毛小龍，劉月田，關(guān)文龍，劉思平，李 駿

(1.中國(guó)石油大學(xué)(北京) 石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249；2.中國(guó)石油勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京 100083)

引 言

不同于連續(xù)固體介質(zhì)材料，巖石因內(nèi)部孔隙的存在有3個(gè)體積：表觀體積Vb、基質(zhì)顆粒體積Vs和孔隙體積Vp。飽和流體巖石的應(yīng)力應(yīng)變同時(shí)受孔隙流體壓力p和外部總應(yīng)力σ兩個(gè)作用力影響，基于巖土工程、油藏工程、地下水工程、地球物理等不同領(lǐng)域的基礎(chǔ)研究需求，巖石在等溫條件下至少有恒流壓下的表觀壓縮系數(shù)Cbσ、基質(zhì)壓縮系數(shù)Csσ、孔隙壓縮系數(shù)Cpσ和恒總應(yīng)力下的表觀壓縮系數(shù)Cbp、基質(zhì)壓縮系數(shù)Csp、孔隙壓縮系數(shù)Cpp6個(gè)壓縮系數(shù)。然而傳統(tǒng)的壓縮系數(shù)研究多基于適用于土力學(xué)的Terzaghi[1-2]有效應(yīng)力原理，在測(cè)試、計(jì)算、使用巖石各壓縮系數(shù)中常將各壓縮系數(shù)之間的關(guān)系混淆，在研究巖石各壓縮系數(shù)變化規(guī)律和相互關(guān)系中也常出現(xiàn)相互矛盾的認(rèn)識(shí)，例如：李傳亮[3-6]、王歷強(qiáng)[7]等學(xué)者認(rèn)為巖石孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度正相關(guān)，與基質(zhì)顆粒壓縮系數(shù)關(guān)系密切；張津?qū)嶽8]、高有瑞[9]、羅瑞蘭[10]等學(xué)者則認(rèn)為巖石孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度負(fù)相關(guān)，與巖石表觀壓縮系數(shù)關(guān)系更為密切。因此，理清巖石的多個(gè)壓縮系數(shù)，得到巖石各壓縮系數(shù)之間的關(guān)系式和一組可定量計(jì)算巖石各壓縮系數(shù)的計(jì)算式是十分必要的。本文基于廣泛適用于巖石、混泥土、土體的Skempton[11]有效應(yīng)力原理，對(duì)巖石在恒流壓、恒總應(yīng)力、封閉條件下的表觀壓縮系數(shù)、孔隙壓縮系數(shù)和基質(zhì)顆粒壓縮系數(shù)進(jìn)行了系統(tǒng)研究，推導(dǎo)了巖石各壓縮系數(shù)在3種不同應(yīng)力條件下的關(guān)系式，得到一組巖石各壓縮系數(shù)的定量計(jì)算式，并進(jìn)行了實(shí)例論證。

1 兩個(gè)有效應(yīng)力原理下的巖石壓縮系數(shù)分析

基于巖土工程、油藏工程、地下水工程、地球物理等不同領(lǐng)域的基礎(chǔ)研究需求，巖石恒流壓下的表觀壓縮系數(shù)Cbσ、基質(zhì)壓縮系數(shù)Csσ、孔隙壓縮系數(shù)Cpσ和恒總應(yīng)力下的表觀壓縮系數(shù)Cbp、基質(zhì)壓縮系數(shù)Csp、孔隙壓縮系數(shù)Cpp定義為

(1)

式中：Vi中i取b、s、p，即為Vb表觀體積、Vs基質(zhì)顆粒體積和Vp孔隙體積，m3；σj中j取1、2，即σj分別為總應(yīng)力σ、流壓p,MPa；Cij為壓縮系數(shù)，MPa-1，為保證數(shù)值為正，(-1)j在總應(yīng)力σ取1，在流壓p下取2。

各學(xué)科還定義了一些其他壓縮系數(shù)：油藏工程中，定義了單位巖石體積中孔隙體積隨流體壓力的變化率Cf和綜合壓縮系數(shù)Ct(油藏流體壓力每降低1 MPa，由于油藏的巖石孔隙體積縮小、儲(chǔ)存的流體因膨脹而從單位體積巖石孔隙中排出的流體總體積)

