李傳亮，朱蘇陽

（西南石油大學(xué)石油與天然氣工程學(xué)院，成都610599）

討論與爭鳴

巖石的外觀體積和流固兩相壓縮系數(shù)

李傳亮，朱蘇陽

（西南石油大學(xué)石油與天然氣工程學(xué)院，成都610599）

巖石有3個體積和3個應(yīng)力，因此巖石有多個壓縮系數(shù)。油藏工程主要研究了孔隙壓縮系數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用問題，對其他的壓縮系數(shù)研究甚少。對外觀體積和流固兩相的壓縮系數(shù)進(jìn)行了研究，并分別推導(dǎo)出了它們的計(jì)算公式。巖石外觀體積對孔隙壓力的壓縮系數(shù)與孔隙壓縮系數(shù)相同。巖石外觀體積對外壓的壓縮系數(shù)是孔隙度和骨架壓縮系數(shù)的函數(shù)。巖石流固兩相壓縮系數(shù)為流體壓縮系數(shù)和骨架壓縮系數(shù)的加權(quán)調(diào)和平均值或加權(quán)倒數(shù)算術(shù)平均值，孔隙度為權(quán)值。

巖石；孔隙體積；孔隙度；壓縮系數(shù)；外觀體積；孔隙壓力

0　引言

巖石不同于普通固體，巖石內(nèi)部有孔隙，而普通固體則沒有孔隙［1］。孔隙是巖石儲存流體的地方，巖石受壓后將被壓縮，壓縮系數(shù)是巖石彈性能量大小的標(biāo)志［2］。

巖石有多個壓縮系數(shù)，油藏工程只使用孔隙壓縮系數(shù)［3-6］，其他壓縮系數(shù)都不使用。因此，關(guān)于巖石壓縮系數(shù)的研究，也一直都是針對孔隙壓縮系數(shù)而展開的［7-10］。

其他領(lǐng)域也使用巖石的壓縮系數(shù)，主要是使用巖石外觀體積的壓縮系數(shù)。外觀體積的壓縮系數(shù)一般通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行測量，目前還沒有理論計(jì)算公式。

若巖石與飽和于其中的流體一起被壓縮，則需要確定流固兩相壓縮系數(shù)及其與流體壓縮系數(shù)和固體壓縮系數(shù)的關(guān)系，但目前還沒有關(guān)于這方面的報(bào)道。

筆者的目的就是要解決巖石外觀體積壓縮系數(shù)和巖石流固兩相壓縮系數(shù)的計(jì)算問題。

1壓縮系數(shù)定義

巖石有3個體積：骨架體積、孔隙體積和外觀體積（圖1）。這3個體積滿足下面的關(guān)系式：

式中：Vs為骨架體積，m3；Vp為孔隙體積，m3；Vb為外觀體積，m3。

圖1巖石體積構(gòu)成圖Fig.1 Volumes in rocks

巖石有3個應(yīng)力：骨架應(yīng)力、內(nèi)應(yīng)力（孔隙壓力、內(nèi)壓）和外應(yīng)力（外壓）（圖2）。這3個應(yīng)力滿足下面的關(guān)系式［11-12］：

式中：σ為外應(yīng)力，MPa；p為孔隙壓力，MPa；σs為骨架應(yīng)力，MPa；φ為巖石孔隙度，無因次。

圖2巖石應(yīng)力構(gòu)成圖Fig.2 Stresses in rocks

當(dāng)巖石任一應(yīng)力發(fā)生變化時，巖石的3個體積都將發(fā)生變化，因此，巖石有9個壓縮系數(shù)［1］，即式中：i代表體積，i取b，s，p時分別表示外觀體積、骨架體積和孔隙體積；j代表應(yīng)力，j取b，s，p時分別表示外應(yīng)力、骨架應(yīng)力和內(nèi)應(yīng)力。當(dāng)j取b，s時，n= 1；當(dāng)j取p時，n=2。如cpb表示孔隙體積對外應(yīng)力的壓縮系數(shù)，cpp表示孔隙體積對孔隙壓力的壓縮系數(shù)。當(dāng)這2下標(biāo)相同時就簡化成1個下標(biāo)，如cpp寫成cp。

由于式（1）和式（2）的約束關(guān)系，3個體積和3個應(yīng)力中都只有2個是獨(dú)立的，因此，9個壓縮系數(shù)中只有4個是獨(dú)立的。

2骨架和孔隙壓縮系數(shù)

