丁月芳

【摘要】“我聽(tīng)說(shuō)了，就忘了;我看見(jiàn)了，就領(lǐng)會(huì)了;我做過(guò)了，就理解了?！边@句名言突出了“做”的重要性，深刻地揭示了“探求的意義在于經(jīng)歷”。真正意義上的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”是引導(dǎo)學(xué)生“做”數(shù)學(xué)，讓學(xué)生借助有實(shí)際意義的工具為中介的“做”來(lái)獲得知識(shí)。通過(guò)動(dòng)手“做”，讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的探究過(guò)程、合作與問(wèn)題解決，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的課堂落地。本文以《圓柱和圓錐》動(dòng)手“做”活動(dòng)為例，闡述動(dòng)手“做”數(shù)學(xué)活動(dòng)的實(shí)踐與思考。

【關(guān)鍵詞】動(dòng)手“做”數(shù)學(xué) ? 數(shù)學(xué)思維 ? 核心素養(yǎng)

六年級(jí)下冊(cè)《圓柱和圓錐》這一單元知識(shí)間的關(guān)聯(lián)較復(fù)雜，計(jì)算也較煩瑣，學(xué)生有一定的畏學(xué)情緒。如何才能使這部分內(nèi)容變得讓學(xué)生觸手可及，讓學(xué)生體驗(yàn)探索的樂(lè)趣？教師可以指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手“做”，使其經(jīng)歷真實(shí)的探究過(guò)程、合作與問(wèn)題解決，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、資源整合——基于動(dòng)手“做”活動(dòng)的素材重組

新一輪課改倡導(dǎo)自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式。我們的教學(xué)不能簡(jiǎn)單地告訴學(xué)生結(jié)果，也不是那種淺層次的探究，而是要通過(guò)對(duì)單元的整體設(shè)計(jì)，鼓勵(lì)學(xué)生參與到深度學(xué)習(xí)之中，在探究中，積累學(xué)習(xí)方法和經(jīng)驗(yàn)，更重要的是讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，學(xué)習(xí)如何把握共性，分辨差異。下面以3道習(xí)題為例：

（1）教材第22頁(yè)第6題：

（2）教材第25頁(yè)第5題：

一塊圓柱形橡皮泥，底面積是15平方厘米，高是6厘米。

？譹？訛把它捏成底面積是15平方厘米的圓錐形，高是多少厘米？

？譺？訛把它捏成高是6厘米的圓錐形，底面積是多少平方厘米？

（3）教材第23頁(yè)思考題：

一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱底面積相等，體積的比是1∶6。如果圓錐的高是4.2厘米，圓柱的高是多少厘米？如果圓柱的高是4.2厘米，圓錐的高是多少厘米？

立足單元整體設(shè)計(jì)來(lái)看，以上3道習(xí)題，落腳點(diǎn)都是圍繞“圓柱和圓錐體積、底面積、高之間的關(guān)系”來(lái)解決問(wèn)題。從學(xué)生平時(shí)的練習(xí)中經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)解決“等底等高的圓柱和圓錐的體積關(guān)系”的相關(guān)知識(shí)掌握得較好，但是對(duì)“底面積相等，體積相等時(shí)圓柱和圓錐高的關(guān)系”“高相等，體積相等時(shí)圓柱和圓錐底面積的關(guān)系”則處于一個(gè)思維“空白”狀態(tài)，所以遇到上述習(xí)題，常常無(wú)從下手。究其原因，這主要是學(xué)生的空間觀(guān)念尤其是直觀(guān)想象能力的缺失。

為此，筆者對(duì)教材資源進(jìn)行了深度整合，開(kāi)發(fā)了動(dòng)手“做”數(shù)學(xué)活動(dòng)課。旨在為學(xué)生提供動(dòng)手實(shí)踐的機(jī)會(huì)，彌補(bǔ)教材中的留白，向?qū)W生展示了動(dòng)手“做”數(shù)學(xué)活動(dòng)中蘊(yùn)含的豐富內(nèi)涵。

二、探索實(shí)踐——探尋動(dòng)手“做”活動(dòng)的實(shí)踐路徑

學(xué)習(xí)需要學(xué)習(xí)思考問(wèn)題，真正的學(xué)習(xí)一定是從問(wèn)題開(kāi)始的，是從問(wèn)題以及努力解決問(wèn)題開(kāi)始的?！叭绾巫鲆粋€(gè)和已知圓錐體積相等的圓柱？”便是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心問(wèn)題。真正意義上的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”是引導(dǎo)學(xué)生“做”數(shù)學(xué)，讓學(xué)生以有實(shí)際意義的工具為中介的“做”來(lái)獲得知識(shí)。通過(guò)動(dòng)手“做”，讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的探究過(guò)程，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的課堂落地。

