李佳音 王 巍 鐘 鳴 陸建隆

(1. 南京師范大學教師教育學院，江蘇 南京 210000； 2. 南京師范大學物理科學與技術(shù)學院，江蘇 南京 210000)

1 引言

在日常生活中，我們都會注意到這樣一個現(xiàn)象——向熱水瓶里灌水時，水流進入瓶中會發(fā)出聲音，且這個聲音是隨著瓶中水量有規(guī)律地變化的.有經(jīng)驗的人甚至可以通過聽聲音判斷出水瓶何時被灌滿.還有一種現(xiàn)象，在很多公共場所的熱水間里，水龍頭出水口都會被裹上一段紗布，灌水時水流沿著紗布流入水杯，再沿杯壁流下，以防止熱水噴濺導致燙傷.這種情況下就幾乎聽不到聲音了.

針對這些現(xiàn)象，筆者進行了大量實驗，并根據(jù)實際裝置建立振動模型，將實驗結(jié)果與理論計算結(jié)合，嘗試回答以下4個問題： 瓶中灌水時，聲音是如何產(chǎn)生的？是否有條件限制？在此過程中聲音是否會發(fā)生變化？其變化規(guī)律是什么？

2 探究發(fā)聲原理

2.1 實驗設(shè)計

為方便模型的建立和單一變量的控制，筆者采用不同型號、形狀規(guī)則的圓柱形量筒和一個可更換噴頭的恒壓水泵進行灌水實驗，如圖1，所用量筒筒壁上的刻度及其材料的透明度，都更有利于實驗過程中的觀察和即時數(shù)據(jù)的讀取.實驗過程中，將采音麥克風置于量筒口一側(cè)，采集聲音后將錄音導入Adobe Audition進行音頻分析.

圖1 注水方式

當敲擊一個灌有水的瓶子時，由于瓶身和瓶中水的振動，產(chǎn)生的聲音頻率與瓶中水量有關(guān).那么灌水過程中的聲音是由哪部分振動產(chǎn)生的呢？為此我們設(shè)計了一組預實驗，將實驗中所涉及的各個部分分開研究.通過向水位與筒口齊平的量筒繼續(xù)灌水，就可以排除筒內(nèi)空腔共振的干擾，改變量筒高度相當于改變了積水深度；通過向底部塞有吸水海綿的量筒內(nèi)注水，可以排除下落水流進入積水層時產(chǎn)生聲音的干擾，用線纏住海綿向上緩慢拉動，就可以連續(xù)改變量筒內(nèi)空氣柱的長度.此外，由于實驗時量筒置于地面，考慮到地面振動的影響，可以在量筒底部墊上不同的材料，探究地面振動對本實驗的干擾程度.

2.2 實驗現(xiàn)象

在多次重復的灌水嘗試之后，筆者發(fā)現(xiàn)聲音的產(chǎn)生是需要一定條件的.若下落的水流較緩且呈穩(wěn)定規(guī)則的柱狀(可視作穩(wěn)定層流)進入液面，如圖2(a)，或者水流沿著瓶壁流下，則幾乎沒有聲音，此時液面平靜，水位均勻上升.只有當水流不穩(wěn)定或間斷性下落(可視作紊流)時，才會在水面上產(chǎn)生大量泡沫或單個大氣泡，如圖2(b)，并伴隨有明顯變化的聲音.

圖2 不同的水流形式

一次完整的灌水過程中，采集到聲音頻率在約為100～2000 Hz的范圍內(nèi)變化并逐漸升高，聲音強度隨水位升高而降低.

再根據(jù)實驗設(shè)計將量筒內(nèi)的積水與空氣柱分開，實驗發(fā)現(xiàn)僅改變積水深度時，聲音頻率沒有明顯變化，只有聲音強度發(fā)生變化；而改變空氣柱長度時，聲音頻率會隨空氣柱的縮短而升高，且這種頻率的變化在水位靠近量筒口時更加明顯.另外，在使用不同材質(zhì)的量筒和地面實驗時，聲音特性的變化趨勢不變，由此可知聲音頻率的變化主要和空氣柱相關(guān)，聲強大小和產(chǎn)生氣泡相關(guān).

