⊥底面ABC,則可補(bǔ)體成直棱柱SQP-ABC(如圖5),即轉(zhuǎn)化為直棱柱的外接球問題.

        圖4 圖5

        例3(2019年全國Ⅰ理第10題)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F(xiàn)分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為( ).

        圖6 圖7

        在三棱錐中,若共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直,則將棱錐補(bǔ)體為正方體或長方體,可迅速求解.類似問題再如,2012年遼寧文理第16題.

        2.對棱相等的錐體

        正方體或長方體中,相對面的對角線相等,因此當(dāng)三棱錐的對棱相等的時(shí)候,可以將該三棱錐放于正方體或長方體內(nèi),即補(bǔ)體為正方體或長方體.

        圖8

        ∴球的半徑R滿足4R2=a2+b2+c2=7,故表面積為S=4πR2=7π.

        本例也可以取AB或CD的中點(diǎn),作出截面,根據(jù)幾何體的對稱特征,確定球心的位置,利用球的截面性質(zhì)列出方程組求解.但兩種解法對比,可體現(xiàn)上述解法的簡便快捷.特別是準(zhǔn)確熟悉正四面體與正方體之間的聯(lián)系,可快速解決正四面體的外接球問題,比如下面的例題.

        3.正棱錐(底面為正三角形,頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心)

        圖9

        例5(2014年大綱文第10題、理第8題)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為( ).

        圖10

        上述例題的求解過程,還是利用球體的截面性質(zhì).前述例3(2019年全國Ⅰ理第10題)亦可利用上述方法求解.

        4.有兩個(gè)面垂直的棱錐

        如圖11,已知球O1、O2的兩個(gè)截面圓所在平面垂直,則四邊形OO1HO2為矩形,且△OAO1,△OBO2均為Rt△,AO=BO=R.利用勾股定理結(jié)合已知條件列出方程組,即可求解.

        圖11 圖12

        設(shè)△BCD,△ACD的外接圓圓心分別為E、H,四面體A-BCD的外接球球心為O,則OE⊥平面BCD,OH⊥平面ACD,OEFH為矩形,∴OE=HF,OH=EF.

        連接AO、BO,并設(shè)外接球半徑為R,OE=HF=x,則分別在Rt△BOE,Rt△AOH中可得:

        上述例題的求解過程,還是利用球的截面性質(zhì)(過截面圓圓心且與截面垂直的直線一定過球心),通過兩個(gè)截面來確定球心的位置,再利用勾股定理求解.

        其實(shí),一般情況下,并要求兩個(gè)截面圓所在平面垂直.如下例:

        例7(2020年廣州市一模文 第12題)在三棱錐A-BCD中,△ABD和△CBD均為邊長為2的等邊三角形,且二面角A-BD-C的平面角為120°,則此三棱錐的外接球的表面為( ).

        圖13

        以上內(nèi)容是對常見的棱柱、棱錐的幾類外接球問題及其求解策略的歸納.因?yàn)轭}型可以靈活多變,問題的求解途徑多種多樣,以上肯定有闡述不全面不到位的地方,期盼讀者去補(bǔ)充完善.

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