1.立足認(rèn)知起點(diǎn)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

活動(dòng)一：做一個(gè)和已知圓錐體積相等的圓柱。

（1）受“圓錐體積是和它等底等高的圓柱體積的”的啟發(fā)，想象一下：怎樣的圓柱和已知圓錐體積相等？試著畫(huà)出這個(gè)圓柱的示意圖。

（2）在下面的方格紙上畫(huà)出這個(gè)無(wú)蓋圓柱體的展開(kāi)圖。

（3）用一張長(zhǎng)方形紙，測(cè)量出實(shí)際所需的數(shù)據(jù)，動(dòng)手制作出這個(gè)無(wú)蓋圓柱體紙盒。（側(cè)面可預(yù)留粘貼處）

【思考】在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生能做到“做”前有儲(chǔ)備，“做”中有思考，“做”后有發(fā)現(xiàn)。經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，不僅能幫助學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解，同時(shí)也能讓他們真切地體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)形成和發(fā)展的內(nèi)在邏輯。通過(guò)之前的圓錐體積研究單，學(xué)生對(duì)圓錐體積是和它等底等高的圓柱體積的已經(jīng)有了較深刻的體驗(yàn)。受其啟發(fā)，學(xué)生很容易想到只要畫(huà)出高度的圓柱，就和已知圓錐體積相等。要完成這個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，還需要掌握相關(guān)的操作技能。比如，如何測(cè)量圓錐的底面半徑和高，如何畫(huà)圓柱的展開(kāi)圖，如何根據(jù)展開(kāi)圖制作圓柱等。學(xué)生在畫(huà)一畫(huà)、剪一剪、拼一拼的活動(dòng)中，調(diào)動(dòng)原有的知識(shí)儲(chǔ)備，積極參與到活動(dòng)中。學(xué)生經(jīng)歷這樣的活動(dòng)過(guò)程，才能逐步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。

2.巧設(shè)認(rèn)知沖突，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

活動(dòng)二：找一找和已知圓錐體積相等的圓柱。

（1）出示1個(gè)圓錐和2個(gè)自制圓柱紙盒。（如下圖所示）

師：根據(jù)剛才的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，你能快速找到和這個(gè)圓錐體積相等的圓柱嗎？

生齊：①號(hào)圓柱。

師：當(dāng)①號(hào)圓柱和圓錐具有怎樣的關(guān)系時(shí)，它們的體積才相等呢？

生：圓柱的高是圓錐的，并且底面積相等，它們的體積就相等。

學(xué)生上臺(tái)驗(yàn)證后得出結(jié)論：底面積相等，圓柱的高是圓錐的，體積就相等。

師：讓我們把目光轉(zhuǎn)向②號(hào)圓柱，仔細(xì)觀(guān)察，你有沒(méi)有什么大膽的想法呢？

生：我覺(jué)得也不排除體積相等的可能。

師：那如何才能驗(yàn)證它們的體積是否相等呢？

師：底面積呢？

生：如果圓柱的底面積是圓錐的，體積就相等。

（底面積3倍不能測(cè)量驗(yàn)證，只能推理）

師：怎樣驗(yàn)證？

生：裝沙。

得出結(jié)論：高相等，圓錐的底面積是圓柱的3倍（圓柱的底面積是圓錐的）時(shí)，體積也相等。

師：看來(lái)，要做一個(gè)和已知圓錐體積相等的圓柱，有2種方法：一種是確保底面積不變，圓柱的高取圓錐高的;另一種是確保高不變，圓柱的底面積取圓錐底面積的，它們的體積相等。

