基于修正形函數(shù)的Euler-Bernoulli開(kāi)口裂紋梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/h1>
2022-09-23 01:34:40朱亞杉
振動(dòng)與沖擊 2022年17期
徐 訓(xùn)，朱亞杉，吳 浩
(武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，武漢 430070)
裂紋是土木工程結(jié)構(gòu)最常見(jiàn)的損傷形式，裂紋會(huì)造成結(jié)構(gòu)局部剛度降低，影響結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。帶裂紋構(gòu)件的受力特性可采用有限元軟件進(jìn)行研究，如ABAQUS常用無(wú)厚度的Cohesive單元對(duì)裂紋進(jìn)行模擬[1-2]，也可用指派裂紋或VCCT(virtual crack closure technique)等方法進(jìn)行裂紋模擬[3-4]，上述方法在裂紋處需要進(jìn)行網(wǎng)格加密以適應(yīng)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的奇異性，這將大幅增加計(jì)算自由度。工程中以結(jié)構(gòu)固有頻率或模型修正等為代表的損傷識(shí)別方法要求裂紋模型能準(zhǔn)確的描述損傷特性[5-7]，并具有模型簡(jiǎn)單、參數(shù)少的特點(diǎn)。因此，以結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別為導(dǎo)向的裂紋梁有限元建模問(wèn)題仍然是充滿挑戰(zhàn)的課題。
裂紋單元?jiǎng)偠染仃嚨慕⑹怯邢拊治龅年P(guān)鍵。目前裂紋單元?jiǎng)偠冉⒎椒ㄖ饕ɑ趹?yīng)變能釋放的方法和傳統(tǒng)方法。在基于應(yīng)變能釋放的方法中，裂紋產(chǎn)生的彈性應(yīng)變能被加到非裂紋單元的彈性應(yīng)變能中[8]，單元?jiǎng)偠染仃嚳刹捎萌岫扔?jì)算法和直接剛度計(jì)算法兩種方法。柔度計(jì)算法是根據(jù)裂紋單元的應(yīng)變能，應(yīng)用卡式第二定理先推導(dǎo)柔度矩陣，再通過(guò)傳遞矩陣或直接求逆等方法得到裂紋單元的剛度矩陣，Papadopoulos等[9-11]對(duì)一維裂紋梁的剛度進(jìn)行了研究。此外，文獻(xiàn)[12-14]對(duì)其在二維有限元中的應(yīng)用也進(jìn)行了討論。直接剛度計(jì)算法是直接利用卡式第一定理求得裂紋單元的剛度矩陣，該方法由Potirniche等[15]推導(dǎo)出二維裂紋單元，然后由Hall等[16]推導(dǎo)出帶有單邊裂紋的三維裂紋單元。Yazdi等[17]充分比較了基于應(yīng)變能釋放的兩種方法，他們的研究表明用卡式第一定理生成裂紋單元?jiǎng)偠染仃嚨牟蛔阒?，也證明了由Potirniche等[16]提出的方法在裂紋寬度較大時(shí)可能會(huì)導(dǎo)致解出現(xiàn)較大的誤差。
傳統(tǒng)方法是直接利用剛度折減[18]、單元截面參數(shù)折減[19]或彈性模量折減[20]等方法得到裂紋單元?jiǎng)偠染仃?。前者在非裂紋單元?jiǎng)偠染仃囍兄苯油ㄟ^(guò)折減系數(shù)與剛度矩陣的表征裂紋對(duì)剛度矩陣的影響，無(wú)法表征裂紋深度和位置對(duì)剛度矩陣影響。后兩者的實(shí)質(zhì)是通過(guò)截面慣性矩、彈性模量的變化反映裂紋單元的抗彎剛度的變化，再通過(guò)抗彎剛度與形函數(shù)的二次導(dǎo)乘積的定積分得到裂紋單元?jiǎng)偠染仃嚒Ｈ鏢hen等[21-23]通過(guò)指數(shù)型函數(shù)、階躍函數(shù)來(lái)描述抗彎剛度變化，這類方法認(rèn)為形函數(shù)是始終不變的。
事實(shí)上，裂紋會(huì)影響裂紋附近一定距離的應(yīng)力場(chǎng)變化，但這一變化不會(huì)直觀對(duì)應(yīng)構(gòu)件截面慣性矩的改變。且構(gòu)件的彈性模量應(yīng)只與材料相關(guān)，折減彈性模量物理意義不明確，則裂紋對(duì)單元?jiǎng)偠鹊挠绊懣烧J(rèn)為主要是改變了形函數(shù)。本文以Euler-Bernoulli梁為研究對(duì)象，在Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧?，形函?shù)的物理意義為兩端固定梁只產(chǎn)生一個(gè)單位位移(或轉(zhuǎn)角)時(shí)梁彎曲成的形狀[24]。有限元方法中，位移場(chǎng)用形函數(shù)和結(jié)點(diǎn)位移的乘積表示，裂紋對(duì)單元位移場(chǎng)的影響，必然導(dǎo)致裂紋單元形函數(shù)的改變。
有限元分析中通常利用位移場(chǎng)的改變?nèi)ッ枋鲂魏瘮?shù)的變化。Babuska等[25]利用無(wú)裂紋單元形函數(shù)的單位分解性質(zhì)提出了單位分解有限元法，通過(guò)附加位移自由度向量描述裂紋單元位移場(chǎng)，裂紋對(duì)位移場(chǎng)的影響通過(guò)增強(qiáng)函數(shù)和無(wú)裂紋單元形函數(shù)的乘積產(chǎn)生作用[26-27]。值得注意的是，這種方法丟失了常規(guī)有限元的插值屬性，會(huì)把有限元中的邊界條件應(yīng)用復(fù)雜化，但增強(qiáng)函數(shù)這一概念極大促進(jìn)了擴(kuò)展有限元和廣義有限元方法的發(fā)展[28]。通過(guò)增加額外自由度，廣義有限元法有效描述了裂紋單元位移場(chǎng)函數(shù)變化[29]，并給出了廣義形函數(shù)的具體形式，但廣義有限元法需要設(shè)置與局部加強(qiáng)函數(shù)數(shù)目相等的額外自由度，這種依賴額外自由度的方法會(huì)造成線性相關(guān)性問(wèn)題[30]，部分基于增加額外自由度的有限元方法還需考慮單元交界面的連續(xù)性問(wèn)題[31]。針對(duì)該問(wèn)題，Tian等[32]提出了無(wú)額外自由度廣義有限元法，該方法中結(jié)點(diǎn)自由度與標(biāo)準(zhǔn)有限元相同，增強(qiáng)函數(shù)直接附加在形函數(shù)上。
本文以單邊貫穿非擴(kuò)展Euler-Bernoulli開(kāi)口裂紋梁為研究對(duì)象，本文研究的最終目標(biāo)是通過(guò)修正形函數(shù)，再利用抗彎剛度與修正后形函數(shù)的二次導(dǎo)乘積最終得到裂紋單元?jiǎng)偠染仃嚒Ｊ紫雀鶕?jù)無(wú)額外自由度和增強(qiáng)函數(shù)的思想得到Euler-Bernoulli裂紋單元位移場(chǎng)，再通過(guò)位移場(chǎng)得到裂紋單元的形函數(shù)，最后利用虛位移原理導(dǎo)出Euler-Bernoulli裂紋的單元?jiǎng)偠染仃?。本文將討論裂紋單元形函數(shù)的性質(zhì)和所提單元?jiǎng)偠染仃嚨挠行?，研究結(jié)果將為基于靜力分析和振動(dòng)分析的損傷識(shí)別方法提供新的研究思路。
1 Euler-Bernoulli裂紋梁?jiǎn)卧灰茍?chǎng)函數(shù)
