亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        基于一類二元多小波函數(shù)的密度估計(jì)

        2020-10-11 01:28:24王淑媛崔麗鴻
        關(guān)鍵詞:密度估計(jì)樣本量小波

        王淑媛 崔麗鴻

        (北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 北京 100029)

        引 言

        密度函數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)基本問題。密度估計(jì)分為參數(shù)估計(jì)和非參數(shù)估計(jì),對(duì)于后者,直方圖估計(jì)、核估計(jì)以及k-近鄰估計(jì)等都是研究的重點(diǎn)[1-2]。隨著小波理論的完善,加上其具有諸如正交性、緊支性、多分辨分析(MRA)等優(yōu)良特性,使得小波分析的應(yīng)用成為近年來非參數(shù)統(tǒng)計(jì)與計(jì)量研究的熱點(diǎn)。1988年,Doukhan[3]首先提出了小波密度估計(jì)的概念。隨后,許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行研究,并給出了收斂階的證明[4-5]。但由于單小波不能同時(shí)滿足正交性、對(duì)稱性及緊支性,在實(shí)際應(yīng)用中造成了很大困擾,基于此,雙正交小波和多小波相繼被提出。

        Locke等[6]首次將多小波應(yīng)用到密度函數(shù)估計(jì)中,并給出了估計(jì)器表達(dá)式,最后通過模擬實(shí)驗(yàn)對(duì)比了小波與多小波估計(jì)的結(jié)果。黃守勇等[7]給出了線性多小波密度估計(jì)的收斂階及證明。本文基于文獻(xiàn)[6]提出的多小波密度估計(jì),結(jié)合呂軍等[8]給出的一類二元多小波構(gòu)造方法,提出了一類二元多小波密度估計(jì),并證明其在積分均方誤差(MISE)意義下存在收斂上界。仿真和實(shí)例數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了方法和估計(jì)的可行性。

        1 小波密度估計(jì)

        1.1 二元單小波密度估計(jì)

        φ(x,y)=φ(x)φ(y)

        φj,k1,k2(x,y)=2jφ(x-k1,y-k2)

        ψl,j,k1,k2(x,y)=2jψi(x-k1,y-k2)

        式中,j為分辨率水平,k1、k2為平移參數(shù),且j∈Z,k1,k2∈Z。

        對(duì)任意的整數(shù)J>j0,j0∈Z,由多分辨分析定義[9]可知,二元實(shí)值函數(shù)f(x,y)∈L2(R2)在VJ空間的投影可展開為

        ψl,j,k1,k2(x,y)

        (1)

        由尺度函數(shù)和小波函數(shù)的正交性可得

        αj0,k1,k2=〈f(x,y),φj0,k1,k2(x,y)〉=?f(x,y)·φj0,k1,k2(x,y)dxdy

        βl,j,k1,k2=〈f(x,y),ψl,j,k1,k2(x,y)〉=?f(x,y)·ψl,j,k1,k2(x,y)dxdy

        由數(shù)學(xué)期望定義可得

        αj0,k1,k2=?f(x,y)φj0,k1,k2(x,y)dxdy=E(φj0,k1,k2(X,Y))

        βl,j,k1,k2=?f(x,y)ψl,j,k1,k2(x,y)dxdy=E(ψl,j,k1,k2(X,Y))

        得到式(1)的樣本估計(jì)為

        (2)

        1.2 一類二元多小波密度估計(jì)

        多小波是一種特殊的小波,它的基函數(shù)由向量函數(shù)構(gòu)成[10-12]。假設(shè)多尺度向量函數(shù)和多小波向量函數(shù)分別為

        Φ=[Φ1,Φ2,…,Φr]T,r∈Z

        Ψ=[Ψ1,Ψ2,…,Ψr]T,r∈Z

        這里一類二元多尺度函數(shù)和一類二元多小波函數(shù)的構(gòu)造采用文獻(xiàn)[8]的方法,即

        Φ(x,y)=Φ(x)φ(y)

        Φj,k1,k2(x,y)=2jΦ(x-k1,y-k2)

        Ψl,j,k1,k2(x,y)=2jΨl(x-k1,y-k2)

        定義1r重的多分辨分析是L2(R2)中滿足以下條件的閉子空間VJ的嵌套序列,即:

        (1)Vj∈Vj+1,j∈Z;

