王文璟，張永斌

(1.銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 銅陵 244061；2.合肥工業(yè)大學(xué) 噪聲振動工程研究所，合肥 230009)

結(jié)構(gòu)受到激勵產(chǎn)生彎曲波、縱波或橫波等彈性波，它們在結(jié)構(gòu)里的傳播帶動附近的空氣形成聲波并向外輻射。這就是結(jié)構(gòu)聲的產(chǎn)生機理。根據(jù)結(jié)構(gòu)波傳播速度與聲速的相互關(guān)系，這些結(jié)構(gòu)波可以分為兩類：亞音速波(傳播速度小于聲速)和超音速波(傳播速度大于聲速)。其中超音速波引起的噪聲能夠輻射到遠場，是環(huán)境噪聲污染的主要組成部分；而由于結(jié)構(gòu)表面相鄰區(qū)域振動的抵消作用，亞音速波無法輻射到遠場，只存在于結(jié)構(gòu)的近場區(qū)域。因此識別超音速結(jié)構(gòu)波引起的聲源振動對于有效控制振動結(jié)構(gòu)的噪聲輻射具有重要意義。

聲強(通常是有功聲強)測量是一種常用的識別聲源和評價聲源強度的方法，但是由于亞音速結(jié)構(gòu)波的存在，在有些位置處聲強的正負值會互相抵消，導(dǎo)致難以識別引起遠場聲輻射的聲源區(qū)域。為解決該問題，Williams于1995年首次提出了超音速聲強(supersonic acoustic intensity)的概念，并用于水下柱殼的聲源識別[1]。特別需要注意，這里的“超音速”與常規(guī)含義不同，超音速聲強指的是傳播速度高于聲速的結(jié)構(gòu)波引起的聲強分布。這一概念被提出以后，相繼被擴展到平面型結(jié)構(gòu)[2-6]和任意形狀結(jié)構(gòu)的聲源識別[7-10]。在超音速聲強的基礎(chǔ)上，近年來又延伸出了非負聲強(non-negative acoustic intensity)的概念[11-12]。

在測量超音速聲強時，既可以先測量聲壓，也可以先測量質(zhì)點振速，然后通過近場聲全息技術(shù)[13-17]計算出聲源表面的聲壓和質(zhì)點振速，接下來對聲壓和質(zhì)點振速進行波數(shù)域濾波，去除輻射圓之外的所有倏逝波成分(對應(yīng)亞音速結(jié)構(gòu)波)，只保留輻射圓之內(nèi)的傳播波成分(對應(yīng)超音速結(jié)構(gòu)波)。濾波后的聲壓和質(zhì)點振速分別被稱為超音速聲壓和超音速質(zhì)點振速。最后，在超音速聲壓和質(zhì)點振速的基礎(chǔ)上，采用與有功聲強相同的定義方法計算超音速聲強。從上述過程可以看到，超音速聲強只需近場測量數(shù)據(jù)，卻能表征聲源的遠場輻射信息，因此可作為噪聲控制的一個重要依據(jù)。近年來，超音速聲強還常被用于分析聲學(xué)黑洞的作用機理和振動噪聲控制效果[18-19]。

在已有的超音速聲強測量方法中，需要首先測量聲源表面或近場的法向質(zhì)點振速或聲壓。目前測試這兩個參量的方法有快照法和掃描法兩種。其中，快照法使用大通道數(shù)測試設(shè)備和大型傳感器陣列同時測量聲場或振動信號。該方法雖然適用于任意聲源信號，但是所需測試硬件設(shè)備的成本過高，而且不適合在空間較小的環(huán)境中使用。掃描法使用小通道數(shù)測試設(shè)備和小型傳感器陣列分步掃描測量聲場，所需測試硬件設(shè)備的成本低，因此是聲陣列測量中的常用方法。但是掃描法需要與聲源相關(guān)的參考信號而且要求參考信號的數(shù)目大于潛在聲源的數(shù)目，來輔助消除不同次測量之間的相位差[20-21]。但在實際應(yīng)用中，聲源的數(shù)目和位置是未知的，因此難以獲得滿足要求的參考信號。

為解決超音速聲強測量受硬件成本和參考信號限制的問題，本文提出一種超音速聲強近似測量方法。在該方法中，使用傳統(tǒng)的聲強探頭進行掃描測量。由于復(fù)聲壓和法向質(zhì)點振速在每一點都是同步測量，初始相位互相抵消，因此傳統(tǒng)的有功聲強這一參量在不同的測量點不受初始相位的影響，因此也就無需參考信號。然后對有功聲強直接進行波數(shù)域濾波，得到近似的超音速聲強。需要說明的是，通過本文方法測量得到的超音速聲強與Williams的定義有所不同，跳過了超音速聲壓和質(zhì)點振速的計算，直接從傳統(tǒng)聲強計算超音速聲強，因此是一種近似方法。但是理論推導(dǎo)和數(shù)值驗證表明本文定義的近似超音速聲強具有傳統(tǒng)超音速聲強的特性，而且可以有效識別引起遠場聲輻射的聲源區(qū)域。