單位分解有限元法通過(guò)在有限元插值函數(shù)中引入不連續(xù)函數(shù)來(lái)考慮裂紋的影響，其位移場(chǎng)函數(shù)uh(x)是傳統(tǒng)有限元位移場(chǎng)函數(shù)uFE(x)和增強(qiáng)位移函數(shù)uenh(x)之和[25]，如式(1)所示：
(1)
式中：ui是傳統(tǒng)有限元i結(jié)點(diǎn)位移自由度向量，Ni(x)是與i結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的形函數(shù)；ak是附加位移自由度向量，m為增強(qiáng)結(jié)點(diǎn)數(shù)，ψ(x)是增強(qiáng)k結(jié)點(diǎn)形函數(shù)的支撐域內(nèi)的增強(qiáng)函數(shù)。Nk(x)是與k結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的形函數(shù)。利用形函數(shù)單位分解的性質(zhì)，ψ(x)與形函數(shù)Nk(x)相乘可以全局或局部表征裂紋對(duì)uh(x)的影響。但增強(qiáng)函數(shù)ψ(x)依賴于附加自由度ak，附加自由度會(huì)導(dǎo)致求解規(guī)模增大等問(wèn)題。針對(duì)此問(wèn)題，Tian等提出了無(wú)額外自由度的有限元方法，其位移場(chǎng)函數(shù)如式(2)所示。
(2)
上述無(wú)額外自由度的有限元方法形函數(shù)為NiG(x)=∑Ni(x)∑ψ(x)，而增強(qiáng)函數(shù)ψ(x)需要由定義在該結(jié)點(diǎn)附近的單元結(jié)點(diǎn)進(jìn)行構(gòu)造，計(jì)算比較復(fù)雜。結(jié)合單位分解有限元單元增強(qiáng)函數(shù)和無(wú)額外自由度的想法，本文Euler-Bernoulli梁裂紋單元計(jì)算模型如圖1所示。
圖1中，le代表裂紋單元的長(zhǎng)度，x0代表裂紋位置與單元i結(jié)點(diǎn)的距離(x0∈[0,le])，a代表裂紋的深度，h代表計(jì)算單元高度，b代表計(jì)算單元寬度，ui，θi，uj，θj分別代表i，j結(jié)點(diǎn)位移和轉(zhuǎn)角，Vi，Mi，Vj，Mj分別代表i，j結(jié)點(diǎn)的豎向力和彎矩，假定i，j結(jié)點(diǎn)處所示的位移與轉(zhuǎn)角均為正方向，增強(qiáng)函數(shù)ψ(x)只“附加”在本單元的i，j結(jié)點(diǎn)上，結(jié)合馮新等[33-34]的研究，梁?jiǎn)卧灰茍?chǎng)uh(x)用式(3)表示。
圖1 Euler-Bernoulli梁裂紋單元分析模型Fig.1 Euler-Bernoulli beam crack element analysis model
(3)
式中，F(xiàn)0=EI0表征未損傷構(gòu)件的抗彎剛度，E為彈性模量，I0為完好梁截面的截面慣性矩。式中H(·)為Heaviside函數(shù)，C1，C2，C3，C4與梁的邊界條件相關(guān)。V是表征裂紋深度a的函數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[33-35]，其具體形式如式(4)所示。
35.84s3+13.125s4)
(4)
式中，s=a/h，代表裂縫深度的歸一化參數(shù)。
將式(3)轉(zhuǎn)化為Euler-Bernoulli裂紋的撓度表達(dá)式如下
(F0C1Vx0-C2V)xH(x-x0)+
(5)
相較式(3)，式(5)清晰的表明位移場(chǎng)函數(shù)uh(x)是傳統(tǒng)非裂紋單元位移場(chǎng)Hermitian三次多項(xiàng)式F0(C1x3/6+C2x2/2+C3x+C4)與增強(qiáng)位移函數(shù)g(x)= (F0C1Vx0-C2V)xH(x-x0)-(F0C1Vx02-C2Vx0)H(x-x0)之和?？赏ㄟ^(guò)修改g(x)以適用多裂紋及更符合裂紋構(gòu)件工程實(shí)際的情形。由式(5)知，如圖1所示的單元裂紋左端的位移場(chǎng)用Hermitian三次多項(xiàng)式擬合，而在右端位移場(chǎng)則由Hermitian三次多項(xiàng)式和g(x)共同擬合。g(x)與裂紋位置x0和裂紋深度a均有關(guān)系。值得注意的是，裂紋影響Hermitian三次多項(xiàng)式系數(shù)值，以適應(yīng)增強(qiáng)函數(shù)在裂紋處出現(xiàn)的跳躍情形。
2 Euler-Bernoulli裂紋梁的形函數(shù)和單元?jiǎng)偠染仃?/h2>2.1 Euler-Bernoulli裂紋梁的形函數(shù)
不引入額外自由度，根據(jù)圖1所示的計(jì)算模型，邊界條件可以寫(xiě)為
x=0,uh(0)=ui,uh′(0)=θi
x=le,uh(le)=uj,uh′(le)=θj
(6)
假定i，j結(jié)點(diǎn)的位移ui，uj與轉(zhuǎn)角θi，θj為已知，則由上述邊界條件可以求出式(3)中的常數(shù)C1，C2，C3，C4如下
(7)
其中
(8)
(9)
Euler-Bernoulli梁非裂紋單元的形函數(shù)如式(10)所示。
(10)
式(10)和式(9)對(duì)比知，裂紋單元形函數(shù)曲線Nie(x)(i=1,2,3,4)是三次多項(xiàng)式曲線fi(x3,x2,x)與函數(shù)ψi(x)的疊加。fi(x3,x2,x)與Ni(x)具有相同的函數(shù)階次，但函數(shù)fi(x3,x2,x)的系數(shù)與裂紋位置x0和表征裂紋深度影響的參數(shù)V有關(guān)，其主要原因是適應(yīng)函數(shù)ψi(x)在裂紋處出現(xiàn)的跳躍情形。函數(shù)ψi(x)主要表現(xiàn)裂紋對(duì)形函數(shù)曲線Nie(x)的附加影響，這一特征通過(guò)線性函數(shù)V(x-x0)和階躍函數(shù)H(x-x0)的乘積實(shí)現(xiàn)。
當(dāng)x分別為0和le時(shí)，代入式(9)得到的計(jì)算結(jié)果和式(10)計(jì)算的結(jié)果一致，表明在單元邊界上裂紋引起的位移和轉(zhuǎn)角為0，式(9)的形函數(shù)并不改變式(10)的邊界值，自然滿足單元截面連續(xù)性，無(wú)需任何手段來(lái)解決單元交界面不連續(xù)問(wèn)題。
值得注意的是，當(dāng)裂紋深度a=0時(shí)，表征裂紋深度的參數(shù)V=0，式(9)和式(10)等價(jià)，式(10)只是式(9)的一個(gè)特例。即當(dāng)裂紋深度a=0時(shí)，Nie(x)=Ni(x)(i=1,2,3,4;x∈[0,le])。
式(3)可進(jìn)一步寫(xiě)為
(11)
2.2 單元?jiǎng)偠染仃?/h3>
如圖1所示的Euler-Bernuolli裂紋梁?jiǎn)卧?，假定該單元在單元結(jié)點(diǎn)力Vi，Mi，Vj，Mj作用下處于平衡狀態(tài)。此時(shí)梁?jiǎn)卧膿锨€如式(11)所示，在此平衡狀態(tài)下，給該單元任一虛位移δu(x)，則單元i，j結(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生虛位移δui，δθi，δuj，δθj。根據(jù)虛位移原理有
(12)
式中，δu(x)=δδeTNeT，I為截面慣性矩，將上式寫(xiě)為矩陣形式如式(13)所示。
(13)
式中，F(xiàn)e=(Vi，Mi，Vj，Mj)，結(jié)合式(11)～(13)得到單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算公式如式(14)所示。
