武周虎, 王 瑜, 祝帥舉,2

(1.青島理工大學環(huán)境與市政工程學院，山東 青島 266033；2. 河南省城鄉(xiāng)規(guī)劃設(shè)計研究總院有限公司，河南 鄭州 450044)

水工隧洞的斷面形狀是影響其水流條件、過流能力、圍巖與支護結(jié)構(gòu)強度及施工設(shè)計的重要因素。有壓隧洞宜采用圓形斷面，無壓隧洞宜采用圓拱直墻式斷面，若地質(zhì)條件差，或洞軸線與巖層夾角偏小，宜選用圓形或馬蹄形斷面[1-2]。馬蹄形包括標準馬蹄形[3-4]、馬蹄形(Ⅰ型，Ⅱ型，Ⅲ型，特型)[5-7]、平底馬蹄形(Ⅰ型，Ⅱ型，特型)[7-9]；還有蛋形包括半橢圓與半圓的上下組合型[10]、四圓弧蛋形[11]和六圓弧蛋形(Ⅰ型，Ⅱ型)[12-13]等形式；再有二圓弧仰拱曲墻式大斷面水工隧洞[14]等形式。除圓形斷面外，其他隧洞斷面內(nèi)輪廓線都是由圓弧、橢圓弧和直線等多段線采用相交或相切形式組合而成。

在隧洞斷面設(shè)計中，圍巖介質(zhì)和初始地應(yīng)力場等邊界條件是客觀存在不能改變，若水平地應(yīng)力大于垂直地應(yīng)力，宜采用高度小而寬度大的斷面；若垂直地應(yīng)力大于水平地應(yīng)力，宜采用高度大而寬度小的斷面，可以調(diào)整隧洞斷面的幾何形狀、尺寸等參數(shù)，以改善圍巖的應(yīng)力分布及其穩(wěn)定性狀態(tài)[15-16]。雖然在這些隧洞斷面內(nèi)輪廓線的相交點處曲線連續(xù)，但一階導數(shù)不連續(xù)；在相切點處曲線連續(xù)、可導，但一階導數(shù)不光滑、二階導數(shù)不連續(xù)。在相交和相切點處都將發(fā)生曲線的曲率突變，且在斷面內(nèi)輪廓線相交點處易產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，出現(xiàn)內(nèi)力的極大值，受力條件變差[16]。這些隧洞斷面形式的組合方式多樣，內(nèi)輪廓線形式復雜，水力設(shè)計的分區(qū)與計算公式煩瑣，又各不相同，缺乏設(shè)計與建造的統(tǒng)一標準。因此，隧洞斷面形狀設(shè)計方案不是唯一的，而是有許多方案可供選擇，由此就產(chǎn)生了優(yōu)化問題[17]。

在無壓隧洞斷面設(shè)計中，當?shù)刭|(zhì)條件較好、山巖側(cè)壓力較小時，大多采用城門洞形；在其他情況下，采用什么樣的斷面形式常常存在多種選擇。特別是馬蹄形和蛋形斷面多達10余種形式，具體選擇由圓弧、橢圓弧和直線等幾段線組成，圓心取在哪里、半徑取多大、圓心角是多少、相交或相切點位置多高等，都要仔細分析、認真推算確定。無壓隧洞的水力設(shè)計還需要根據(jù)斷面曲線連接點位置，采用分區(qū)公式計算相應(yīng)的水力要素。在優(yōu)化調(diào)整無壓隧洞的斷面設(shè)計時，就需要重新進行斷面形狀與幾何設(shè)計，還有水力設(shè)計、結(jié)構(gòu)設(shè)計和襯砌施工設(shè)計等，其復雜性、煩瑣性、工作量大等不言而喻。

本文基于寬闊河流中心穩(wěn)定點源條件下保守物質(zhì)等濃度線方程，以隧洞斷面內(nèi)輪廓線的最大高度和最大寬度為二參數(shù)，定義一種新型Wu’s曲線——異形橢圓，給出異形橢圓的標準方程以及形狀分類，提出以異形橢圓作為無壓隧洞斷面內(nèi)輪廓線的統(tǒng)一水力要素和均勻流計算方法，該方法的斷面尺寸調(diào)整靈活，可為異形橢圓無壓隧洞斷面設(shè)計提供理論依據(jù)。