呈現(xiàn)教材第22頁(yè)第6題。

……

【思考】呂傳漢教授曾就落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出了“三教”，即教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)，并強(qiáng)調(diào)“教思考”在發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的重要地位。當(dāng)呈現(xiàn)2個(gè)圓柱時(shí)，學(xué)生受思維定式的影響不約而同選擇了①號(hào)圓柱。此刻，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察②號(hào)圓柱。啟發(fā)學(xué)生大膽猜想，“②號(hào)圓柱會(huì)不會(huì)和圓錐的體積也相等呢？”“如果相等，它們之間又存在怎樣的關(guān)系呢？”一石激起千層浪，帶著這樣的疑問(wèn)，學(xué)生的思維一下子被激活了，進(jìn)一步探究的欲望逐步深入。學(xué)生會(huì)通過(guò)思維關(guān)聯(lián)，尋找②號(hào)圓柱與圓錐的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)高相等，再通過(guò)邏輯推理，聯(lián)想“當(dāng)高相等時(shí)，如果圓柱的底面積是圓錐的，那么它們的體積就相等”。帶著這樣的猜想開(kāi)始探究、驗(yàn)證，最終建立了“高相等，圓柱底面積是圓錐的，體積相等”的模型。從而明確：要做一個(gè)和已知圓錐體積相等的圓柱，可以有2種方法：一種是底面積不變，圓柱的高是圓錐高的;另一種是高不變，圓柱的底面積是圓錐底面積的，它們的體積相等。教師通過(guò)巧妙設(shè)置認(rèn)知沖突，在已有探究經(jīng)驗(yàn)和成果的基礎(chǔ)上搭建思維的臺(tái)階，不斷激活學(xué)生的思維發(fā)展空間，從而促進(jìn)學(xué)生更為積極主動(dòng)地思考。

3.拓寬想象空間，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

活動(dòng)三：想象一個(gè)和圓柱體積相等的圓錐。

師：當(dāng)然，我們也可以做一個(gè)和圓柱體積相等的圓錐。同學(xué)們，下面讓我們一起來(lái)做一個(gè)活動(dòng)：看一下你們手里的圓柱學(xué)具，把它想象成可以捏的橡皮泥。也可以把你們想象的過(guò)程動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)。

師：如果要把它捏成一個(gè)底面積不變的圓錐形，高會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

生：圓錐的高是圓柱的3倍。

師：如果要把它捏成一個(gè)高不變的圓錐形，底面積又會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

生：圓錐底面積是圓柱的3倍。

根據(jù)想象依次呈現(xiàn)如下表：

引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：有什么共同的本質(zhì)特征？（1∶3）

師：真是一個(gè)了不起的發(fā)現(xiàn)！當(dāng)“體積、底面積、高”這三者之間有2個(gè)等量時(shí)，另一個(gè)量就是1∶3的關(guān)系。

呈現(xiàn)教材第25頁(yè)第5題。

繼續(xù)想象：如果圓錐和圓柱的體積比為1∶6，你還能想象出它們之間的關(guān)系嗎？

呈現(xiàn)教材第23頁(yè)思考題。

……

【思考】在教學(xué)活動(dòng)中，依據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地開(kāi)展想象，不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，而且能啟迪學(xué)生的思維和智慧，使學(xué)生萌生創(chuàng)新欲望，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。

教材第25頁(yè)第5題，如果以靜態(tài)的文本方式呈現(xiàn)，學(xué)生的錯(cuò)誤率通常很高，如果用 “捏橡皮泥”的活動(dòng)來(lái)幫助學(xué)生體會(huì)“等積變形”的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生操作起來(lái)也有一定的難度。結(jié)合學(xué)生剛剛經(jīng)歷的“和圓錐體積相等的圓柱”的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生想象：底面不變，高在生長(zhǎng)，高不變，底面在擴(kuò)大……想象是一種脫離了動(dòng)手操作的更高層次的思維活動(dòng)，通過(guò)想象活動(dòng)來(lái)幫助學(xué)生建立“等底等體積”“等高等體積”的模型。這樣的想象活動(dòng)，既有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀(guān)念，也有助于提升他們的思維品質(zhì)。通過(guò)想象，可以使原本隱蔽的關(guān)系明朗化，也可以使原本復(fù)雜的關(guān)系簡(jiǎn)單化，從而使靜態(tài)的文本轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)的、豐滿(mǎn)的過(guò)程。從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，想象也是一種十分重要的教學(xué)活動(dòng)策略。

“我聽(tīng)說(shuō)了，就忘了;我看見(jiàn)了，就領(lǐng)會(huì)了;我做過(guò)了，就理解了?！边@句名言突出了“做”的重要性，深刻地揭示了“探求的意義在于經(jīng)歷”。在課程實(shí)施中，作為教師，必須具有整體結(jié)構(gòu)化的課程視野，大膽實(shí)踐開(kāi)發(fā)課程的意識(shí)，這樣才能有效引領(lǐng)學(xué)生深度建構(gòu)知識(shí)。

上述活動(dòng)課例的教學(xué)，從一個(gè)核心問(wèn)題出發(fā)，對(duì)問(wèn)題的加工、拓展，通過(guò)三個(gè)不同層次的活動(dòng)，把教材中零散的知識(shí)點(diǎn)串成線(xiàn)、織成網(wǎng)，形成了一個(gè)系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)教師與文本、教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生的深度互動(dòng)，為促進(jìn)“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的落地指明了方向。

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