(14)
本文認(rèn)為裂紋對(duì)彈性模量E和截面慣性矩I沒(méi)有影響，式(14)中的抗彎剛度EI(x)為常數(shù)，再將式(9)帶入式(14)就可得到裂紋單元?jiǎng)偠确匠獭Ｖ档米⒁獾氖?，根?jù)Heaviside函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，式(14)計(jì)算過(guò)程中需要計(jì)算Dirac函數(shù)平方的積分。但Dirac函數(shù)平方的積分并沒(méi)有解析解，根據(jù)Dirac函數(shù)的定義，得到Dirac函數(shù)的乘積可表示如式(15)所示。
(15)
同樣，將式(15)與x2、x在單元內(nèi)的積分以及式(15)自身在單元內(nèi)的積分計(jì)算結(jié)果列為式(16)，并令三者的值分別為α1、α3和α2。
(16)
再令
(17)
最終得到裂紋梁?jiǎn)卧鲃偠软?xiàng)如式(18)所示。
(18)
Euler-Bernoulli梁裂紋單元?jiǎng)偠染仃嚾缡?19)所示
(19)
3 裂紋參數(shù)對(duì)形函數(shù)的影響
3.1 裂紋位置的影響
假定構(gòu)件長(zhǎng)L為43 mm，構(gòu)件高h(yuǎn)為10 mm。單元長(zhǎng)度le=L。圖2給出了裂紋深度a=5 mm時(shí)，裂紋位置x0從i結(jié)點(diǎn)移動(dòng)到j(luò)結(jié)點(diǎn)Nie(x)曲線變化情況。圖中x/L表征歸一化的位置(下同)，x0/L表示歸一化的裂紋位置(下同)。
3.2 裂紋深度的影響
同等構(gòu)件長(zhǎng)度和截面高度條件下，裂紋位置x0取10 mm，圖3給出了裂紋深度a從0變化到9 mm時(shí)Nie(x)曲線的變化情況，圖中a/h代表歸一化的裂紋深度。為方便查看Nie(x)曲線在不同裂紋深度a下的幅值變化范圍，在圖3中一并給出了其在平面xoNie上的投影情況。
4 動(dòng)靜力分析驗(yàn)證
為說(shuō)明本文修改形函數(shù)的正確性和裂紋單元?jiǎng)偠染仃嚨挠行?，分別討論兩者在實(shí)際構(gòu)件靜力分析和振動(dòng)分析中的應(yīng)用。
4.1 靜力撓度分析
結(jié)構(gòu)撓度是橋梁檢測(cè)中常用的損傷識(shí)別指標(biāo)，其主要原理是通過(guò)損傷前后結(jié)構(gòu)撓度的變化對(duì)損傷進(jìn)行定量和定性分析。本文將以二維純彎簡(jiǎn)支梁和懸臂端承受集中荷載的懸臂梁為例來(lái)說(shuō)明本文所提方法對(duì)結(jié)構(gòu)撓度的擬合情況，簡(jiǎn)支梁和懸臂梁計(jì)算模型如圖4所示，圖中xc為裂紋在構(gòu)件中的位置。
圖4 二維簡(jiǎn)支裂紋梁和懸臂裂紋梁模型Fig.4 The 2-D simply supported and 2-D cantilevered beams with crack
為說(shuō)明本文的有效性，同樣定義撓度相對(duì)誤差Re表征擬合效果的優(yōu)劣。以u(píng)real(x)表示通過(guò)有限元軟件ABAQUS仿真得到的構(gòu)件撓度曲線，uiden(x)表示利用式(11)的得到的構(gòu)件撓度曲線，其具體表達(dá)式如下。
(20)
如圖5所示，利用商業(yè)軟件ABAQUS建立了Euler-Bernuolli梁的二維有限元模型，并通過(guò)數(shù)值分析方法進(jìn)行了計(jì)算。簡(jiǎn)支梁和懸臂梁模型均采用CPS4R單元。其中，簡(jiǎn)支梁模型整體尺寸為0.5 mm，懸臂梁網(wǎng)格的橫向尺寸為5 mm，豎向尺寸為1 mm。裂紋通過(guò)ABAQUS直接指派，考慮到裂紋尖端處應(yīng)力場(chǎng)的奇異性，中間結(jié)點(diǎn)參數(shù)設(shè)為0.27，裂紋尖端退化單元設(shè)置為重復(fù)節(jié)點(diǎn)。裂紋部分的設(shè)置如圖5(c)所示。
(a) 簡(jiǎn)支梁網(wǎng)格劃分模型
4.1.1 純彎簡(jiǎn)支梁撓度分析
如圖4所示簡(jiǎn)支梁，簡(jiǎn)支長(zhǎng)度L為43 mm，構(gòu)件高度h為10 mm。彈性模量E=203.8 GPa，泊松比υ=0.3。兩端施加大小為1 075 N·m的彎矩M。裂紋位置xc分別取5 mm，10 mm，15 mm，21.5 mm。裂紋深度a分別取2 mm，3.5 mm，5 mm。
整個(gè)簡(jiǎn)支梁作為一個(gè)單元，根據(jù)裂紋位置和深度由式(9)得到單元形函數(shù)Nie(x)，單元結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和位移由有限元軟件ABAQUS給出，根據(jù)式(11)得到本文撓度計(jì)算值uiden(x)。本文撓度計(jì)算值與有限元仿真撓度計(jì)算值比較如圖6所示。
(a) xc=5 mm
圖6表明不同裂縫位置處，隨著裂紋深度a的增大，有限元仿真值與本文計(jì)算值整體吻合越好，裂縫附近擬合效果一般，且整體來(lái)看本文計(jì)算值在裂紋附近范圍小于有限元仿真值。隨著裂紋位置xc的增加，有限元仿真值與本文計(jì)算值的擬合效果的變化情況不明顯。為準(zhǔn)確描述擬合效果隨裂紋位置xc的變化，將上述工況的相對(duì)誤差計(jì)算結(jié)果列于表1中。
表1表明，同等裂紋深度下，越靠近支座處，有限元仿真撓度值和本文計(jì)算值的相對(duì)誤差越大，越靠近跨中，有限元仿真撓度值和本文計(jì)算值的相對(duì)誤差越小。當(dāng)xc=5 mm時(shí)，相對(duì)誤差分別為1.443%，1.714%以及1.496%。而當(dāng)裂紋位于跨中(xc=21.5 mm)時(shí)，相對(duì)誤差分別為0.862%，0.973%和0.731%。但表1相對(duì)誤差最大值為1.714%，可以認(rèn)為本文值與仿真值吻合很好。
表1 各工況條件下簡(jiǎn)支梁的撓度相對(duì)誤差計(jì)算Tab.1 RE of simply supported beam with different conditions
4.1.2 懸臂梁撓度分析
如圖4所示懸臂梁，該懸臂梁高h(yuǎn)為20 mm。長(zhǎng)L為300 mm，彈性模量E=203.8 GPa，泊松比v=0.3，裂縫距固定端距離xc分別為30 mm，80 mm，100 mm，150 mm，裂縫深度a分別為4 mm，7 mm，10 mm，在自由端承受大小為100 N的集中力，方向豎直向下。
整個(gè)懸臂梁作為一個(gè)單元，根據(jù)裂紋位置和深度由式(9)得到單元形函數(shù)Nie(x)，單元結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和位移由有限元軟件ABAQUS給出，根據(jù)式(11)得到本文撓度計(jì)算值uiden(x)，將本文撓度計(jì)算值與有限元仿真撓度計(jì)算值比較如圖7所示。
(a) xc=30 mm
由圖7知，隨著裂紋向懸臂端移動(dòng)，裂紋對(duì)懸臂梁撓度的影響越小。整體來(lái)看，有限元仿真值與本文計(jì)算值整體吻合很好。同樣，將不同工況下的撓度值代入式(20)中量化，計(jì)算結(jié)果列于表2中。