(2)

Ct=Cf+φCl。

(3)

式中：Cl為孔隙飽和流體壓縮系數(shù)，MPa-1；φ為孔隙度，%。

地球物理探測(cè)中，定義了在干燥孔隙開(kāi)放或恒孔隙流壓下巖石表觀壓縮系數(shù)Cdry和在封閉不排水條件下巖石表觀壓縮系數(shù)Csat。巖土工程中，定義了巖土2個(gè)最常用的壓縮系數(shù)：基質(zhì)顆粒壓縮系數(shù)Cs和恒流壓表觀壓縮系數(shù)C。這些壓縮系數(shù)都是巖石在不同領(lǐng)域研究的基礎(chǔ)物性參數(shù)，具有舉足輕重的意義。而傳統(tǒng)的巖石壓縮系數(shù)研究多基于Terzaghi有效應(yīng)力原理，例如秦積舜、李?lèi)?ài)芬主編的教材《油層物理學(xué)》[12]定義巖石的幾個(gè)壓縮系數(shù)時(shí)采用了Terzaghi有效應(yīng)力，Terzaghi有效應(yīng)力原理表達(dá)式為

σeff=σ-p。

(4)

基于Terzaghi有效應(yīng)力原理，巖石的各壓縮系數(shù)關(guān)系有

(5)

(6)

Csσ=Csp=Cs=0。

(7)

假設(shè)基質(zhì)顆粒不可壓縮，孔隙體積變化等于巖石表觀體積變化，則

(8)

(9)

Ct=Cf+φCl=φ(Cpp+Cl)。

(10)

然而，與松散土體不同，儲(chǔ)層巖石是固結(jié)的，巖石的應(yīng)力應(yīng)變不僅有顆粒間滑動(dòng)變形還有顆粒的體積變形。適用于巖石、混泥土、土體體積應(yīng)變的Skempton有效應(yīng)力原理同時(shí)考慮了顆粒體積變形和顆粒間滑動(dòng)變形。Skempton有效應(yīng)力下的巖石表觀體積應(yīng)力應(yīng)變計(jì)算式為

(11)

(12)

這與Biot[13]、Gassmann[14]、Geertsma[15]、Bishop[16]等學(xué)者基于不同角度研究得到的認(rèn)識(shí)一致，充分論證了其對(duì)于巖石應(yīng)力應(yīng)變的適用性?；赟kempton原理分析巖石的各壓縮系數(shù)有：

1)恒流壓Δp=0，巖石的應(yīng)變變化量

Δεb=-CΔσ，

(13)

對(duì)應(yīng)的壓縮系數(shù)

(14)

2)恒總應(yīng)力Δσ=0，巖石的應(yīng)變變化量

Δεb=(C-Cs)Δp，

(15)

(16)

式(16)表明，恒總應(yīng)力下的巖石表觀壓縮系數(shù)為恒流壓下的巖石表觀壓縮系數(shù)與基質(zhì)顆粒壓縮系數(shù)之差。

3)巖石在封閉不排水條件下，總應(yīng)力變化Δσ，根據(jù)Bishop[16]對(duì)應(yīng)孔隙流壓變化

(17)

代入Skempton方程得到應(yīng)變變化量

(18)

對(duì)應(yīng)的壓縮系數(shù)

(19)

在地球物探學(xué)中，表達(dá)巖石的干燥骨架、固體基質(zhì)和孔隙流體的體積模量Gassmann方程[14]為

(20)

壓縮系數(shù)為體積彈性模量的倒數(shù)，用壓縮系數(shù)形式代入方程(20)整理得

(21)

結(jié)合不同學(xué)科壓縮系數(shù)的定義，恒流壓下的巖石表觀壓縮系數(shù)含義一致，

Cdry=Cbσ=C。

(22)

結(jié)合式(22)，對(duì)比式(19)和式(21)，Skempton方程推導(dǎo)的封閉條件下的巖石表觀壓縮系數(shù)關(guān)系式(19)與Gassmann方程壓縮系數(shù)表達(dá)式(21)一致?；赟kempton有效應(yīng)力原理很好地理清巖石3種不同應(yīng)力下的表觀壓縮系數(shù)的關(guān)系，而油藏工程、地下水工程中在不同應(yīng)力變化條件下的巖石孔隙體積應(yīng)變及孔隙壓縮系數(shù)則需要進(jìn)一步推導(dǎo)得到。