        (3)h(x,y)∈Vj?h(2x,2y)∈Vj+1,j∈Z;

        (4)h(x,y)∈Vj?h(x-k1,y-k2)∈Vj,j∈Z,k1,k1∈Z;

        (5)存在r個(gè)函數(shù)Φ1(x,y),Φ2(x,y),…,Φr(x,y),使得{Φw(x-k1,y-k2),1≤w≤r,k1,k2∈Z}是空間V0的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

        令Wj是Vj+1中關(guān)于VJ的正交補(bǔ)空間,則L2(R2)能分解為空間Wj的直和,即

        故任意的二元實(shí)值函數(shù)f(x,y)∈L2(R2)在VJ空間的投影可展開為

        (3)

        由多尺度函數(shù)和多小波函數(shù)的正交性可得

        從而得到式(3)的樣本估計(jì)為

        (4)

        2 收斂階證明

        其中s為平滑參數(shù),p、m為空間的范數(shù)指標(biāo),且s>0,1≤p≤∞,1≤m≤∞。

        證明:

        綜上可得

        證明:

        由1.2節(jié)尺度系數(shù)估計(jì)值可知

        由引理2可得

        應(yīng)用Holder不等式可得

        綜上所述

        證明:

        其中

        由引理1可得

        A≤C2-2Js

        經(jīng)計(jì)算有

        根據(jù)引理3可得

        又因?yàn)?J≤n1/(2s+2),所以有

        3 實(shí)驗(yàn)分析

        本節(jié)通過模擬及實(shí)例說明提出方法的可行性,并通過均方根誤差值來對(duì)比小波密度估計(jì)及多小波密度估計(jì)的優(yōu)劣。均方根誤差定義為

        例1設(shè)二元隨機(jī)變量(X,Y)服從均勻分布,其中x∈[0,1],y∈[0,1],密度函數(shù)為

        本例選取CL2*Db4(*表示乘積)構(gòu)成的二元多小波以及Db4*Db8構(gòu)成的二元單小波,對(duì)密度函數(shù)進(jìn)行估計(jì),分辨率水平取J=4,樣本量n=10 000。

        圖1為均勻分布的真實(shí)的密度函數(shù)圖像,圖2和圖3分別為多小波及單小波估計(jì)的圖像,其中,多小波誤差為0.164,單小波誤差為0.388。由圖1~3可以看出,兩種估計(jì)均能真實(shí)地描述服從均勻分布隨機(jī)數(shù)據(jù)的規(guī)律,但由于尺度函數(shù)的緊支性,當(dāng)平移向量很大時(shí),圖像在邊界處漸進(jìn)有偏,且多小波的偏離程度明顯小于單小波。

        例2設(shè)二元隨機(jī)變量(X,Y)服從正態(tài)分布,其中x∈[0,1],y∈[0,1],密度函數(shù)為

        本例選取STT*Db4和CL2*Db4構(gòu)成的兩個(gè)二元多小波以及Db4*Db8構(gòu)成的二元單小波,對(duì)服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),分辨率水平J=4,樣本量n=10 000。

        圖4表示真實(shí)的正態(tài)分布密度函數(shù),圖5~7分別為不同基函數(shù)的多小波及單小波估計(jì)的密度函數(shù)圖像。從圖4~7可以看出,對(duì)于邊界處為0的正態(tài)分布,多小波估計(jì)具有較好的估算精度,能夠客觀地反映出數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,且邊界處擬合度更佳。由表1和圖8可以得出,隨樣本量的增加,多小波密度估計(jì)的誤差和運(yùn)行時(shí)間總是小于單小波,且在大樣本下優(yōu)勢更加明顯。

        表1 隨樣本變化估計(jì)的運(yùn)行時(shí)間Table 1 Estimated run times of different samples

        從線性表達(dá)式(式(2)和(4))可以看出,密度函數(shù)的信息包含在系數(shù)和基函數(shù)中,所以估計(jì)結(jié)果的質(zhì)量取決于分辨率水平J的選取。表2給出了不同分辨率水平對(duì)估計(jì)誤差值的影響,可以看出,隨著分辨率水平J的增加,估計(jì)的誤差值先變小后變大,且對(duì)于不同的基函數(shù),最優(yōu)分辨率水平不同。