表2 各工況條件下懸臂梁的相對(duì)誤差計(jì)算Tab.2 RE of cantilever beam with different conditions
整體來(lái)看，裂紋越深，本文方法擬合效果越好。越靠近支座處，擬合效果越差。與簡(jiǎn)支梁不同的是，裂紋深度a為4 mm時(shí)，懸臂梁撓度曲線在裂紋處不再出現(xiàn)突變的情況，而是隨著裂紋位置的不同呈現(xiàn)出形狀相似、各點(diǎn)位移值差距小的特征。
a=4 mm(a/h=0.2)條件下，不同裂紋位置xc時(shí)，懸臂梁自由端位移最大差值為0.496 mm，而a=10 mm(a/h=0.5)條件下，其值為3.666 mm。這表明淺裂紋(a/h≤0.2)條件下，基于靜力撓度的損傷識(shí)別很難對(duì)結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行定位和分析，基于測(cè)點(diǎn)撓度變化分析的傳統(tǒng)損傷識(shí)別方法更適合裂紋深度更大的工程實(shí)際。
4.2 裂紋梁振動(dòng)分析
為了驗(yàn)證單元?jiǎng)偠染仃嚨挠行?，需要?duì)Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧駝?dòng)分析。假定裂紋不引起質(zhì)量矩陣的變化，截面為等截面時(shí)，沿梁長(zhǎng)方向梁線密度ρA為常量，單元長(zhǎng)度為le，Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧馁|(zhì)量矩陣為：
(21)
根據(jù)裂紋幾何參數(shù)，由式(19)和式(21)分別求得單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧|(zhì)量矩陣，將所有單元的單元?jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣分別進(jìn)行疊加，以形成總體剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M，結(jié)構(gòu)的固有頻率可以通過(guò)下式求得
|K-ω2M|=0
(22)
式中，ω為結(jié)構(gòu)的圓頻率，由圓頻率ω可得結(jié)構(gòu)的自振頻率f如下
f=ω/2π
(23)
構(gòu)件選取Sinha等用于試驗(yàn)的懸臂鋁制梁，彈性模量E為69.79 GN/m2，質(zhì)量密度ρ為2 600 kg/m3，泊松比v為0.33，梁長(zhǎng)L為1 m，寬b為0.05 m，高h(yuǎn)為0.025 m。根據(jù)試驗(yàn)過(guò)程，將懸臂邊界條件轉(zhuǎn)化為豎向彈簧和旋轉(zhuǎn)彈簧，其中豎向支撐剛度kt為26.6 MN/m，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度kθ為150 kNm/rad，計(jì)算模型如下圖所示。
圖8中不帶圈的數(shù)字代表結(jié)點(diǎn)號(hào)，帶圈數(shù)字代表單元號(hào)。計(jì)算工況根據(jù)Sinha等的工況選取以方便比較計(jì)算結(jié)果。同樣，懸臂梁分為16個(gè)單元，共34個(gè)自由度，得到不同裂縫深度條件下的鋁制懸臂梁的固有頻率如表3所示(表中試驗(yàn)值來(lái)自文獻(xiàn)[23])。
圖8 懸臂裂紋梁有限元計(jì)算模型Fig.8 The FE model for the cantilever cracked beam
表3 不同裂紋深度下懸臂梁的固有振動(dòng)頻率Tab.3 The natural frequencies of the cantilever beam with different depth
表4可知，a/h<0.4時(shí)，本文計(jì)算值和Sinha等的計(jì)算值小于結(jié)構(gòu)的實(shí)際頻率；而a/h=0.48時(shí)，本文計(jì)算值和Sinha等的計(jì)算值大于結(jié)構(gòu)的實(shí)際頻率；a/h<0.32時(shí)，本文求解一階固有頻率的誤差小于Sinha等利用抗彎剛度EI(x)折減得到一階固有頻率的誤差。當(dāng)裂紋深度為a/h=0.48時(shí)，本文求解一階固有頻率的誤差為0.936%，大于Sinha等的計(jì)算結(jié)果0.863%，但本文一階固有頻率值的變化接近試驗(yàn)測(cè)得的一階固有頻率值的變化。因此可以認(rèn)為本文求解結(jié)構(gòu)固有頻率在a/h<0.5時(shí)計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，計(jì)算結(jié)果較文獻(xiàn)[23]的方法更好。
表4 懸臂梁的第一階固有頻率兩種求解方法對(duì)比Tab.4 Comparison of two methods for solving 1st natural frequency of cantilever beam
下面具體討論裂紋位置和深度對(duì)裂紋構(gòu)件固有頻率的基本影響以分析懸臂梁的自由振動(dòng)特性和剛度矩陣的正確性，以fc表示裂紋構(gòu)件的固有頻率，fib表示完整構(gòu)件的固有頻率，設(shè)置參數(shù)fr表征裂縫位置和深度對(duì)構(gòu)件頻率的影響，表達(dá)如下。
fr=1-fc/fib
(24)
圖9給出了上述懸臂構(gòu)件的前三階固有頻率隨著裂紋位置、深度的變化情況。
(a) 懸臂裂紋梁的一階固有頻率變化率
圖9表明在裂紋位置相同條件下裂紋越深，其fr值越大，固有頻率降低越明顯。結(jié)構(gòu)一階固有頻率呈現(xiàn)單調(diào)變化，裂紋距離固定端越近，裂紋越深fr值越大，反之越小。而結(jié)構(gòu)二階、三階固有頻率的fr值并不隨著裂紋位置的改變呈單調(diào)性變化，二階固有頻率fr值出現(xiàn)兩處局部最大值，三階固有頻率fr值出現(xiàn)三處局部最大值。上述計(jì)算結(jié)果與已有文獻(xiàn)[35]中對(duì)懸臂構(gòu)件前三階段的振動(dòng)分析結(jié)論保持一致，證明了本文裂紋單元?jiǎng)偠染仃嚨恼_性和有效性。
5 結(jié) 論
本文根據(jù)單位分解有限元思想，把增強(qiáng)函數(shù)附加在單元結(jié)點(diǎn)上，在不增加自由度的基礎(chǔ)的給出了Euler-Bernoulli裂紋梁?jiǎn)卧魏瘮?shù)和剛度矩陣的具體形式，并進(jìn)行了靜力分析驗(yàn)證和振動(dòng)分析驗(yàn)證，主要結(jié)論如下：
(1) 該形函數(shù)能直觀表現(xiàn)裂紋位置和深度的影響。裂紋在該形函數(shù)中表現(xiàn)為裂紋處幅值的突變，裂紋位置、深度與該形函數(shù)呈非線性關(guān)系。且該形函數(shù)自動(dòng)滿足單元協(xié)調(diào)條件，當(dāng)裂紋深度為0時(shí)，該形函數(shù)退化為傳統(tǒng)形函數(shù)。
(2) 通過(guò)簡(jiǎn)支開(kāi)口裂紋梁和懸臂開(kāi)口裂紋梁數(shù)值仿真，該形函數(shù)能準(zhǔn)確擬合單元位移場(chǎng)。對(duì)于裂紋構(gòu)件，裂紋深度越大，裂紋位置越遠(yuǎn)離結(jié)點(diǎn)，擬合效果就越好。
(3) 通過(guò)懸臂開(kāi)口裂紋梁自由振動(dòng)分析，本文所提的剛度矩陣模型能準(zhǔn)確的描述開(kāi)口裂紋對(duì)結(jié)構(gòu)頻率的影響。