1 理 論

1.1 準確超音速聲強的定義與計算

假設(shè)時間簡諧因子為e-iωt,那么在平面z上的波數(shù)域聲壓P(kx,ky,z)和法向質(zhì)點振速U(kx,ky,z)可以表示為

(1)

(2)

式中，kx和ky分別為x和y方向的波數(shù)分量，p(x,y,z)和u(x,y,z)分別表示平面z上的空間域聲壓和法向質(zhì)點振速。

對波數(shù)域聲壓和質(zhì)點振速進行濾波，去除輻射圓(Radiation Circle)之外的倏逝波成分，可以分別得到超音速聲壓和質(zhì)點振速為

(3)

(4)

基于式(3)和式(4)以及傳統(tǒng)的有功聲強的定義，Williams提出的超音速聲強的定義為

(5)

式中，上標*表示復(fù)數(shù)共軛，Re表示取復(fù)數(shù)的實部。經(jīng)過數(shù)學(xué)證明，可以發(fā)現(xiàn)通過式(5)定義的超音速聲強計算得到的聲功率與通過傳統(tǒng)的有功聲強，即下文式(6)，計算得到的聲功率相等。這也是式(5)中的I(s)(x,y,z)之所以被稱為聲強的根本原因。

在測量超音速聲強時，為降低測試成本，通常使用掃描法測量聲壓(或質(zhì)點振速)，然后使用近場聲全息技術(shù)計算對應(yīng)的質(zhì)點振速(或聲壓)，最后將其代入式(1)～(5)計算得到超音速聲強I(s)(x,y,z)。但是如引言中所述，使用掃描法測量時，存在參考信號難以獲取的限制。

1.2 近似超音速聲強的定義與計算

傳統(tǒng)的有功聲強的定義為

(6)

關(guān)于有功聲強測量方法的研究是一個經(jīng)典問題，目前已經(jīng)研發(fā)出了多種聲強探頭用于有功聲強的測量[22-23]。這些探頭可以分為兩類：一類是使用兩個或多個傳聲器，所需的質(zhì)點振速通過聲壓的有限差分獲得；一類是同時使用傳聲器和質(zhì)點振速傳感器(如Microflown)，直接實現(xiàn)有功聲強的測量。不管使用哪類聲強探頭，測試有功聲強時，不同的傳感器在同一個點都是同時進行測量，因此它們的測量信號具有相同的初始相位。而且由于在式(6)中，質(zhì)點振速進行了共軛運算，因此最終的聲壓和質(zhì)點振速的初始相位被抵消。也就是說使用掃描法測試不同位置的有功聲強時不受初始相位變化的影響。雖然有功聲強具有這一優(yōu)點，但是由于亞音速結(jié)構(gòu)波的存在，式(6)定義的有功聲強在有些位置處的正負值會互相抵消，導(dǎo)致使用該參量不適合用于識別引起遠場聲輻射的主要聲源區(qū)域[1-4]。

基于上述討論，將有功聲強和超音速聲強的優(yōu)點相結(jié)合，本文定義一種近似的超音速聲強。在聲源附近測量得到式(6)定義的有功聲強之后，通過二維空間Fourier變換計算其波數(shù)譜IK(kx,ky,z)

(7)

然后通過對IK(kx,ky,z)直接進行波數(shù)域濾波，去除輻射圓之外的倏逝波成分，只保留輻射圓之內(nèi)的傳播波成分，得到近似的超音速聲強為

(8)

式中，Sr與式(3)和式(4)中的含義相同。

檢驗公式(8)中超音速聲強的定義是否合理的關(guān)鍵是由該聲強計算得到的聲功率是否與由式(6)定義的有功聲強計算得到的聲功率相同。由式(6)計算得到的聲功率為

(9)

對比式(9)與式(7)可以發(fā)現(xiàn)kx=ky=0時，兩者相等，即Ψ(z)=IK(0,0,z)。

由式(8)計算得到的聲功率為

ΨI(s)(z)=

IK(0,0,z)

(10)