        表2 隨分辨率水平變化估計(jì)的誤差值Table 2 Error values of estimates at different resolution

        例3實(shí)例分析中,二元多小波可以用來估計(jì)美國黃石公園中噴泉噴發(fā)時(shí)長和間隔時(shí)長的密度函數(shù),該數(shù)據(jù)集可在www.geyserstudy.org/geyser.aspx?pGeyserNo=OLDFAITHFU上公開獲取。本例選取n=1 922個(gè)樣本,基函數(shù)為CL2*Db4構(gòu)成的二元多小波,分辨率水平J=3,結(jié)果如圖9~11所示。

        圖9和圖10分別為噴泉的間隔時(shí)長和噴發(fā)時(shí)長分布直方圖,其中橫坐標(biāo)的時(shí)長均進(jìn)行了歸一化處理,圖11為相應(yīng)的密度估計(jì)圖像。本例選取的樣本量較少,且數(shù)據(jù)分布隨機(jī)性更強(qiáng),不再服從某一已知的分布函數(shù)。從圖9~11可以看出,一類二元多小波密度估計(jì)圖像與噴泉的直方圖趨勢吻合,能夠客觀地反映出數(shù)據(jù)的真實(shí)分布規(guī)律,說明該方法也適用于更一般的數(shù)據(jù)分析,在實(shí)際應(yīng)用中是有效的。

        4 結(jié)論

        本文研究了一類二元多小波函數(shù)進(jìn)行概率密度估計(jì)的問題,給出了線性多小波估計(jì)器,并且證明其在積分均方誤差意義下存在收斂上界。在仿真實(shí)驗(yàn)中,通過選取不同分布的二元數(shù)據(jù)進(jìn)行多小波密度估計(jì),并與單小波進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了提出方法能夠較好地反映數(shù)據(jù)的真實(shí)分布規(guī)律且在某些條件下優(yōu)于單小波。最后,對(duì)實(shí)例的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明本文方法在實(shí)際應(yīng)用中是有效的。

        猜你喜歡
        密度估計(jì)樣本量小波
        中國人均可支配收入的空間區(qū)域動(dòng)態(tài)演變與差異分析
        m-NOD樣本最近鄰密度估計(jì)的相合性
        面向魚眼圖像的人群密度估計(jì)
        醫(yī)學(xué)研究中樣本量的選擇
        構(gòu)造Daubechies小波的一些注記
        基于MATLAB 的核密度估計(jì)研究
        科技視界(2021年4期)2021-04-13 06:03:56
        基于MATLAB的小波降噪研究
        電子制作(2019年13期)2020-01-14 03:15:32
        航空裝備測試性試驗(yàn)樣本量確定方法
        Sample Size Calculations for Comparing Groups with Binary Outcomes
        基于改進(jìn)的G-SVS LMS 與冗余提升小波的滾動(dòng)軸承故障診斷
        国产av无码专区亚洲草草| 欧美性受xxxx狂喷水| 国产乱妇乱子视频在播放| 国内自拍偷拍亚洲天堂| 青青草绿色华人播放在线视频| 综合国产婷婷精品久久99之一| а√资源新版在线天堂| 五月婷婷六月激情| 国产成版人性视频免费版| 精品少妇一区二区av免费观看| 中文字幕被公侵犯的漂亮人妻| 在线视频 亚洲精品| 美腿丝袜中文字幕在线观看| 久久日日躁夜夜躁狠狠躁| 男女裸交无遮挡啪啪激情试看| 亚洲日韩精品欧美一区二区三区不卡 | 亚洲最大视频一区二区三区| 2021国产精品视频网站| 无码av免费精品一区二区三区 | 亚洲av无码精品色午夜蛋壳| 久久这里有精品国产电影网| 日韩精品国产精品亚洲毛片| 久久狠狠爱亚洲综合影院| 成年女人毛片免费视频| 白白青青视频在线免费观看| 日本人妻精品有码字幕| 亚洲综合在线一区二区三区| 91精品手机国产在线能| 中文在线最新版天堂av| 亚洲最全av一区二区| 国产精品嫩草影院av| 在线丝袜欧美日韩制服| 精品人妻少妇丰满久久久免| 国产精品成人3p一区二区三区| 国产精品白浆视频免费观看| 91青青草免费在线视频| 亚洲一区二区二区视频| 欧美午夜精品一区二区三区电影| 久久久久综合一本久道| 午夜av天堂精品一区| 波多野42部无码喷潮|