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徐 訓(xùn)，朱亞杉，吳 浩
(武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，武漢 430070)
裂紋是土木工程結(jié)構(gòu)最常見(jiàn)的損傷形式，裂紋會(huì)造成結(jié)構(gòu)局部剛度降低，影響結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。帶裂紋構(gòu)件的受力特性可采用有限元軟件進(jìn)行研究，如ABAQUS常用無(wú)厚度的Cohesive單元對(duì)裂紋進(jìn)行模擬[1-2]，也可用指派裂紋或VCCT(virtual crack closure technique)等方法進(jìn)行裂紋模擬[3-4]，上述方法在裂紋處需要進(jìn)行網(wǎng)格加密以適應(yīng)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的奇異性，這將大幅增加計(jì)算自由度。工程中以結(jié)構(gòu)固有頻率或模型修正等為代表的損傷識(shí)別方法要求裂紋模型能準(zhǔn)確的描述損傷特性[5-7]，并具有模型簡(jiǎn)單、參數(shù)少的特點(diǎn)。因此，以結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別為導(dǎo)向的裂紋梁有限元建模問(wèn)題仍然是充滿挑戰(zhàn)的課題。
裂紋單元?jiǎng)偠染仃嚨慕⑹怯邢拊治龅年P(guān)鍵。目前裂紋單元?jiǎng)偠冉⒎椒ㄖ饕ɑ趹?yīng)變能釋放的方法和傳統(tǒng)方法。在基于應(yīng)變能釋放的方法中，裂紋產(chǎn)生的彈性應(yīng)變能被加到非裂紋單元的彈性應(yīng)變能中[8]，單元?jiǎng)偠染仃嚳刹捎萌岫扔?jì)算法和直接剛度計(jì)算法兩種方法。柔度計(jì)算法是根據(jù)裂紋單元的應(yīng)變能，應(yīng)用卡式第二定理先推導(dǎo)柔度矩陣，再通過(guò)傳遞矩陣或直接求逆等方法得到裂紋單元的剛度矩陣，Papadopoulos等[9-11]對(duì)一維裂紋梁的剛度進(jìn)行了研究。此外，文獻(xiàn)[12-14]對(duì)其在二維有限元中的應(yīng)用也進(jìn)行了討論。直接剛度計(jì)算法是直接利用卡式第一定理求得裂紋單元的剛度矩陣，該方法由Potirniche等[15]推導(dǎo)出二維裂紋單元，然后由Hall等[16]推導(dǎo)出帶有單邊裂紋的三維裂紋單元。Yazdi等[17]充分比較了基于應(yīng)變能釋放的兩種方法，他們的研究表明用卡式第一定理生成裂紋單元?jiǎng)偠染仃嚨牟蛔阒?，也證明了由Potirniche等[16]提出的方法在裂紋寬度較大時(shí)可能會(huì)導(dǎo)致解出現(xiàn)較大的誤差。
傳統(tǒng)方法是直接利用剛度折減[18]、單元截面參數(shù)折減[19]或彈性模量折減[20]等方法得到裂紋單元?jiǎng)偠染仃?。前者在非裂紋單元?jiǎng)偠染仃囍兄苯油ㄟ^(guò)折減系數(shù)與剛度矩陣的表征裂紋對(duì)剛度矩陣的影響，無(wú)法表征裂紋深度和位置對(duì)剛度矩陣影響。后兩者的實(shí)質(zhì)是通過(guò)截面慣性矩、彈性模量的變化反映裂紋單元的抗彎剛度的變化，再通過(guò)抗彎剛度與形函數(shù)的二次導(dǎo)乘積的定積分得到裂紋單元?jiǎng)偠染仃嚒Ｈ鏢hen等[21-23]通過(guò)指數(shù)型函數(shù)、階躍函數(shù)來(lái)描述抗彎剛度變化，這類方法認(rèn)為形函數(shù)是始終不變的。
事實(shí)上，裂紋會(huì)影響裂紋附近一定距離的應(yīng)力場(chǎng)變化，但這一變化不會(huì)直觀對(duì)應(yīng)構(gòu)件截面慣性矩的改變。且構(gòu)件的彈性模量應(yīng)只與材料相關(guān)，折減彈性模量物理意義不明確，則裂紋對(duì)單元?jiǎng)偠鹊挠绊懣烧J(rèn)為主要是改變了形函數(shù)。本文以Euler-Bernoulli梁為研究對(duì)象，在Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧?，形函?shù)的物理意義為兩端固定梁只產(chǎn)生一個(gè)單位位移(或轉(zhuǎn)角)時(shí)梁彎曲成的形狀[24]。有限元方法中，位移場(chǎng)用形函數(shù)和結(jié)點(diǎn)位移的乘積表示，裂紋對(duì)單元位移場(chǎng)的影響，必然導(dǎo)致裂紋單元形函數(shù)的改變。
有限元分析中通常利用位移場(chǎng)的改變?nèi)ッ枋鲂魏瘮?shù)的變化。Babuska等[25]利用無(wú)裂紋單元形函數(shù)的單位分解性質(zhì)提出了單位分解有限元法，通過(guò)附加位移自由度向量描述裂紋單元位移場(chǎng)，裂紋對(duì)位移場(chǎng)的影響通過(guò)增強(qiáng)函數(shù)和無(wú)裂紋單元形函數(shù)的乘積產(chǎn)生作用[26-27]。值得注意的是，這種方法丟失了常規(guī)有限元的插值屬性，會(huì)把有限元中的邊界條件應(yīng)用復(fù)雜化，但增強(qiáng)函數(shù)這一概念極大促進(jìn)了擴(kuò)展有限元和廣義有限元方法的發(fā)展[28]。通過(guò)增加額外自由度，廣義有限元法有效描述了裂紋單元位移場(chǎng)函數(shù)變化[29]，并給出了廣義形函數(shù)的具體形式，但廣義有限元法需要設(shè)置與局部加強(qiáng)函數(shù)數(shù)目相等的額外自由度，這種依賴額外自由度的方法會(huì)造成線性相關(guān)性問(wèn)題[30]，部分基于增加額外自由度的有限元方法還需考慮單元交界面的連續(xù)性問(wèn)題[31]。針對(duì)該問(wèn)題，Tian等[32]提出了無(wú)額外自由度廣義有限元法，該方法中結(jié)點(diǎn)自由度與標(biāo)準(zhǔn)有限元相同，增強(qiáng)函數(shù)直接附加在形函數(shù)上。
本文以單邊貫穿非擴(kuò)展Euler-Bernoulli開(kāi)口裂紋梁為研究對(duì)象，本文研究的最終目標(biāo)是通過(guò)修正形函數(shù)，再利用抗彎剛度與修正后形函數(shù)的二次導(dǎo)乘積最終得到裂紋單元?jiǎng)偠染仃嚒Ｊ紫雀鶕?jù)無(wú)額外自由度和增強(qiáng)函數(shù)的思想得到Euler-Bernoulli裂紋單元位移場(chǎng)，再通過(guò)位移場(chǎng)得到裂紋單元的形函數(shù)，最后利用虛位移原理導(dǎo)出Euler-Bernoulli裂紋的單元?jiǎng)偠染仃?。本文將討論裂紋單元形函數(shù)的性質(zhì)和所提單元?jiǎng)偠染仃嚨挠行?，研究結(jié)果將為基于靜力分析和振動(dòng)分析的損傷識(shí)別方法提供新的研究思路。
1 Euler-Bernoulli裂紋梁?jiǎn)卧灰茍?chǎng)函數(shù)
單位分解有限元法通過(guò)在有限元插值函數(shù)中引入不連續(xù)函數(shù)來(lái)考慮裂紋的影響，其位移場(chǎng)函數(shù)uh(x)是傳統(tǒng)有限元位移場(chǎng)函數(shù)uFE(x)和增強(qiáng)位移函數(shù)uenh(x)之和[25]，如式(1)所示：