1 異形橢圓方程的由來及形狀分類

1.1 由來

(1)

式中：x為自排放口沿河流流向的縱向坐標；y為垂直于x軸的橫向坐標，坐標原點取在河流中心排放點；d為河流的平均水深；U為河流的平均流速；m為單位時間的保守物質(zhì)排放質(zhì)量；Ey為橫向擴散系數(shù)。

武周虎等[20]在保守物質(zhì)濃度c=ca=常數(shù)的條件下，通過對式(1)進行數(shù)學推演，給出了河流中心穩(wěn)定點源條件下等濃度線所包圍圖形的最大長度Ls、最大半寬度bs和相應(yīng)縱向坐標Lc分別為

(2)

在式(1)中取c(x,y)=ca，對根號下縱向坐標變量x除以Ls得到量綱一縱向坐標(x/Ls)，同時乘以式(2)最大長度Ls右邊的表達式；對橫向坐標變量y除以bs得到量綱一橫向坐標(y/bs)，同時乘以式(2)最大半寬度bs右邊的表達式，化簡得到等濃度線方程(Wu’s曲線)為[21-22]

(3)

在研究中發(fā)現(xiàn)，式(3)所表示的等濃度線近似于橢圓形狀，但只有單對稱軸，筆者稱其為“異形橢圓”。該曲線來源于保守物質(zhì)平面二維簡化對流擴散方程求解出來的濃度分布等值線，根據(jù)動量、熱量和質(zhì)量傳遞的相似性原理，可以推斷應(yīng)力與質(zhì)量擴散之間也存在相似性關(guān)系，因此，該曲線極具學術(shù)研究價值。

1.2 標準方程與特征尺度定義

在式(3)中，將對稱軸縱向坐標x改用對稱軸垂向坐標z表示，定義異形橢圓對稱軸垂向坐標z方向的最大高度為H=Ls，表示為隧洞斷面高度；非對稱軸橫向坐標y方向的最大寬度為W=2bs，表示為隧洞斷面寬度。則有異形橢圓標準方程為

(4)

其定義域為：0

圖1 異形橢圓斷面及其特征尺度示意圖

由圖1可以看出，異形橢圓像一個變形橢圓，最大寬度線將整體分為上、下兩部分，最大寬度線以上的高度占最大高度的0.632，接近黃金分割比例0.618，使圖形產(chǎn)生美感。據(jù)此，提出異形橢圓(即WU型二參數(shù)曲線)水工隧洞斷面的內(nèi)輪廓線形狀。

1.3 壓縮系數(shù)與形狀分類

異形橢圓的壓縮系數(shù)定義為非對稱軸方向的寬度(或半寬度)與對稱軸方向的高度(或半高度)之比，也就是異形橢圓的寬高比θ=W/H(θ>0)。圖2為不同壓縮系數(shù)時的異形橢圓形狀示意圖。

圖2 不同壓縮系數(shù)的異形橢圓形狀示意圖

由圖2可以看出，異形橢圓的形狀隨壓縮系數(shù)的增大是由高瘦逐漸變?yōu)閷捙?，所以壓縮系數(shù)可以反映異形橢圓的形狀特征。據(jù)此，我們對異形橢圓的形狀進行分類：當壓縮系數(shù)θ=1時，異形橢圓的寬度等于高度，稱為標準型；當0<θ<1時，異形橢圓的寬度小于高度，稱為H型(高瘦型)；當θ>1時，異形橢圓的寬度大于高度，稱為W型(寬胖型)。

2 異形橢圓斷面水力要素計算與特性分析

在隧洞內(nèi)任一水深h時，則有充滿度(即相對水深)α=h/H，由圖1所示的異形橢圓斷面的水力要素計算公式推導及有關(guān)特性曲線分析如下。

2.1 水面寬度

在式(4)中，令z=h，則有水面寬度B=2y，化簡得到：

(5)