因此Ψ(z)=ΨI(s)(z)，也就是說式(8)中定義的參量II(s)(x,y,z)同樣具有聲強的含義。從定義上來說，式(5)中的準確超音速聲強分別對聲壓和質(zhì)點振速進行波數(shù)域濾波，因此傳播波和倏逝波的定義和界限非常明確；但是如式(6)所示，有功聲強是由聲壓和質(zhì)點振速的共軛相乘得到，因此聲壓和質(zhì)點振速分別對應(yīng)的波數(shù)會相互疊加或相減，類似于三角函數(shù)的積化和差，導(dǎo)致一些原本不屬于輻射圓內(nèi)的波數(shù)通過相互運算后產(chǎn)生位于輻射圓內(nèi)的波數(shù)。因此，式(8)給出的超音速聲強定義雖然可以濾除部分倏逝波的影響且能保證聲功率不變，從而可以有效識別引起遠場聲輻射的聲源區(qū)域，但是不能完全消除倏逝波的影響，因此本文將其稱為“近似超音速聲強”。

近似超音速聲強的測量和計算流程如圖1所示。首先使用聲強探頭在聲源的近場逐點掃描測量法向有功聲強I(x,y,z)，這里假設(shè)法向方向為z向，需要注意掃描時要求x和y方向的測點間隔(即空間采樣頻率)保持不變，以滿足空間Fourier變換的要求。然后對I(x,y,z)進行二維空間Fourier變換，得到法向有功聲強的波數(shù)域譜IK(kx,ky,z)。由于計算過程使用了二維空間Fourier變換，因此與文獻[2]中提出的準確超音速聲強類似，這里要求測量面為平面。接下來對波數(shù)域譜IK(kx,ky,z)進行低通濾波，將輻射圓之外的波數(shù)域譜置零。最后對濾波后的IK(kx,ky,z)進行反空間Fourier變換，得到近似超音速聲強II(s)(x,y,z)。

圖1 近似超音速聲強測量和計算流程Fig.1 Measurement and computational flow of the approximate supersonic acoustic intensity

從計算角度來說，近似超音速聲強的誤差主要來源于空間Fourier變換。根據(jù)上文的變換公式可以看到空間Fourier變換的積分區(qū)域是無限大的平面，但實際中只能在有限尺寸的平面上進行掃描測量，也就是說需要對空間進行截斷。由于空間截斷，空間Fourier變換中會引入卷繞誤差。減小卷繞誤差的有效方法是對測量數(shù)據(jù)進行補零。

2 準確和近似超音速聲強的對比

2.1 無限大障板上的點源

首先以無限大障板上的點源為例進行對比，選擇這個算例的原因是其超音速聲強能夠推導(dǎo)出解析公式。假設(shè)源強為Q的點源位于z=0處的障板上，那么聲源表面的法向質(zhì)點振速u(x,y,0)=Qδ(x)δ(y),聲源表面的聲壓可以通過Rayleigh積分得到：

(11)

則根據(jù)式(6)，得到有功聲強為

(12)

將式(12)代入式(7)，得到I(x,y,0)的波數(shù)譜為

(13)

將式(13)代入式(8)，并引入極坐標變換：kx=kρcosθ,ky=kρsinθ,x=ρcosφ,y=ρsinφ,則可以推導(dǎo)得到近似超音速聲強為

II(s)(x,y,0)=

(14)

式中，J0和J1分別為0階和1階第一類Bessel函數(shù)，上式的推導(dǎo)過程中使用了積分恒等式：

對公式(14)中的II(s)(x,y,0)在整個聲源面上進行積分，可得聲功率為

(15)

將式(12)代入式(9)可得通過有功聲強計算得到的聲功率，其結(jié)果與式(15)相同。通過這個算例進一步證明了本文定義的近似超音速聲強保持了聲功率不變，具有聲強的特性。

在文獻[2]中，針對這個算例，Williams給出了準確超音速聲強的表達式為

(16)

對比式(14)和式(16)可以發(fā)現(xiàn)，對于無限大障板上的點源而言，本文定義的近似超音速聲強與Williams定義的超音速聲強僅差sin(kρ)/kρ一項。圖2給出了除以ρck2Q2/(8π2)之后的歸一化超音速聲強的對比，其中圖2(a)為線性值，圖2(b)為對數(shù)值。從圖2(a)中可以看到，雖然超音速聲強II(s)不如I(s)集中，但是也可以有效地識別出對應(yīng)遠場聲輻射的聲源區(qū)域。上述結(jié)論從圖2(b)也可得到，雖然II(s)的旁瓣比I(s)的旁瓣峰值更大，但是主瓣的峰值相同，主瓣的中心位置也相同。另外從圖2中的I(s)的曲線可以看到，準確超音速聲強基本沒有負值，因此不存在聲源附近的聲場正負抵消問題；相比I(s)，本文定義的II(s)的負值數(shù)目有所增加，因此II(s)是超音速聲強的近似參量，而不是等價參量。

