林松云

(福建省柘榮縣第一中學(xué) 355300)

高等數(shù)學(xué)為背景的高考函數(shù)試題是高考中一道亮麗的風(fēng)景線，內(nèi)容、形式及解答上均有耳目一新的感覺.高等數(shù)學(xué)為背景的高考函數(shù)試題比傳統(tǒng)題型有一些鮮明的特點：情景新穎、背景公平，設(shè)問方式靈活；能考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì)，體現(xiàn)“高考命題范圍遵循教學(xué)大綱，又不拘泥于教學(xué)大綱”的改革精神.下面一起來欣賞高等數(shù)學(xué)為背景的高考函數(shù)試題.

一、以凸函數(shù)為背景

凸函數(shù)是高等數(shù)學(xué)非常重要的一類函數(shù).自從導(dǎo)數(shù)引入高中數(shù)學(xué)教材后, 以凸函數(shù)為背景的考題備受命題者的青睞.

1.凸函數(shù)定義

當定義中等號恒不成立時，我們稱此函數(shù)在[a,b]上是嚴格上凸的(或嚴格下凸的).

2.凸函數(shù)的判斷

(1)若在(a,b)內(nèi)f″(x)<0，則f(x)在(a,b)為上凸；

(2)若在(a,b)內(nèi)f″(x)>0，則f(x)在(a,b)為下凸.

3.高考試題分析

(1)若曲線f(x)與曲線g(x)相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；

(2)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),當h(x)存在最小值時，求其最小值φ(a)的解析式；

(3)對(2)中的φ(a)和任意的a>0,b>0，證明：

(2)φ(a)=2a(1-ln2a).

二、以極限為背景

極限是整個高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高等數(shù)學(xué)中有很多重要的概念和方法都和極限有關(guān)系，并且在實際問題中極限也占有重要地位.因此對極限思想的考查也就成為重要內(nèi)容之一.

1.函數(shù)在正無限處極限的定義

若對任意給定的ε>0，存在X>0，當x>X時總有|f(x)-A|<ε，就稱常數(shù)A為f(x)在正無限遠處的極限，或者稱A是當x→+∞時f(x)的極限，記為：

這時也稱函數(shù)f(x)在正無限處極限存在.相仿地，可定義函數(shù)在負無限遠處的極限.

2.高考試題分析

其中, 曲線y=f(x)和y=g(x)存在“分漸近線”的是( ).

A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④

答案：C.

點評本題從大學(xué)函數(shù)在正無限處極限的定義出發(fā)，構(gòu)造了分漸近線函數(shù)，目的是考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，考生需要抓住本質(zhì)：若要存在分漸近線，則當x→∞時，有f(x)-g(x)→0且f(x)>h(x)>g(x).該題體現(xiàn)了極限思想，是高等數(shù)學(xué)中有限和無限思想的下放，是一道好題，思維靈活.

三、以微分學(xué)中的拉格朗日(中值)定理為背景

拉格朗日(中值)定理是幾個微分中值定理中最重要的一個，是微分學(xué)應(yīng)用的橋梁.在高等代數(shù)與數(shù)學(xué)分析中的一些理論推導(dǎo)中起著很重要的作用.

1.拉格朗日(中值)定理

2.高考試題分析

例3(2017年高考全國卷2文科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當x≥0時，f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

分析借助高數(shù)知識，能夠巧妙地解決高考中難度較大的導(dǎo)數(shù)壓軸題.

(2)首先，將x分成兩類.

當x=0時，符合題意，所以a∈R；

綜上所述，a的取值范圍為[1,+∞).

點評該題設(shè)計來源于微分學(xué)中的拉格朗日定理，用高等方法處理這題，還原了該題的命題思路，體現(xiàn)了初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的“上聯(lián)下靠”的關(guān)系，考查了中學(xué)數(shù)學(xué)的知識和方法，又考查了考生進入高等院校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，是一道有特色鮮明的好題.

四、泰勒公式為背景的高考試題

1.泰勒公式

稱此式為麥克勞林公式.

幾個常見函數(shù)的泰勒展開式：

2.高考試題分析

例4(2017年高考全國卷Ⅲ理科第21題)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0,求a的值；

解析(1)略.

點評標準答案的解答是利用(1)的結(jié)論x-1-lnx≥0得出不等式ln(1+t)≤t，對Pn兩邊取對數(shù)，利用不等式ln(1+t)≤t得出m的最小值，轉(zhuǎn)彎太多，考生不容易聯(lián)想到，但直接用ex的泰勒展開式得出ex>1+x求解，簡直就是秒殺.

例5(2014年全國新課標2理科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x)，當x>0時，g(x)>0，求b的最大值；

解析(1)(2)略.

縱觀近年的各地高考數(shù)學(xué)函數(shù)試題可知，以高等數(shù)學(xué)知識為背景的試題背景新，設(shè)問巧，既能考查中學(xué)數(shù)學(xué)的知識和數(shù)學(xué)思想方法，又能考查了考生進入高等院校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，同時體現(xiàn)了高考的選拔功能，所以以高等數(shù)學(xué)知識為背景試題，成為每年高考題中的又一亮點、熱點.教學(xué)中可適當讓學(xué)生了解一些簡單高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)結(jié)合的知識，既可以拓寬他們解題思路，提高分析問題，解決問題的能力，也可以為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).