由式(5)可以看出，異形橢圓斷面的水面寬度與斷面最大寬度成正比，其比例系數(shù)僅與充滿度有關(guān)，該比例系數(shù)的變化規(guī)律類似于圖1所示的斷面形狀。當α=1/e=0.368時，B/W的最大值為1.000；當α=0.500時，B/W=0.971；當α=0.750時，B/W=0.766。

2.2 過水斷面面積

將式(4)開平方，先導出y的顯函數(shù)表達式，在z∈[0,h]區(qū)間上求定積分，再按對稱圖形面積乘以2，則得到異形橢圓過水斷面面積A的積分表達式為

(6)

進行變量替換，令ζ=z/H，積分下限不變，積分上限變?yōu)棣?，則有：

(7)

(8)

式中：μ(α)為異形橢圓過水斷面的面積系數(shù)。

對充滿度α=1.0的滿管流情況，令η=ζ1.5，積分上限為1，代入式(8)直接求定積分得到異形橢圓的滿流過水斷面面積系數(shù)(即隧洞斷面面積系數(shù))為

(9)

(10)

該數(shù)值比橢圓的面積系數(shù)(π/4)大1.27%。

對充滿度α<1.0的不滿管流(無壓隧洞)情況，異形橢圓的過水斷面面積系數(shù)式(8)不存在直接積分值?？梢越柚谔菪畏ㄇ蠖ǚe分的公式計算過水斷面面積系數(shù)：

(11)

在式(11)中，將自變量ζ的積分區(qū)間[0，α]劃分為n=1/Δζ等分，每一等分的長度Δζ取1.0×10-4，一般就可以實現(xiàn)數(shù)值積分值與理論值的誤差絕對值小于1.0×10-5。若需進一步提高數(shù)值積分的精度，可以通過縮小等分長度或更換數(shù)值積分方法，如MATLAB求定積分的功能。在區(qū)間(0, 1)上給定一系列充滿度α值，可以由式(11)計算出一系列相應(yīng)的μ值，從而得到異形橢圓的過水斷面面積系數(shù)μ與充滿度α的變化曲線，見圖3。異形橢圓斷面無壓隧洞的凈空高度比(1-α)、凈空面積比(1-μ/μ1)一并繪制于圖3中。

圖3 異形橢圓的過水斷面面積系數(shù)和凈空比變化曲線

由圖3和計算數(shù)據(jù)可知，當α=0.5時，μ=0.442，則有異形橢圓的下半部分面積占隧洞斷面面積的55.6%，上半部分面積占隧洞斷面面積的44.4%；當α=0.273時，異形橢圓斷面的凈空高度比與凈空面積比相等(0.727)；當α>0.273時，在充滿度相同條件下，異形橢圓斷面的凈空高度比大于凈空面積比，有利于改善過流條件提高安全性。

按照水工隧洞設(shè)計規(guī)范[1-2]的規(guī)定，在低流速的無壓隧洞中，若通氣條件良好，在恒定流情況下，洞內(nèi)水面線以上的空間不宜小于隧洞斷面面積的15%。此時，異形橢圓斷面凈空面積比為0.15，相應(yīng)的凈空高度比為0.233，即對應(yīng)異形橢圓斷面無壓隧洞的設(shè)計充滿度不宜大于0.767。

2.3 濕周

對異形橢圓過水斷面輪廓曲線進行積分，在隧洞內(nèi)任一水深h時，則有異形橢圓的濕周χ為

(12)

式(4)兩邊對z求導，整理得到：

(13)

將式(13)代入式(12)，積分下限不變，積分上限變?yōu)閔/H=α，并注意到W/H=θ，則有異形橢圓的濕周公式變?yōu)?/p>

(14)

(15)

式中：T(θ,α)稱為異形橢圓的濕周系數(shù)，它是異形橢圓壓縮系數(shù)θ和過水斷面充滿度α的函數(shù)。類比數(shù)學上橢圓的周長定理，由式(14)定義異形橢圓的濕周定理：異形橢圓斷面濕周等于異形橢圓斷面濕周系數(shù)與異形橢圓半高度和半寬度之和的乘積。

下面分別針對標準型(θ=1.00)、H型(以θ=0.67為例)和W型(以θ=1.50為例)異形橢圓斷面，在區(qū)間[0, 1]上給定一系列α值，采用數(shù)值積分方法，依次對異形橢圓斷面濕周系數(shù)按照式(15)進行積分運算。據(jù)此，得到以θ為參變量的T隨α的變化曲線如圖4所示。