(1)
式中：ui是傳統(tǒng)有限元i結(jié)點(diǎn)位移自由度向量，Ni(x)是與i結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的形函數(shù)；ak是附加位移自由度向量，m為增強(qiáng)結(jié)點(diǎn)數(shù)，ψ(x)是增強(qiáng)k結(jié)點(diǎn)形函數(shù)的支撐域內(nèi)的增強(qiáng)函數(shù)。Nk(x)是與k結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的形函數(shù)。利用形函數(shù)單位分解的性質(zhì)，ψ(x)與形函數(shù)Nk(x)相乘可以全局或局部表征裂紋對(duì)uh(x)的影響。但增強(qiáng)函數(shù)ψ(x)依賴于附加自由度ak，附加自由度會(huì)導(dǎo)致求解規(guī)模增大等問(wèn)題。針對(duì)此問(wèn)題，Tian等提出了無(wú)額外自由度的有限元方法，其位移場(chǎng)函數(shù)如式(2)所示。
(2)
上述無(wú)額外自由度的有限元方法形函數(shù)為NiG(x)=∑Ni(x)∑ψ(x)，而增強(qiáng)函數(shù)ψ(x)需要由定義在該結(jié)點(diǎn)附近的單元結(jié)點(diǎn)進(jìn)行構(gòu)造，計(jì)算比較復(fù)雜。結(jié)合單位分解有限元單元增強(qiáng)函數(shù)和無(wú)額外自由度的想法，本文Euler-Bernoulli梁裂紋單元計(jì)算模型如圖1所示。
圖1中，le代表裂紋單元的長(zhǎng)度，x0代表裂紋位置與單元i結(jié)點(diǎn)的距離(x0∈[0,le])，a代表裂紋的深度，h代表計(jì)算單元高度，b代表計(jì)算單元寬度，ui，θi，uj，θj分別代表i，j結(jié)點(diǎn)位移和轉(zhuǎn)角，Vi，Mi，Vj，Mj分別代表i，j結(jié)點(diǎn)的豎向力和彎矩，假定i，j結(jié)點(diǎn)處所示的位移與轉(zhuǎn)角均為正方向，增強(qiáng)函數(shù)ψ(x)只“附加”在本單元的i，j結(jié)點(diǎn)上，結(jié)合馮新等[33-34]的研究，梁?jiǎn)卧灰茍?chǎng)uh(x)用式(3)表示。
圖1 Euler-Bernoulli梁裂紋單元分析模型Fig.1 Euler-Bernoulli beam crack element analysis model
(3)
式中，F(xiàn)0=EI0表征未損傷構(gòu)件的抗彎剛度，E為彈性模量，I0為完好梁截面的截面慣性矩。式中H(·)為Heaviside函數(shù)，C1，C2，C3，C4與梁的邊界條件相關(guān)。V是表征裂紋深度a的函數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[33-35]，其具體形式如式(4)所示。
35.84s3+13.125s4)
(4)
式中，s=a/h，代表裂縫深度的歸一化參數(shù)。
將式(3)轉(zhuǎn)化為Euler-Bernoulli裂紋的撓度表達(dá)式如下
(F0C1Vx0-C2V)xH(x-x0)+
(5)
相較式(3)，式(5)清晰的表明位移場(chǎng)函數(shù)uh(x)是傳統(tǒng)非裂紋單元位移場(chǎng)Hermitian三次多項(xiàng)式F0(C1x3/6+C2x2/2+C3x+C4)與增強(qiáng)位移函數(shù)g(x)= (F0C1Vx0-C2V)xH(x-x0)-(F0C1Vx02-C2Vx0)H(x-x0)之和?？赏ㄟ^(guò)修改g(x)以適用多裂紋及更符合裂紋構(gòu)件工程實(shí)際的情形。由式(5)知，如圖1所示的單元裂紋左端的位移場(chǎng)用Hermitian三次多項(xiàng)式擬合，而在右端位移場(chǎng)則由Hermitian三次多項(xiàng)式和g(x)共同擬合。g(x)與裂紋位置x0和裂紋深度a均有關(guān)系。值得注意的是，裂紋影響Hermitian三次多項(xiàng)式系數(shù)值，以適應(yīng)增強(qiáng)函數(shù)在裂紋處出現(xiàn)的跳躍情形。
2 Euler-Bernoulli裂紋梁的形函數(shù)和單元?jiǎng)偠染仃?/h2>2.1 Euler-Bernoulli裂紋梁的形函數(shù)
不引入額外自由度，根據(jù)圖1所示的計(jì)算模型，邊界條件可以寫(xiě)為
x=0,uh(0)=ui,uh′(0)=θi
x=le,uh(le)=uj,uh′(le)=θj
(6)
假定i，j結(jié)點(diǎn)的位移ui，uj與轉(zhuǎn)角θi，θj為已知，則由上述邊界條件可以求出式(3)中的常數(shù)C1，C2，C3，C4如下
(7)
其中
(8)
(9)
Euler-Bernoulli梁非裂紋單元的形函數(shù)如式(10)所示。
(10)
式(10)和式(9)對(duì)比知，裂紋單元形函數(shù)曲線Nie(x)(i=1,2,3,4)是三次多項(xiàng)式曲線fi(x3,x2,x)與函數(shù)ψi(x)的疊加。fi(x3,x2,x)與Ni(x)具有相同的函數(shù)階次，但函數(shù)fi(x3,x2,x)的系數(shù)與裂紋位置x0和表征裂紋深度影響的參數(shù)V有關(guān)，其主要原因是適應(yīng)函數(shù)ψi(x)在裂紋處出現(xiàn)的跳躍情形。函數(shù)ψi(x)主要表現(xiàn)裂紋對(duì)形函數(shù)曲線Nie(x)的附加影響，這一特征通過(guò)線性函數(shù)V(x-x0)和階躍函數(shù)H(x-x0)的乘積實(shí)現(xiàn)。
當(dāng)x分別為0和le時(shí)，代入式(9)得到的計(jì)算結(jié)果和式(10)計(jì)算的結(jié)果一致，表明在單元邊界上裂紋引起的位移和轉(zhuǎn)角為0，式(9)的形函數(shù)并不改變式(10)的邊界值，自然滿足單元截面連續(xù)性，無(wú)需任何手段來(lái)解決單元交界面不連續(xù)問(wèn)題。
值得注意的是，當(dāng)裂紋深度a=0時(shí)，表征裂紋深度的參數(shù)V=0，式(9)和式(10)等價(jià)，式(10)只是式(9)的一個(gè)特例。即當(dāng)裂紋深度a=0時(shí)，Nie(x)=Ni(x)(i=1,2,3,4;x∈[0,le])。
式(3)可進(jìn)一步寫(xiě)為
(11)
2.2 單元?jiǎng)偠染仃?/h3>
如圖1所示的Euler-Bernuolli裂紋梁?jiǎn)卧?，假定該單元在單元結(jié)點(diǎn)力Vi，Mi，Vj，Mj作用下處于平衡狀態(tài)。此時(shí)梁?jiǎn)卧膿锨€如式(11)所示，在此平衡狀態(tài)下，給該單元任一虛位移δu(x)，則單元i，j結(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生虛位移δui，δθi，δuj，δθj。根據(jù)虛位移原理有
(12)
式中，δu(x)=δδeTNeT，I為截面慣性矩，將上式寫(xiě)為矩陣形式如式(13)所示。
(13)
式中，F(xiàn)e=(Vi，Mi，Vj，Mj)，結(jié)合式(11)～(13)得到單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算公式如式(14)所示。
(14)