(a) 線性值

(a) 準確超音速聲強

2.2 無限大障板中的簡支板

該簡支板為0.003 m厚的鋁板，其長和寬為2 m×2 m。幅值為500 N的簡諧力作用在該板的中心對其進行激勵。簡諧力的頻率滿足kL=3π，其中L=2 m為簡支板的邊長。板表面的法向位移由(11,9)階模態(tài)振型產(chǎn)生，距離板表面0.02 m處的聲場通過Rayleigh積分數(shù)值計算得到。根據(jù)文獻[2]和文獻[24]可知，(11,9)階模態(tài)角模態(tài)(Corner modal)，即只有四個角的區(qū)域是形成遠場聲輻射的主要振動區(qū)域，而其他區(qū)域的振動形成了能量循環(huán)，因此并不向遠場輻射。

針對該算例，兩種超音速聲強I(s)和II(s)的計算結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看到在I(s)中基本不包含負值，但是在II(s)中仍然存在一些負值，表明在II(s)中仍然殘留一些局部能量循環(huán)。圖4中給出了相同表面上的有功聲強計算結(jié)果，可以明顯看到在簡支板中間交叉出現(xiàn)正值和負值，但是這些位置處的能量僅僅形成局部循環(huán)，并不對遠場聲輻射做出貢獻。通過圖3和圖4的對比可以發(fā)現(xiàn)，相比有功聲強，本文定義的超音速聲強II(s)消除了局部能量循環(huán)導(dǎo)致的干擾聲源，突出了邊角模態(tài)振型，有效地識別出了引起遠場聲輻射的聲源位置。

圖4 無限大障板中的簡支板對應(yīng)的有功聲強Fig.4 Active acoustic intensity of a simply supported plate in an infinite baffle

2.3 試 驗

實驗場景如圖5所示，聲源為一塊鋁板，其尺寸為0.44 m×0.44 m×0.003 m，該板做為其中一個面被安裝在一個箱體上，箱體的其他幾個面為硬質(zhì)纖維板，并在箱體中安裝一個音箱驅(qū)動鋁板振動。信號采集和發(fā)生設(shè)備為B&K公司的“PULSE”分析儀(型號3560)。

圖5 試驗場景Fig.5 Experimental arrangement

為進行對比，以分析儀產(chǎn)生的信號為參考，應(yīng)用集成了傳聲器和Microflown質(zhì)點振速傳感器的1/2英寸p-u聲強探頭，在尺寸為0.425 m×0.45 m的平面上，掃描測量了聲壓和質(zhì)點振速，測量點數(shù)為18×19點，測量面與板表面之間的距離為0.045 m。將測量得到的聲壓和質(zhì)點振速代入式(3)～(5)可以計算得到準確的超音速聲強。將測量得到的有功聲強代入式(8)可以計算得到近似超音速聲強。但是需要注意，為實現(xiàn)掃描測量聲壓和質(zhì)點振速，引入了預(yù)知的輸入信號作為參考信號，但在實際中激勵來源和輸入信號是難以獲取的；相對地，測量有功聲強的過程則不需要任何參考信號。這就是本文方法的優(yōu)勢所在。

圖6和圖7分別給出了在200、800、1 000和2 000 Hz處的準確和近似超音速聲強實驗測量結(jié)果。通過兩圖的對比可知，除1 000 Hz外，近似超音速聲強結(jié)果均與準確超音速聲強結(jié)果比較接近，兩者都能定位出主要聲源位置，但是相對而言，準確超音速聲強結(jié)果干擾更少，聲源位置更為突出。在1 000 Hz時，如圖6所示，準確超音速聲強出現(xiàn)了較為明顯的負值，也就是說在這個頻率處，兩種方法的測量結(jié)果都存在較大誤差。

圖6 準確超音速聲強實驗結(jié)果Fig.6 Experimental results of the accurate supersonic acoustic intensity

圖7 近似超音速聲強實驗結(jié)果Fig.7 Experimental results of the approximate supersonic acoustic intensity

3 結(jié) 論

本文提出了一種超音速聲強的近似測量方法，在該方法中利用了傳統(tǒng)有功聲強測量不受初始相位影響的優(yōu)勢，通過在波數(shù)域濾除有功聲強的倏逝波成分，得到近似的超音速聲強。在使用掃描法測量的過程中，不需要任何參考信號是所提出方法的主要優(yōu)勢。之后，從理論上證明了采用本文給出的超音速聲強計算得到的聲功率與采用有功聲強計算得到的聲功率的等價性，表明本文定義的超音速聲強確實具有聲強的含義。開展了以無限大障板上的點源和簡支板為聲源的數(shù)值仿真和以有限尺寸鋁板為對象的實驗研究，比較了Williams定義的準確超音速聲強與本文定義的近似超音速聲強，結(jié)果表明雖然近似超音速聲強的主瓣變寬且旁瓣變大，但是仍可以有效地識別出對應(yīng)遠場聲輻射的聲源位置。