2.3 原理分析

水在流動時幾乎不產(chǎn)生聲音，只有當水中有氣泡產(chǎn)生、振動或破裂時，才會有聲音產(chǎn)生.因此，瓶中灌水發(fā)聲的必要條件就是，水流進入積水層時有氣泡產(chǎn)生并振動.在研究這種氣泡的水下振動時，我們根據(jù)Minneart理論建立了“單氣泡振動模型”，把下落的水流視作大量連續(xù)的小水滴，單個水滴進入液面后夾帶一部分空氣，如圖3.這個過程類似于向水中擲石子，關(guān)鍵在于讓空氣進入水中形成氣泡.圖4依次是實拍單個水滴滴入平靜液面時水面凹陷、收縮、產(chǎn)生氣泡、氣泡破裂的過程.

圖3 水下氣泡產(chǎn)生示意圖

圖4 實拍水下氣泡產(chǎn)生的過程

對單個水下氣泡進行分析，可以通過彈簧球系統(tǒng)類推，其恢復力由氣壓與表面張力組成，慣性力由周圍液體的有效質(zhì)量引起.考慮半徑不可忽略的球形振動氣泡，其半徑隨時間的變化可設(shè)為

r(t)=r0+q(t)，

(1)

其中q(t)為半徑隨時間的擾動量，即彈簧球的振動量，可建立諧波振動線性模型方程

(2)

其中Fb為由液體壓強而產(chǎn)生的外部壓力，β為阻尼率，ω0為氣泡諧振頻率，mbrad=4πr03ρ為氣泡有效振動質(zhì)量.[1]

可見氣泡振動頻率與有效振動質(zhì)量、液體阻尼、外部壓力有關(guān)，分別對應(yīng)氣泡半徑、液體種類、氣泡位置.由于水流連續(xù)下落會在液面下產(chǎn)生大量半徑不同、位置深淺不同的氣泡.這些氣泡振動、破裂所發(fā)出的聲音頻率混雜，沒有明顯的變化規(guī)律，所以氣泡的振動幅度、密集程度直接決定了注水時聲音的強度，對頻率變化影響不顯著.通過以上的實驗和理論分析，筆者發(fā)現(xiàn)聲音頻率隨水位上升而升高，是由于不同長度空氣柱振動的固有頻率不同，故水中氣泡發(fā)生共振時，產(chǎn)生的聲音與空氣柱長度相關(guān).

2.4 構(gòu)建空氣柱振動模型

若將實驗所用玻璃量筒視為剛性容器，則空氣柱僅發(fā)生縱向振動，且滿足一般振動方程

ξ(t,x)=(Acoskx+Bsinkx)cos(ωt-φ)，

(3)

圖5 空氣腔共振示意圖

(4)

解得空氣柱振動的簡正頻率為

(5)

其中n=1,2,3,…且n=1時λ為基頻波長.

考慮到空氣柱振動同時還會向空間輻射聲波，相當于在量筒內(nèi)的空氣柱上附加振動質(zhì)量，故需將管長修正為l=l0+l=l0+1.7r.[3]

代入簡正頻率公式，取n=1時，可得空氣柱振動基頻為

(6)

因此當水位上升，即空氣柱縮短時，聲音頻率會隨時間升高，若n取不同的正整數(shù)，還會出現(xiàn)相似變化趨勢的諧頻，如圖6，(a)亮條紋為實際測得數(shù)據(jù)曲線，(b)為根據(jù)計算結(jié)果繪出的曲線，其中曲線由下向上分別表示n=1，2，3，4 時，頻率f隨時間t的變化規(guī)律.另外，通過改變水流速度(流量Q)和瓶身尺寸(高度h和半徑r)，也可以改變聲音的頻率.

圖6 簡正頻率隨時間的變化

3 控制變量實驗

根據(jù)上述分析結(jié)論，筆者設(shè)計了一系列控制變量實驗，分別改變水流流速(調(diào)節(jié)恒壓閥擋位即可)、出水口尺寸(更換不同口徑的出水口)、瓶身容量(采用不同型號的量筒)和瓶身形狀(使用不同形狀的等高玻璃瓶)，探究產(chǎn)生聲音的聲強和頻率隨時間的變化規(guī)律.

3.1 聲音頻率與水流速度的關(guān)系

注水過程中產(chǎn)生聲音的頻率隨時間(水位升高)逐漸升高，且測得的聲音頻率會略高于理論值.這一現(xiàn)象在水位靠近量筒口時愈發(fā)明顯，如圖7，頻率平緩升高時實驗數(shù)據(jù)與計算值符合度高，而頻率快速升高階段實驗采得的頻率(散點)皆高于理論曲線.