圖4 異形橢圓斷面濕周系數(shù)隨充滿度的變化曲線

由圖4和計算結(jié)果可知，θ<1(H型)與θ=1(標準型)的T隨α的變化曲線相比是先緩長后變?yōu)槎搁L，其交叉點以α=0.514為上界，隨θ的減小而減小；θ>1(W型)與θ=1(標準型)的T隨α的變化曲線相比是先陡長后變?yōu)榫忛L，其交叉點以α=0.514為下界，隨θ的增大而增大。

對α=1.0的滿管流情況，異形橢圓斷面的濕周系數(shù)就是其周長系數(shù)(又可稱為異形橢圓系數(shù))，由式(15)得到異形橢圓系數(shù)T1公式為

(16)

由式(16)可以看出，T1僅是θ的單變量函數(shù)。圖5為θ=0.5～2.0時T1的變化曲線。

圖5 異形橢圓系數(shù)隨壓縮系數(shù)的變化曲線

由圖5和計算結(jié)果可知，一個有趣的現(xiàn)象是異形橢圓系數(shù)的最小值(T1=3.191)出現(xiàn)在θ=1.05處，而非出現(xiàn)在θ=1處。

當θ<1.05時，T1隨θ單調(diào)下降；當θ>1.05時，T1隨θ單調(diào)上升。當θ=0.5～2.0時，T1隨θ變化關(guān)系的擬合曲線方程為

T1=0.088θ4-0.558θ3+1.350θ2-1.395θ+3.705

(17)

式(17)的相關(guān)系數(shù)為R2=0.999 6。

值得一提的是，當α=0.5時，不同壓縮系數(shù)異形橢圓斷面的濕周系數(shù)約占其異形橢圓系數(shù)的53.0%。

2.4 水力半徑

根據(jù)水力半徑的定義：過水斷面面積與濕周之比，由式(7)與式(14)相除，化簡整理得到異形橢圓的水力半徑R的計算公式為

(18)

其中相對水力半徑R′為

根據(jù)異形橢圓斷面面積系數(shù)μ(α)和濕周系數(shù)T(θ,α)的系列計算數(shù)據(jù)，由式(19)可得到以θ為參變量的異形橢圓斷面相對水力半徑隨充滿度的變化曲線，和以充滿度為參變量的相對水力半徑隨壓縮系數(shù)的變化曲線，見圖6。

圖6 異形橢圓斷面相對水力半徑變化關(guān)系

由圖6可知，在θ不變的情況下，R′隨α的變化曲線存在一個極大值點。

由圖6(b)還可以看出，在α=0.75時的R′與其極大值隨θ的變化曲線非常接近，最大相對差值僅為-0.2%。說明α=0.75(相應(yīng)的凈空面積比0.166>0.15，符合文獻[1-2]的規(guī)定)時的R′近似為最大值，這是一種比較理想的水力工況。

0.553θ+0.048

(20)

式(20)的R2= 0.999 7，適用于θ=0.5～2.0范圍。

3 異形橢圓斷面均勻流特性分析

根據(jù)水力學原理，均勻流的流速v與流量Q分別為

(21)

(22)

式中：C為謝才系數(shù)；i為比降；n為糙率。

為便于分析異形橢圓斷面均勻流的水力學特性，使其具有普遍意義，能適用于不同斷面尺寸、不同糙率的情況，采用量綱一來表示。若不滿管流的流速為v，滿管流的流速為v1，則流速比β為

(23)

若不滿管流的流量為Q，滿管流的流量為Q1，則流量比η為

(24)

在式(23)和式(24)中，不滿管流的面積系數(shù)由式(8)或式(11)確定；滿管流的面積系數(shù)(μ1為常數(shù))由式(10)確定；T(θ,α)由式(15)確定；T1由式(16)或式(17)確定。因此，流速比β和流量比η均為θ和α的函數(shù)。圖7為異形橢圓和圓形斷面均勻流流速比和流量比的特性曲線比較，表1為異形橢圓和圓形斷面均勻流流速比和流量比極大值點對應(yīng)的水力要素。