2 不同應(yīng)力條件下的孔隙壓縮系數(shù)關(guān)系式

采用Skempton有效應(yīng)力方程計(jì)算巖石在不同應(yīng)力條件下的表觀體積變化ΔVb，減去對(duì)應(yīng)應(yīng)力條件的顆粒體積變化ΔVs，得到此時(shí)孔隙體積變化ΔVp，從而得到不同應(yīng)力條件下的孔隙壓縮系數(shù)。

2.1 恒流壓孔隙壓縮系數(shù)關(guān)系式

在恒流壓變總應(yīng)力條件下，根據(jù)Skempton有效應(yīng)力，巖石表觀體積變化

ΔVb=-CVbΔσ。

(23)

以穿過(guò)基質(zhì)顆粒的受力面進(jìn)行受力分析可知，基質(zhì)顆粒平均作用力滿(mǎn)足

σA=σs(1-φ)A+pφA，

(24)

(25)

恒流壓變總應(yīng)力條件下，作用在巖石基質(zhì)顆粒的平均作用力變化

(26)

巖石基質(zhì)顆粒體積變化

(27)

需要說(shuō)明的是，巖石基質(zhì)顆粒真實(shí)平均作用力σs變化下的壓縮系數(shù)仍然為礦物顆粒壓縮系數(shù)Cs，而以總應(yīng)力為變量的巖石顆粒視壓縮系數(shù)Csσ則為

(28)

巖石孔隙體積變化

ΔVp=ΔVb-ΔVs=-(C-Cs)VbΔσ=

(29)

恒流壓變總應(yīng)力下的巖石孔隙壓縮系數(shù)

(30)

這一關(guān)系式與部分學(xué)者在油藏工程得到的常見(jiàn)巖石孔隙壓縮系數(shù)關(guān)系式相同，然而本式只適用于恒流壓變總應(yīng)力條件，油藏工程、地下水開(kāi)采通常是在恒總應(yīng)力變流壓條件下進(jìn)行，本式并不適用，需要進(jìn)一步推導(dǎo)。

2.2 恒總應(yīng)力孔隙壓縮系數(shù)新關(guān)系式

恒總應(yīng)力Δσ=0，根據(jù)Skempton有效應(yīng)力，巖石表觀體積變化

ΔVb=(C-Cs)VbΔp；

(31)

恒總應(yīng)力Δσ=0，基質(zhì)顆粒體積應(yīng)變的基質(zhì)顆粒應(yīng)力變化

(32)

對(duì)應(yīng)的顆粒體積變化

CsφVbΔp。

(33)

巖石基質(zhì)顆粒體積真實(shí)平均作用力σs變化下的壓縮系數(shù)仍然為礦物顆粒壓縮系數(shù)Cs，所以，流壓變量的巖石顆粒視壓縮系數(shù)

(34)

孔隙體積變化則為

ΔVp=ΔVb-ΔVs=[C-(1+φ)]VbΔp，

(35)

從而得到恒總應(yīng)力變流壓下孔隙壓縮系數(shù)新關(guān)系式

(36)

根據(jù)表1和式(36)，孔隙度取0.02～0.35時(shí)，礦物顆粒壓縮系數(shù)常在10-5MPa-1數(shù)量級(jí)，巖石表觀壓縮系數(shù)在10-5～10-4MPa-1數(shù)量級(jí)，計(jì)算得到孔隙壓縮系數(shù)常在10-4～10-3MPa-1，與文獻(xiàn)[8-10]測(cè)試結(jié)果一致。恒總應(yīng)力下，巖石孔隙壓縮系數(shù)常遠(yuǎn)大于巖石表觀壓縮系數(shù)，巖石表觀壓縮又大于基質(zhì)顆粒壓縮系數(shù)。

表1 常見(jiàn)礦物顆粒和巖土的壓縮系數(shù)[11]Tab.1 Compression coefficient of common mineral particles and rock-soil[11]

根據(jù)式(36)和式(30)可知

(37)