本文認(rèn)為裂紋對(duì)彈性模量E和截面慣性矩I沒(méi)有影響，式(14)中的抗彎剛度EI(x)為常數(shù)，再將式(9)帶入式(14)就可得到裂紋單元?jiǎng)偠确匠獭Ｖ档米⒁獾氖?，根?jù)Heaviside函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，式(14)計(jì)算過(guò)程中需要計(jì)算Dirac函數(shù)平方的積分。但Dirac函數(shù)平方的積分并沒(méi)有解析解，根據(jù)Dirac函數(shù)的定義，得到Dirac函數(shù)的乘積可表示如式(15)所示。
(15)
同樣，將式(15)與x2、x在單元內(nèi)的積分以及式(15)自身在單元內(nèi)的積分計(jì)算結(jié)果列為式(16)，并令三者的值分別為α1、α3和α2。
(16)
再令
(17)
最終得到裂紋梁?jiǎn)卧鲃偠软?xiàng)如式(18)所示。
(18)
Euler-Bernoulli梁裂紋單元?jiǎng)偠染仃嚾缡?19)所示
(19)
3 裂紋參數(shù)對(duì)形函數(shù)的影響
3.1 裂紋位置的影響
假定構(gòu)件長(zhǎng)L為43 mm，構(gòu)件高h(yuǎn)為10 mm。單元長(zhǎng)度le=L。圖2給出了裂紋深度a=5 mm時(shí)，裂紋位置x0從i結(jié)點(diǎn)移動(dòng)到j(luò)結(jié)點(diǎn)Nie(x)曲線變化情況。圖中x/L表征歸一化的位置(下同)，x0/L表示歸一化的裂紋位置(下同)。
3.2 裂紋深度的影響
同等構(gòu)件長(zhǎng)度和截面高度條件下，裂紋位置x0取10 mm，圖3給出了裂紋深度a從0變化到9 mm時(shí)Nie(x)曲線的變化情況，圖中a/h代表歸一化的裂紋深度。為方便查看Nie(x)曲線在不同裂紋深度a下的幅值變化范圍，在圖3中一并給出了其在平面xoNie上的投影情況。
4 動(dòng)靜力分析驗(yàn)證
為說(shuō)明本文修改形函數(shù)的正確性和裂紋單元?jiǎng)偠染仃嚨挠行?，分別討論兩者在實(shí)際構(gòu)件靜力分析和振動(dòng)分析中的應(yīng)用。
4.1 靜力撓度分析
結(jié)構(gòu)撓度是橋梁檢測(cè)中常用的損傷識(shí)別指標(biāo)，其主要原理是通過(guò)損傷前后結(jié)構(gòu)撓度的變化對(duì)損傷進(jìn)行定量和定性分析。本文將以二維純彎簡(jiǎn)支梁和懸臂端承受集中荷載的懸臂梁為例來(lái)說(shuō)明本文所提方法對(duì)結(jié)構(gòu)撓度的擬合情況，簡(jiǎn)支梁和懸臂梁計(jì)算模型如圖4所示，圖中xc為裂紋在構(gòu)件中的位置。
圖4 二維簡(jiǎn)支裂紋梁和懸臂裂紋梁模型Fig.4 The 2-D simply supported and 2-D cantilevered beams with crack
為說(shuō)明本文的有效性，同樣定義撓度相對(duì)誤差Re表征擬合效果的優(yōu)劣。以u(píng)real(x)表示通過(guò)有限元軟件ABAQUS仿真得到的構(gòu)件撓度曲線，uiden(x)表示利用式(11)的得到的構(gòu)件撓度曲線，其具體表達(dá)式如下。
(20)
如圖5所示，利用商業(yè)軟件ABAQUS建立了Euler-Bernuolli梁的二維有限元模型，并通過(guò)數(shù)值分析方法進(jìn)行了計(jì)算。簡(jiǎn)支梁和懸臂梁模型均采用CPS4R單元。其中，簡(jiǎn)支梁模型整體尺寸為0.5 mm，懸臂梁網(wǎng)格的橫向尺寸為5 mm，豎向尺寸為1 mm。裂紋通過(guò)ABAQUS直接指派，考慮到裂紋尖端處應(yīng)力場(chǎng)的奇異性，中間結(jié)點(diǎn)參數(shù)設(shè)為0.27，裂紋尖端退化單元設(shè)置為重復(fù)節(jié)點(diǎn)。裂紋部分的設(shè)置如圖5(c)所示。
(a) 簡(jiǎn)支梁網(wǎng)格劃分模型
4.1.1 純彎簡(jiǎn)支梁撓度分析
如圖4所示簡(jiǎn)支梁，簡(jiǎn)支長(zhǎng)度L為43 mm，構(gòu)件高度h為10 mm。彈性模量E=203.8 GPa，泊松比υ=0.3。兩端施加大小為1 075 N·m的彎矩M。裂紋位置xc分別取5 mm，10 mm，15 mm，21.5 mm。裂紋深度a分別取2 mm，3.5 mm，5 mm。
整個(gè)簡(jiǎn)支梁作為一個(gè)單元，根據(jù)裂紋位置和深度由式(9)得到單元形函數(shù)Nie(x)，單元結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和位移由有限元軟件ABAQUS給出，根據(jù)式(11)得到本文撓度計(jì)算值uiden(x)。本文撓度計(jì)算值與有限元仿真撓度計(jì)算值比較如圖6所示。
(a) xc=5 mm
圖6表明不同裂縫位置處，隨著裂紋深度a的增大，有限元仿真值與本文計(jì)算值整體吻合越好，裂縫附近擬合效果一般，且整體來(lái)看本文計(jì)算值在裂紋附近范圍小于有限元仿真值。隨著裂紋位置xc的增加，有限元仿真值與本文計(jì)算值的擬合效果的變化情況不明顯。為準(zhǔn)確描述擬合效果隨裂紋位置xc的變化，將上述工況的相對(duì)誤差計(jì)算結(jié)果列于表1中。
表1表明，同等裂紋深度下，越靠近支座處，有限元仿真撓度值和本文計(jì)算值的相對(duì)誤差越大，越靠近跨中，有限元仿真撓度值和本文計(jì)算值的相對(duì)誤差越小。當(dāng)xc=5 mm時(shí)，相對(duì)誤差分別為1.443%，1.714%以及1.496%。而當(dāng)裂紋位于跨中(xc=21.5 mm)時(shí)，相對(duì)誤差分別為0.862%，0.973%和0.731%。但表1相對(duì)誤差最大值為1.714%，可以認(rèn)為本文值與仿真值吻合很好。
表1 各工況條件下簡(jiǎn)支梁的撓度相對(duì)誤差計(jì)算Tab.1 RE of simply supported beam with different conditions
4.1.2 懸臂梁撓度分析
如圖4所示懸臂梁，該懸臂梁高h(yuǎn)為20 mm。長(zhǎng)L為300 mm，彈性模量E=203.8 GPa，泊松比v=0.3，裂縫距固定端距離xc分別為30 mm，80 mm，100 mm，150 mm，裂縫深度a分別為4 mm，7 mm，10 mm，在自由端承受大小為100 N的集中力，方向豎直向下。
整個(gè)懸臂梁作為一個(gè)單元，根據(jù)裂紋位置和深度由式(9)得到單元形函數(shù)Nie(x)，單元結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和位移由有限元軟件ABAQUS給出，根據(jù)式(11)得到本文撓度計(jì)算值uiden(x)，將本文撓度計(jì)算值與有限元仿真撓度計(jì)算值比較如圖7所示。
(a) xc=30 mm
由圖7知，隨著裂紋向懸臂端移動(dòng)，裂紋對(duì)懸臂梁撓度的影響越小。整體來(lái)看，有限元仿真值與本文計(jì)算值整體吻合很好。同樣，將不同工況下的撓度值代入式(20)中量化，計(jì)算結(jié)果列于表2中。
表2 各工況條件下懸臂梁的相對(duì)誤差計(jì)算Tab.2 RE of cantilever beam with different conditions