圖7 頻率隨時間變化曲線(聲音特性與水流速度的關(guān)系)

由圖可見，實驗與理論存在誤差，這部分誤差的存在主要是兩部分造成，一是水流流速較大，下落時會在液面產(chǎn)生大量氣泡和泡沫，使得實際液面高度高于根據(jù)流量計算得到的液面高度，故實際空氣柱長度偏?。欢钱斠好媾c量筒口十分接近時，計算空氣柱長度的修正項(附加質(zhì)量)誤差漸大，同樣使得實際振動的空氣柱長度比代入計算時的長度短.

3.2 聲強與水流速度的關(guān)系

注水過程中，同一時刻的水流流速越大，不僅頻率越高，而且聲強越大，如圖8.

圖8 聲音特性與水流速度的關(guān)系

對完整過程進行快速傅立葉分析后，圖像中聲強尖峰出現(xiàn)在0～500 Hz之間，對應(yīng)了頻率隨時間變化曲線中平緩升高部分的頻率范圍，這是聲音在這一頻率范圍長時間累積出現(xiàn)的結(jié)果.

3.3 聲音特性與出水口孔徑關(guān)系

隨著出水口孔徑的增大水流截面半徑，也增大水流下落后與液面的接觸面積增大，同時在流速不變的前提下，流量增大，所以單位時間內(nèi)產(chǎn)生的氣泡數(shù)增多，聲強增大，但聲音頻率不變，如圖9.

圖9 聲音特性與水流半徑的關(guān)系

3.4 聲音特性與量筒尺寸關(guān)系

根據(jù)理論計算結(jié)果，增大量筒截面半徑或量筒高度后，聲音頻率的變化趨勢是相同的，所以實驗中直接使用不同規(guī)格的玻璃量筒進行實驗，即同時改變了半徑和高度兩個變量.

對完整注水過程作快速傅立葉分析，發(fā)現(xiàn)隨著量筒容量變大，聲音頻率降低，聲強增大，如圖10.

圖10 聲音特性與瓶身尺寸的關(guān)系

3.5 聲音特性與瓶身形狀關(guān)系

在改變瓶身形狀(控制玻璃瓶高度相等)時，時域圖(頻率隨時間的變化曲線，顏色明暗表示聲強大小，亮度越高聲強越大)形狀發(fā)生明顯變化，基本頻率變化規(guī)律不變，而諧頻的變化趨勢與瓶身形狀有關(guān)，如圖11.

我們認為這是由于不同形狀的玻璃瓶使得共振腔的邊界條件發(fā)生了改變，簡正頻率中的諧頻隨之改變(系數(shù)不再是2n-1)，但對基頻變化規(guī)律沒有影響.

探究結(jié)論：在一次完整的灌水過程中，隨著水位的升高，空氣柱縮短，聲強隨時間降低，頻率隨時間升高.聲強與流速和出水口孔徑正相關(guān)(流量和水流半徑越大，產(chǎn)生的氣泡越密集，振動幅度越大)；聲音頻率與瓶身尺寸(高度、半徑)負相關(guān).

圖11 聲音特性與瓶身形狀的關(guān)系

4 總結(jié)與反思

通過實驗和理論計算，我們得出填充瓶子時所發(fā)出的聲音由氣泡振動和空氣柱振動兩部分產(chǎn)生，水中有氣泡產(chǎn)生是產(chǎn)生聲音的必要條件.同時產(chǎn)生氣泡的大小和密集程度決定了聲強大小，而頻率變化則主要是由空氣柱共振體現(xiàn).

本文的分析皆是建立在規(guī)則圓柱形剛性容器的基礎(chǔ)上，而對于生活中常用的細頸瓶狀容器或其他不規(guī)則容器，其發(fā)聲基本原理相同，但計算頻率時需要根據(jù)實際形狀和尺寸設(shè)置邊界條件.

另外，考慮到實際灌水時，由于下落水流的存在，空氣柱不是嚴格的完整棒狀.為此筆者補充了一組對照實驗，在量筒中分別豎直插入1～5根細塑料圓棍，在此基礎(chǔ)上進行灌水，聲音頻率不會出現(xiàn)明顯變化.所以為簡化模型，灌水時將量筒內(nèi)的空氣柱簡化為棒振動是較為合理的.