骨架顆粒是巖石中的固體成分。與流體相同，固體骨架的壓縮系數(shù)可以定義為

式中：cs為固體骨架的壓縮系數(shù)，MPa-1。

根據(jù)固體力學(xué)理論，在彈性變形條件下固體骨架的壓縮系數(shù)可用下式計(jì)算，即

式中：ν為固體骨架的泊松比，無因次；Es為固體骨架的彈性模量，MPa。

彈性模量的大小反映了固體骨架的硬度，彈性模量越大，骨架就越硬，其壓縮系數(shù)也就越小。固體骨架的壓縮系數(shù)不需要按式（4）進(jìn)行計(jì)算或?qū)嶋H測量，只需要在測量巖石的力學(xué)參數(shù)之后按式（5）進(jìn)行計(jì)算即可。一般情況下，實(shí)驗(yàn)室不會測量骨架的力學(xué)參數(shù)，而是測量整個巖石的力學(xué)參數(shù)，然后通過下式進(jìn)行轉(zhuǎn)換［13］：

式中：E為巖石的彈性模量，MPa。

油藏工程關(guān)心的是，在外應(yīng)力為常數(shù)的情況下巖石孔隙體積隨孔隙壓力的變化情況，即孔隙體積的壓縮系數(shù)：

由式（7）定義的孔隙壓縮系數(shù)也不需要進(jìn)行實(shí)際測量，而只需按下式進(jìn)行計(jì)算即可［13-15］：

由式（8）可看出，孔隙壓縮系數(shù)是孔隙度和骨架壓縮系數(shù)的反映。對于骨架彈性模量為10 000MPa的巖石，其孔隙壓縮系數(shù)隨孔隙度的變化曲線如圖3所示。

圖3孔隙壓縮系數(shù)曲線Fig.3 Pore com pressibility versus porosity

3外觀體積壓縮系數(shù)

巖石外觀體積的壓縮系數(shù)可以分別定義為：①在恒定外壓的情況下，單位孔隙壓力的外觀體積變化率；②在恒定內(nèi)壓的情況下，單位外壓的外觀體積變化率。因此，外觀體積有2個壓縮系數(shù)。

外觀體積對內(nèi)壓的壓縮系數(shù)為

式中：cbp為外觀體積對孔隙壓力的壓縮系數(shù)，MPa-1。

外觀體積對外壓的壓縮系數(shù)為

式中：cb為外觀體積對外應(yīng)力的壓縮系數(shù)，MPa-1。

3.1恒定外壓

在恒定外壓情況下，巖石因內(nèi)壓降低而被壓縮，當(dāng)內(nèi)壓由p1降到p2，骨架應(yīng)力將由σs1升到σs2（圖4）。巖石的壓縮皆因骨架的壓縮所致。若骨架沒有變化，則巖石的外觀體積也不會變化。在本體變形的情況下，巖石的外觀體積隨骨架體積一起壓縮，巖石的孔隙度并不會發(fā)生變化［16-17］。因此，式（9）可以寫為

圖4外觀體積隨內(nèi)壓壓縮圖Fig.4 Compression ofbulk volumew ith pore pressure

根據(jù)式（2）可得

將式（12）代入式（11）可得

再結(jié)合式（4），可得出外觀體積對孔隙壓力的壓縮系數(shù)計(jì)算公式，即

由式（14）和式（8）可以看出，巖石外觀體積對孔隙壓力的壓縮系數(shù)與孔隙壓縮系數(shù)完全相同。

3.2恒定內(nèi)壓

在恒定內(nèi)壓情況下，巖石因外壓升高而被壓縮，同時排出其中的流體，當(dāng)外壓由σ1升到σ2，骨架應(yīng)力將由σs1升到σs2（圖5）。在本體變形的情況下，巖石外觀體積隨骨架體積一起壓縮。因此，式（10）可以寫為

圖5外觀體積隨外壓壓縮圖Fig.5 Compression ofbulk volumew ith outer pressure

根據(jù)式（2）可得

將式（16）代入式（15）可得

再結(jié)合式（4），可得出外觀體積對外應(yīng)力的壓縮系數(shù)計(jì)算公式，即

由式（18）可以看出，巖石外觀體積的壓縮系數(shù)是孔隙度和骨架壓縮系數(shù)的反映，孔隙度越大，外觀體積的壓縮系數(shù)就越大，即巖石越容易被壓縮。當(dāng)φ趨于0時，則巖石接近于普通固體，cb趨于cs。外觀體積對外壓的壓縮系數(shù)曲線如圖6所示。

圖6外觀體積對外壓的壓縮系數(shù)曲線Fig.6 Compressibility curve ofbulk volume to outer pressure versus porosity

4　流固兩相壓縮系數(shù)