整體來(lái)看，裂紋越深，本文方法擬合效果越好。越靠近支座處，擬合效果越差。與簡(jiǎn)支梁不同的是，裂紋深度a為4 mm時(shí)，懸臂梁撓度曲線在裂紋處不再出現(xiàn)突變的情況，而是隨著裂紋位置的不同呈現(xiàn)出形狀相似、各點(diǎn)位移值差距小的特征。
a=4 mm(a/h=0.2)條件下，不同裂紋位置xc時(shí)，懸臂梁自由端位移最大差值為0.496 mm，而a=10 mm(a/h=0.5)條件下，其值為3.666 mm。這表明淺裂紋(a/h≤0.2)條件下，基于靜力撓度的損傷識(shí)別很難對(duì)結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行定位和分析，基于測(cè)點(diǎn)撓度變化分析的傳統(tǒng)損傷識(shí)別方法更適合裂紋深度更大的工程實(shí)際。
4.2 裂紋梁振動(dòng)分析
為了驗(yàn)證單元?jiǎng)偠染仃嚨挠行?，需要?duì)Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧駝?dòng)分析。假定裂紋不引起質(zhì)量矩陣的變化，截面為等截面時(shí)，沿梁長(zhǎng)方向梁線密度ρA為常量，單元長(zhǎng)度為le，Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧馁|(zhì)量矩陣為：
(21)
根據(jù)裂紋幾何參數(shù)，由式(19)和式(21)分別求得單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧|(zhì)量矩陣，將所有單元的單元?jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣分別進(jìn)行疊加，以形成總體剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M，結(jié)構(gòu)的固有頻率可以通過(guò)下式求得
|K-ω2M|=0
(22)
式中，ω為結(jié)構(gòu)的圓頻率，由圓頻率ω可得結(jié)構(gòu)的自振頻率f如下
f=ω/2π
(23)
構(gòu)件選取Sinha等用于試驗(yàn)的懸臂鋁制梁，彈性模量E為69.79 GN/m2，質(zhì)量密度ρ為2 600 kg/m3，泊松比v為0.33，梁長(zhǎng)L為1 m，寬b為0.05 m，高h(yuǎn)為0.025 m。根據(jù)試驗(yàn)過(guò)程，將懸臂邊界條件轉(zhuǎn)化為豎向彈簧和旋轉(zhuǎn)彈簧，其中豎向支撐剛度kt為26.6 MN/m，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度kθ為150 kNm/rad，計(jì)算模型如下圖所示。
圖8中不帶圈的數(shù)字代表結(jié)點(diǎn)號(hào)，帶圈數(shù)字代表單元號(hào)。計(jì)算工況根據(jù)Sinha等的工況選取以方便比較計(jì)算結(jié)果。同樣，懸臂梁分為16個(gè)單元，共34個(gè)自由度，得到不同裂縫深度條件下的鋁制懸臂梁的固有頻率如表3所示(表中試驗(yàn)值來(lái)自文獻(xiàn)[23])。
圖8 懸臂裂紋梁有限元計(jì)算模型Fig.8 The FE model for the cantilever cracked beam
表3 不同裂紋深度下懸臂梁的固有振動(dòng)頻率Tab.3 The natural frequencies of the cantilever beam with different depth
表4可知，a/h<0.4時(shí)，本文計(jì)算值和Sinha等的計(jì)算值小于結(jié)構(gòu)的實(shí)際頻率；而a/h=0.48時(shí)，本文計(jì)算值和Sinha等的計(jì)算值大于結(jié)構(gòu)的實(shí)際頻率；a/h<0.32時(shí)，本文求解一階固有頻率的誤差小于Sinha等利用抗彎剛度EI(x)折減得到一階固有頻率的誤差。當(dāng)裂紋深度為a/h=0.48時(shí)，本文求解一階固有頻率的誤差為0.936%，大于Sinha等的計(jì)算結(jié)果0.863%，但本文一階固有頻率值的變化接近試驗(yàn)測(cè)得的一階固有頻率值的變化。因此可以認(rèn)為本文求解結(jié)構(gòu)固有頻率在a/h<0.5時(shí)計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，計(jì)算結(jié)果較文獻(xiàn)[23]的方法更好。
表4 懸臂梁的第一階固有頻率兩種求解方法對(duì)比Tab.4 Comparison of two methods for solving 1st natural frequency of cantilever beam
下面具體討論裂紋位置和深度對(duì)裂紋構(gòu)件固有頻率的基本影響以分析懸臂梁的自由振動(dòng)特性和剛度矩陣的正確性，以fc表示裂紋構(gòu)件的固有頻率，fib表示完整構(gòu)件的固有頻率，設(shè)置參數(shù)fr表征裂縫位置和深度對(duì)構(gòu)件頻率的影響，表達(dá)如下。
fr=1-fc/fib
(24)
圖9給出了上述懸臂構(gòu)件的前三階固有頻率隨著裂紋位置、深度的變化情況。
(a) 懸臂裂紋梁的一階固有頻率變化率
圖9表明在裂紋位置相同條件下裂紋越深，其fr值越大，固有頻率降低越明顯。結(jié)構(gòu)一階固有頻率呈現(xiàn)單調(diào)變化，裂紋距離固定端越近，裂紋越深fr值越大，反之越小。而結(jié)構(gòu)二階、三階固有頻率的fr值并不隨著裂紋位置的改變呈單調(diào)性變化，二階固有頻率fr值出現(xiàn)兩處局部最大值，三階固有頻率fr值出現(xiàn)三處局部最大值。上述計(jì)算結(jié)果與已有文獻(xiàn)[35]中對(duì)懸臂構(gòu)件前三階段的振動(dòng)分析結(jié)論保持一致，證明了本文裂紋單元?jiǎng)偠染仃嚨恼_性和有效性。
5 結(jié) 論
本文根據(jù)單位分解有限元思想，把增強(qiáng)函數(shù)附加在單元結(jié)點(diǎn)上，在不增加自由度的基礎(chǔ)的給出了Euler-Bernoulli裂紋梁?jiǎn)卧魏瘮?shù)和剛度矩陣的具體形式，并進(jìn)行了靜力分析驗(yàn)證和振動(dòng)分析驗(yàn)證，主要結(jié)論如下：
(1) 該形函數(shù)能直觀表現(xiàn)裂紋位置和深度的影響。裂紋在該形函數(shù)中表現(xiàn)為裂紋處幅值的突變，裂紋位置、深度與該形函數(shù)呈非線性關(guān)系。且該形函數(shù)自動(dòng)滿足單元協(xié)調(diào)條件，當(dāng)裂紋深度為0時(shí)，該形函數(shù)退化為傳統(tǒng)形函數(shù)。
(2) 通過(guò)簡(jiǎn)支開(kāi)口裂紋梁和懸臂開(kāi)口裂紋梁數(shù)值仿真，該形函數(shù)能準(zhǔn)確擬合單元位移場(chǎng)。對(duì)于裂紋構(gòu)件，裂紋深度越大，裂紋位置越遠(yuǎn)離結(jié)點(diǎn)，擬合效果就越好。
(3) 通過(guò)懸臂開(kāi)口裂紋梁自由振動(dòng)分析，本文所提的剛度矩陣模型能準(zhǔn)確的描述開(kāi)口裂紋對(duì)結(jié)構(gòu)頻率的影響。
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