吳大良

(江蘇省射陽(yáng)縣陳洋中學(xué) 224361)

函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)經(jīng)常考查的內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)對(duì)象.對(duì)稱性作為函數(shù)的基本性質(zhì)之一，廣泛存在數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中.利用函數(shù)的對(duì)稱特性，可以使得某些問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使得問(wèn)題更加簡(jiǎn)潔高效地解決，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)的美.下面通過(guò)例題，介紹函數(shù)對(duì)稱性在解題中的具體應(yīng)用.

一、二次函數(shù)對(duì)稱性問(wèn)題

二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中極其普通常見(jiàn)的函數(shù)，是非常重要的函數(shù)，其存在廣泛的應(yīng)用空間.借助二次函數(shù)的對(duì)稱性，可以提高解決關(guān)于對(duì)稱方程根的問(wèn)題的效率，尤其是在選擇題中，借助對(duì)稱的特性進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，方便找到解決問(wèn)題的入口，如：

A.{1,2} B.{1,4}

C.{1,2,3,4} D.{1,4,16,64}

反思二次函數(shù)關(guān)于某條直線對(duì)稱實(shí)際就是告知二次函數(shù)的對(duì)稱軸是什么，要善于將問(wèn)題中的信息進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.

二、三角函數(shù)對(duì)稱性問(wèn)題

除二次函數(shù)以外，三角函數(shù)也是數(shù)學(xué)中十分重要的函數(shù)之一.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)不僅僅是周期函數(shù)，更是對(duì)稱性的函數(shù).因此，在利用正余弦函數(shù)的對(duì)稱性時(shí)，有時(shí)還要考慮周期性，如：

反思：正弦函數(shù)與余弦函數(shù)在利用對(duì)稱性解決問(wèn)題時(shí)，一定要考慮定義域和函數(shù)的周期性，避免出現(xiàn)錯(cuò)解.

三、奇偶函數(shù)對(duì)稱性問(wèn)題

奇偶函數(shù)是函數(shù)中的一種特殊的函數(shù)，一旦問(wèn)題中提及到函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，相當(dāng)于告訴我們函數(shù)的定義域滿足的條件和奇偶函數(shù)的性質(zhì).無(wú)論奇函數(shù)還是偶函數(shù)的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不同的在于奇函數(shù)的圖象是關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，而偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱.因此，把握最經(jīng)典也是最簡(jiǎn)單的奇偶函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)快速解題，如：

A.3 B.4 C.5 D.6

g(x)是奇函數(shù)，且函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此函數(shù)g(x)的最大值與最小值是互為相反數(shù).所以f(x)max+f(x)min=[2+g(x)max]+[2+g(x)min]=4+g(x)max+g(x)min=4+0=4，故選擇B.

反思此題借助函數(shù)奇偶性判斷出函數(shù)具有的相關(guān)性質(zhì)，奇函數(shù)的最大值與最小值的和是為0的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上設(shè)而不求的思想，搭建到達(dá)問(wèn)題彼岸的橋梁.此外，此題也對(duì)奇函數(shù)的圖象的對(duì)稱性和分離常數(shù)等知識(shí)進(jìn)行綜合的考查與研究.

簡(jiǎn)而言之，函數(shù)的對(duì)稱性非常多，無(wú)法一一詳述，也不可能將所有的對(duì)稱性問(wèn)題全部舉例.因此，在日常學(xué)習(xí)中，可以關(guān)注常見(jiàn)的利用對(duì)稱性解決問(wèn)題的題型，通過(guò)不斷積累，找到解決問(wèn)題的快捷高效的方法.