這與巖石表觀體積壓縮的關(guān)系式一致，恒總應(yīng)力孔隙壓縮系數(shù)為恒流壓孔隙壓縮系數(shù)與基質(zhì)顆粒壓縮系數(shù)之差。

2.3 封閉條件下的孔隙壓縮系數(shù)關(guān)系式

封閉不排水條件下，單位總應(yīng)力變化量引起的巖石表觀體積變化量

(38)

對(duì)應(yīng)的巖石基質(zhì)顆粒體積變化量

(39)

封閉條件下，單位總應(yīng)力變化下的巖石顆粒視壓縮系數(shù)

(40)

封閉不排水條件下，單位總應(yīng)力變化量引起的巖石孔隙體積變化量

(41)

(42)

對(duì)應(yīng)的封閉條件下，單位總應(yīng)力變化對(duì)應(yīng)的孔隙壓縮系數(shù)

(43)

封閉條件下，單位孔隙壓力變化對(duì)應(yīng)的孔隙壓縮系數(shù)

(44)

這組關(guān)系式正好論證了在封閉條件下以孔隙壓力為變量的孔隙壓縮系數(shù)與孔隙流體壓縮系數(shù)相等的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)?；赟kempton有效應(yīng)力原理的壓縮系數(shù)關(guān)系式反應(yīng)了巖石的應(yīng)力應(yīng)變機(jī)制，所得不同應(yīng)力條件下的各壓縮系數(shù)關(guān)系式可從不同角度得到論證。

3 儲(chǔ)層巖石各壓縮系數(shù)計(jì)算式

各學(xué)科在沒(méi)有特殊說(shuō)明的情況下，巖石表觀壓縮系數(shù)常指恒流壓下的表觀壓縮系數(shù)C，基質(zhì)顆粒壓縮系數(shù)常指礦物顆粒壓縮系數(shù)Cs，孔隙壓縮系數(shù)Cp常指恒總應(yīng)力孔隙壓縮系數(shù)Cpp。從上面的關(guān)系式可知，不同應(yīng)力條件下巖石的各壓縮系數(shù)均可由Cs、C、Cl來(lái)表示，意味著巖石在不同應(yīng)力條件下的各壓縮系數(shù)均可以Cs、C、Cl為基礎(chǔ)計(jì)算得到，基于Skempton有效應(yīng)力，不同應(yīng)力條件下巖石各壓縮系數(shù)計(jì)算式總結(jié)如下：

1)巖石表觀壓縮系數(shù)在恒流壓、恒總應(yīng)力、封閉條件下的計(jì)算式分別為：

Cbσ=Cdry=C，

(45)

Cbp=Cbσ-Cs=C-Cs，

(46)

(47)

2)巖石孔隙壓縮系數(shù)在恒流壓、恒總應(yīng)力、封閉條件下的計(jì)算式分別為：

(48)

(49)

(50)

3)巖石顆粒壓縮系數(shù)恒流壓、恒總應(yīng)力、封閉條件下的真實(shí)壓縮系數(shù)均為Cs，恒流壓、恒總應(yīng)力、封閉條件下視壓縮系數(shù)計(jì)算式分別為：

(51)

(52)

(53)

4)油藏工程生產(chǎn)中常用的2個(gè)壓縮系數(shù)計(jì)算式則為：

Cf=φCpp=Cbp-φCs=C-(1+φ)Cs，

(54)

Ct=Cf+φCl=C-(1+φ)Cs+φCl。

(55)