圖7 均勻流流速比和流量比的特性曲線比較

由圖7和表1可知，當α= 0.457和α= 0.812時，θ=1的標準型異形橢圓斷面均勻流的流速比和流量比分別等于滿管流的相應(yīng)值。θ<1(H型)與當α<0.681時，θ=1的標準型異形橢圓斷面均勻流的流速比大于圓形斷面的相應(yīng)值。當α>0.681時，標準型異形橢圓的流速比小于圓形斷面的相應(yīng)值；當α=0.780和α=0.813時，標準型異形橢圓和圓形斷面分別達到最大流速比β=1.124和β0=1.140。當α<0.849時， 標準型異形橢圓的流量比大于圓形斷面的相應(yīng)值，當α>0.849時，標準型異形橢圓的流量比小于圓形斷面的相應(yīng)值；當α=0.935和α=0.938時，標準型異形橢圓和圓形斷面分別達到最大流量比η=1.062和η0=1.076。

表1 均勻流流速比和流量比極大值點對應(yīng)的水力要素

θ=1(標準型)的異形橢圓斷面流速比和流量比隨充滿度的變化曲線相比，均是先陡長后變?yōu)榫忛L達到最大值再迅速減小到滿管流的相應(yīng)值；θ>1(W型)與θ=1(標準型)的異形橢圓斷面流速比和流量比隨充滿度的變化曲線相比，均是先緩長后變?yōu)槎搁L達到最大值再迅速減小到滿管流的相應(yīng)值。

按照水工隧洞設(shè)計規(guī)范[1-2]無壓隧洞斷面凈空面積不宜小于15%，其高度不應(yīng)小于400 mm的規(guī)定，對應(yīng)85%的過水斷面面積，經(jīng)計算異形橢圓和圓形斷面相應(yīng)的最大充滿度分別為0.767和0.793，前者的相對凈空高度較大，更容易滿足。由上述分析可以看出，在充滿度小于最大充滿度的條件下，標準型異形橢圓比圓形斷面具有更大的流速比和流量比，即在相同設(shè)計條件下標準型異形橢圓比圓形斷面過流量大。由圖7還可以看出，在相同設(shè)計條件下對壓縮系數(shù)0.67≤θ<1的H型和1<θ≤1.50的W型異形橢圓斷面同樣具有比圓形斷面過流量大的優(yōu)點。

對于具有結(jié)構(gòu)支撐的挖掘，壓縮系數(shù)θ一般取原位應(yīng)力比的平方根[24]；壓縮系數(shù)θ=1的標準型異形橢圓與圓形斷面的獨立變量個數(shù)相同。

4 實例分析

在引漢濟渭工程秦嶺黃三段無壓隧洞斷面設(shè)計中，Q=70.0 m3/s、i=1/2 500、n=0.014。羅濤等[25]經(jīng)對圓拱直墻形、圓形和標準馬蹄形斷面的綜合比選分析，推薦采用馬蹄形Ⅱ型(帶倒角)斷面：其頂拱內(nèi)緣半徑R1=3.38 m，圓心角180°；側(cè)拱內(nèi)緣半徑R2=10.14 m，圓心角11.41°；底拱內(nèi)緣半徑R2=10.14 m，圓心角22.82°；側(cè)拱拱腳處倒角半徑R3=1.50 m，圓心角67.18°。據(jù)此可知，該無壓隧洞內(nèi)輪廓線的最大寬度與最大高度都為6.76 m，總面積A1=38.43 m2，其斷面形狀及尺寸見圖8，相應(yīng)的設(shè)計水力要素特征值見表2。

表2 等效異形橢圓與馬蹄形Ⅱ型斷面水力要素特征值比較

圖8 等效異形橢圓與馬蹄形Ⅱ型斷面比較(單位：m)

根據(jù)羅濤等[25]在引漢濟渭大型深埋無壓隧洞斷面優(yōu)化設(shè)計中，給出的引漢濟渭工程黃三段無壓隧洞馬蹄形Ⅱ型斷面的設(shè)計資料，選用等面積標準型異形橢圓斷面進行水力學分析，并與馬蹄形Ⅱ型斷面進行比較分析。