不論是孔隙壓縮系數(shù)、骨架壓縮系數(shù)，還是外觀體積壓縮系數(shù)，都是單相壓縮系數(shù)。當(dāng)孔隙流體和巖石骨架作為一個整體進(jìn)行壓縮時，在流體無法排出的情況下，就是流固兩相的壓縮問題。流固兩相壓縮系數(shù)除了與孔隙度有關(guān)外，還與流體和骨架的壓縮系數(shù)有關(guān)。當(dāng)外壓由σ1升到σ2，骨架應(yīng)力將從σs1升到σs2，孔隙壓力將從p1升到p2（圖7）。流固兩相的壓縮系數(shù)定義為

式中：cbt為流固兩相壓縮系數(shù)，MPa-1；Vbt為流固兩相的外觀體積，m3。

圖7　巖石流固兩相壓縮圖Fig.7 Two phase com pression of fluid-solid of rocks

流固兩相的外觀體積其實(shí)就是巖石的外觀體積，即Vbt=Vb。在本體變形的情況下，巖石外觀體積隨骨架體積一起壓縮。因此，式（19）可以寫為

將式（20）改寫為

再結(jié)合式（4），式（21）可以寫為

由于巖石壓縮過程中流體無法排出，因此，孔隙體積的減少量等于流體體積的壓縮量，則有

式中：cf為流體壓縮系數(shù)，MPa-1。

對式（2）兩側(cè)求導(dǎo)數(shù)，即

將式（23）代入式（24）可得

將式（25）代入式（22），可得流固兩相壓縮系數(shù)，即

式（26）也可以寫為

式（27）就是巖石流固兩相壓縮系數(shù)與流體和骨架壓縮系數(shù)的關(guān)系方程。由式（27）可以看出，流固兩相的壓縮系數(shù)為流體壓縮系數(shù)和骨架壓縮系數(shù)的加權(quán)調(diào)和平均值或加權(quán)倒數(shù)算術(shù)平均值，孔隙度為權(quán)值。當(dāng)φ趨于0時，巖石接近于普通固體，cbt趨于cs；當(dāng)φ趨于1時，巖石接近于流體，cbt趨于cf。式（27）將流體、固體和多孔介質(zhì)巖石統(tǒng)一起來。流體可以是水，也可以是油或氣。彈性模量為10 000MPa的固體骨架壓縮系數(shù)為1.2×10-4MPa-1，若流體為油，壓縮系數(shù)取10×10-4MPa-1；若流體為氣，壓縮系數(shù)取100×10-4MPa-1；此時流固兩相的壓縮系數(shù)隨孔隙度的變化曲線如圖8所示。從圖8可以看出，流體性質(zhì)對流固兩相壓縮系數(shù)產(chǎn)生了很大的影響。

圖8　巖石流固兩相壓縮系數(shù)曲線Fig.8 Two phase compressibility of fluid-solid of rocksversus porosity

5　結(jié)論

（1）巖石外觀體積的壓縮系數(shù)是孔隙度和骨架壓縮系數(shù)的函數(shù)。

（2）巖石外觀體積對內(nèi)壓的壓縮系數(shù)與孔隙壓縮系數(shù)相同，對外壓的壓縮系數(shù)為式（18）。

（3）巖石流固兩相的壓縮系數(shù)為流體壓縮系數(shù)和骨架壓縮系數(shù)的加權(quán)調(diào)和平均值或加權(quán)倒數(shù)算術(shù)平均值，孔隙度為權(quán)值，即式（27）。

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（本文編輯：王會玲）

Com pressibility coefficientsof bulk volumeand fluid-solid of rocks

LI Chuanliang，ZHU Suyang
（SchoolofPetroleum Engineering，SouthwestPetroleum University，Chengdu 610599，China）

Rockshave three volumesand three stresses，so have several compressibility coefficients.Pore compressibility and itsapplicationshavebeenmainly studied in reservoirengineering，and othersareseldom touched.Thispaper focused on the compressibilitiesofbulk volume and fluid-solid of rocks，and derived their calculation formula.The compressibility ofbulk volume of rocks to pore pressure is the same ofpore compressibility of rocks.The compressibility ofbulk volume of rocks to outer pressure is the function ofporosity and skeleton compressibility of rocks.The two-phase compressibility of fluid-solid of rocks isporosity-weighted harmonicmean of fluid compressibility and skeleton compressibility，or porosityweighted arithmeticmean of reciprocalsof fluid compressibility and skeleton compressibility.

rock；porevolume；porosity；compressibility；bulk volume；porepressure

TE312

A

1673-8926（2015）02-0001-05

2014-12-05；

2015-02-02

國家科技重大專項(xiàng)“多層疏松砂巖氣藏開發(fā)關(guān)鍵技術(shù)”（編號：2011ZX05027-003-01）資助

李傳亮（1962-），男，博士，教授，主要從事油藏工程方面的教學(xué)與科研工作。地址：（610599）四川省成都市西南石油大學(xué)石油與天然氣工程學(xué)院。電話：（028）83033291。E-m ail：cllipe@qq.com。