4 應(yīng)用舉例

中石油勘探開(kāi)發(fā)研究院從美國(guó)西弗吉尼亞州購(gòu)得一批石油行業(yè)最好的油層物理測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)巖心Berea砂巖，用于砂巖壓縮系數(shù)、驅(qū)替過(guò)程中潤(rùn)濕性變化等油層物理基礎(chǔ)研究。選用其中一塊與文獻(xiàn)[16]巖心相近的孔隙度為0.16的硅質(zhì)細(xì)砂巖，實(shí)驗(yàn)室嚴(yán)格按照石油與天然氣行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)得巖石物理基礎(chǔ)物性參數(shù)，其中巖石壓縮系數(shù)采用三軸向巖石壓縮系數(shù)高精度測(cè)試儀按照SY-T5815-1993標(biāo)準(zhǔn)測(cè)得，壓力表精度0.1%，實(shí)驗(yàn)誤差小于5%。實(shí)驗(yàn)室測(cè)得的壓縮系數(shù)結(jié)果為：恒流壓下的表觀體積壓縮系數(shù)1.2×10-4MPa-1，基質(zhì)平均壓縮系數(shù)2.6×10-5MPa-1，恒總應(yīng)力下的表觀體積壓縮系數(shù)為9.5×10-5MPa-1、孔隙壓縮系數(shù)為5.7×10-5MPa-1。實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與文獻(xiàn)[16]中孔隙度為0.15巖心測(cè)試的恒流壓下表觀壓縮系數(shù)1.05×10-4MPa-1、基質(zhì)平均壓縮系數(shù)2.7×10-5MPa-1結(jié)果相符合。

而采用本文中以Cs、C、Cl為基礎(chǔ)的新計(jì)算式，水的壓縮系數(shù)取常用標(biāo)準(zhǔn)4.8×10-4MPa-1，可直接計(jì)算恒總應(yīng)力表觀壓縮系數(shù)

Cbp=C-Cs=(12-2.6)×10-5MPa-1=

9.4×10-5MPa-1，

(56)

孔隙壓縮系數(shù)

(57)

這2個(gè)巖石系數(shù)的計(jì)算結(jié)果都與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果非常接近，驗(yàn)證了計(jì)算式的準(zhǔn)確性。此外，還可以利用這組計(jì)算式非常方便地計(jì)算其他應(yīng)力條件下沒(méi)有測(cè)試或者不太方便測(cè)試的壓縮系數(shù)，可節(jié)約大量人力物力。將其他應(yīng)力條件下的巖石各壓縮系數(shù)代入對(duì)應(yīng)的計(jì)算式得到計(jì)算結(jié)果分別為：Csat=6.7×10-5MPa-1，Cpσ=5.88×10-4MPa-1，Cpsatσ=2.71×10-4MPa-1，Csσ=3.10×10-5MPa-1，Csp=4.95×10-6MPa-1，Cssatσ=2.82×10-5MPa-1，Cf=8.98×10-5MPa-1，Ct=1.67×10-4MPa-1。計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[15-16]認(rèn)識(shí)一致，巖石在不同應(yīng)力條件下定義的不同壓縮系數(shù)，數(shù)量級(jí)從10-6～10-4MPa-1，差距可達(dá)2個(gè)數(shù)量級(jí)；在文獻(xiàn)[10]低孔儲(chǔ)層中，Cpp可達(dá)10-3MPa-1，差距可達(dá)3個(gè)數(shù)量級(jí)，不能混淆使用。

5 結(jié) 論

(1)Terzaghi有效應(yīng)力原理不適用于巖石壓縮系數(shù)研究，基于Skempton有效應(yīng)力原理得到的巖石壓縮系數(shù)在3種應(yīng)力條件下的關(guān)系式準(zhǔn)確厘清了不同學(xué)科巖石各壓縮系數(shù)的相互關(guān)系。

(2)恒總應(yīng)力下的巖石表觀壓縮系數(shù)、孔隙壓縮系數(shù)分別為恒流壓下對(duì)應(yīng)的壓縮系數(shù)與顆粒壓縮系數(shù)之差，封閉條件下的巖石壓縮系數(shù)關(guān)系式與Gassmann方程認(rèn)識(shí)一致。

(3)在相同應(yīng)力條件下巖石的孔隙壓縮系數(shù)遠(yuǎn)大于表觀壓縮系數(shù)，表觀壓縮系數(shù)又大于顆粒壓縮系數(shù)，不同巖石壓縮系數(shù)之間差距可達(dá)2～3個(gè)數(shù)量級(jí)。

(4)以Cs、C、Cl為基礎(chǔ)的一組巖石壓縮系數(shù)新計(jì)算式反應(yīng)了巖石應(yīng)力應(yīng)變機(jī)制，適用性好，計(jì)算簡(jiǎn)便，可在巖土工程、油藏工程、地下水工程和地球物探等學(xué)科廣泛應(yīng)用。