在引漢濟渭工程黃三段無壓隧洞設(shè)計流量、比降和糙率不變的條件下，選用與黃三段馬蹄形Ⅱ型斷面相應(yīng)的等面積標準型異形橢圓斷面(以下稱為等效異形橢圓斷面)進行對比分析。即等效異形橢圓斷面與黃三段馬蹄形Ⅱ型斷面的總面積相等(A1=38.43 m2)，且壓縮系數(shù)θ=1。由異形橢圓的面積公式(7)和面積系數(shù)μ1反推計算得到等效異形橢圓斷面的最大寬度與最大高度都為6.95 m，其斷面形狀見圖8中虛線，zw=H/e=2.56 m處的點劃橫線表示最大寬度的位置高度。

下面要解決的問題是：已知Q、H、θ、n、i，求α。即求等效異形橢圓無壓隧洞斷面的水深h。首先，計算滿管流的流量Q1，由式(22)得到：

(25)

代入A1和R1的表達式化簡得到：

(26)

再代入相應(yīng)的數(shù)值，得到θ=1時等效異形橢圓無壓隧洞斷面滿管流的流量Q1S=79.16 m3/s。

其次，由式(24)得到相應(yīng)的設(shè)計流量比ηS=0.884，再由圖7查得相應(yīng)的充滿度αS=0.707，則有等效異形橢圓無壓隧洞斷面相應(yīng)的水深為hS=4.91 m。

最后，依次計算等效異形橢圓無壓隧洞斷面的過水斷面面積、濕周、水力半徑、流速、凈空面積比和凈空高度，具體數(shù)值見表2。

由表2可以看出，等效異形橢圓無壓隧洞斷面的過流能力能夠滿足《水工隧洞設(shè)計規(guī)范》[1-2]的規(guī)定，等效異形橢圓與羅濤等[25]推薦采用的馬蹄形Ⅱ型(帶倒角)無壓隧洞斷面的水力要素特征值非常接近，前者的凈空高度增加了8.5%，水力要素其他特征值的最大相對誤差絕對值只有2.8%。

5 結(jié) 論

a. 基于河流中心穩(wěn)定點源條件下保守物質(zhì)等濃度線方程，定義了一種新型Wu’s二參數(shù)曲線——異形橢圓，以隧洞斷面內(nèi)輪廓線的最大高度H和最大寬度W為二參數(shù)，給出了異形橢圓的標準方程。據(jù)此，提出的異形橢圓隧洞斷面是由一個獨立二參數(shù)方程表征的完整連續(xù)與導數(shù)光滑曲線。

b. 以隧洞斷面的寬高比(壓縮系數(shù)θ=W/H=1)為判據(jù)，給出了H型、標準型和W型異形橢圓的形狀分類；推導出了異形橢圓無壓隧洞斷面的水面寬度、過水斷面面積、濕周、水力半徑等水力要素的理論計算公式，其表達式均為統(tǒng)一連續(xù)函數(shù)，無須采用分區(qū)函數(shù)表述，斷面尺寸調(diào)整靈活，在無壓隧洞斷面設(shè)計中更具優(yōu)勢。

c. 當無壓隧洞斷面凈空面積比滿足大于15%的規(guī)定時，標準型異形橢圓的流量比大于圓形斷面的相應(yīng)值。即在相同設(shè)計條件下標準型異形橢圓比圓形斷面過流量大，前者的相對凈空高度也較大，有利于改善過流條件提高安全性。

d. 給出的異形橢圓斷面不滿管流與滿管流時流速比和流量比的理論計算公式及曲線圖，適用于不同規(guī)格的斷面尺寸、壓縮系數(shù)、糙率和比降，計算簡單快捷、方便實用，為該斷面的水力設(shè)計提供了理論依據(jù)。

e. 實例分析表明，等效異形橢圓與馬蹄形Ⅱ型(帶倒角)無壓隧洞斷面的水力要素特征值非常接近，前者的凈空高度增加了8.5%。因此，異形橢圓斷面可作為一種新型的輸水隧洞斷面形式，極具學術(shù)研究和應(yīng)用價值。