王萌萌 梁瀘丹 寇俊克

（桂林電子科技大學數(shù)學與計算科學學院，廣西 桂林 541004）

0 引言

在數(shù)理統(tǒng)計研究中，密度估計一直是一個極其重要的熱門研究問題。 其研究成果被廣泛應用到經濟學、社會學以及生物統(tǒng)計等領域[1-4]。 特別是當前大數(shù)據(jù)時代，如何對數(shù)據(jù)進行高效地分析處理以便找出數(shù)據(jù)之間的特征規(guī)律就顯得尤其重要。密度估計作為數(shù)據(jù)分析的一種有效工具，能夠高效地找到數(shù)據(jù)所蘊含的分布規(guī)律，這為后續(xù)數(shù)據(jù)分析處理提供了重要的參考依據(jù)。密度估計研究的本質問題是如何高效地利用觀測數(shù)據(jù)找到數(shù)據(jù)的分布規(guī)律。常規(guī)密度估計方法分為參數(shù)估計和非參數(shù)估計兩類。參數(shù)估計方法需要事先假設數(shù)據(jù)滿足某個特定的模型或者有先驗知識可以參考。 然而在實際應用中，對于獲取的數(shù)據(jù)事先沒有任何先驗知識可以利用且無法確定數(shù)據(jù)滿足哪些模型，因此，參數(shù)估計方法有一定的局限性，無法廣泛應用。 相反，非參數(shù)估計方法不需要借助任何先驗知識，僅僅利用數(shù)據(jù)本身信息進行估計，因而在實際應用中得到了廣泛的應用。

在非參數(shù)估計方法中，核密度估計方法以其原理簡單易懂且操作便捷而備受關注。核密度估計方法不需要先驗知識，且能夠處理較為復雜的數(shù)據(jù)，同時其估計效果也十分理想。 鑒于上述特點，核密度估計方法被廣泛應用于公共事務、地理信息、醫(yī)療教育等多個領域[5-8]。核密度估計方法估計效果的優(yōu)劣其關鍵在于核函數(shù)的選取以及帶寬的選擇。 針對這一問題，本文將借助MATLAB 軟件進行數(shù)值模擬實驗， 對比分析不同核函數(shù)、不同帶寬以及不同樣本容量對密度估計效果的影響。通過實驗分析核密度估計方法參數(shù)選取的優(yōu)劣性，以期為當前大數(shù)據(jù)處理提供理論依據(jù)。

1 核密度估計理論

核密度估計方法作為非參數(shù)密度估計的經典方法之一，在大數(shù)據(jù)處理中發(fā)揮著極其重要的作用。本文首先簡要介紹核密度估計方法的原理。 在某一事件概率分布未知的情況下，利用觀測數(shù)據(jù)進行密度函數(shù)估計。另外， 數(shù)據(jù)之間由于距離的遠近也會產生不同程度的影響。 故認為距離較近的數(shù)據(jù)互相之間產生的影響較大，而距離較遠的數(shù)據(jù)產生的影響較小。核密度估計方法正是基于上述思想建立起來的。

設隨機變量X1，X2，…，Xn是從總體中抽取的獨立同分布樣本，其密度函數(shù)為f（x），則核密度估計器（為其中，n 為樣本容量，h 為帶寬，K（x）表示核函數(shù)。作為核密度估計方法的核心，其核函數(shù)應具備以下條件：（1）非負性K（x）≥0；（2）對稱性K（x）=K（-x）；（3）歸一性∫RK（x）dx=1。 針對核密度估計器（f（x）來說，通過觀察發(fā)現(xiàn)該方法主要強調當隨機變量Xi與變量x 的絕對值越小， 則兩者距離越小， 進而隨機變量Xi對點x 處的密度函數(shù)值影響越大。另外，核密度估計器只依賴于樣本數(shù)據(jù)、帶寬以及核函數(shù)，對于樣本數(shù)據(jù)是否滿足特定的模型或者規(guī)律不做要求。

針對核密度估計器來說，只要其核函數(shù)以及帶寬選取得當，核密度估計方法可以以任意精度去逼近真實密度函數(shù)。 常規(guī)核函數(shù)主要有表1 所示的幾種。

表1

2 數(shù)值實驗

針對核密度估計問題，不同核函數(shù)、不同帶寬以及不同樣本容量都會對估計效果產生影響。鑒于上述參數(shù)的重要性， 本文下面將借助MATLAB 軟件進行核密度估計數(shù)值實驗對比分析[9-10]。

2.1 不同核函數(shù)實驗

本節(jié)將分別選取高斯核、均勻核、三角核以及二次核函數(shù)進行實驗對比分析。 首先，利用MATLAB 軟件隨機生成1 000 個服從標準正態(tài)分布的隨機樣本數(shù)據(jù)；然后，針對這1 000 個樣本數(shù)據(jù)分別選用高斯核、均勻核、三角核以及二次核進行密度估計實驗，其實驗結果如圖1 所示。

從圖1 可以看出，4 種核函數(shù)估計結果均呈現(xiàn)正態(tài)分布形態(tài)。這說明當樣本數(shù)據(jù)大致呈正態(tài)分布的時候，上述4 種核函數(shù)都能取得不錯的估計效果。但是，不同核函數(shù)的估計效果仍存在比較明顯的差異，其差異性主要表現(xiàn)在X 軸的負半軸以及峰值附近。高斯核函數(shù)和二次核函數(shù)在X 軸負半軸的估計效果要優(yōu)于三角核與均勻核。 另外，在峰值處雖然估計值均比真實值小，但是高斯核峰值附近產生差異的區(qū)間要小于其他核函數(shù)。 從整體上來說，4 個核函數(shù)的估計結果與真實密度函數(shù)大體保持一致，所得到的密度估計曲線基本相同。

圖1 不同核函數(shù)估計結果

2.2 不同帶寬實驗

在核密度估計方法中，帶寬的選取會對估計效果產生很大的影響。 前文已經通過分析核估計器的函數(shù)特性說明了這一點。 下面將通過數(shù)值實驗對比分析帶寬選擇的優(yōu)劣性。 首先，利用MATLAB 軟件生成100個服從正態(tài)分布的隨機樣本數(shù)據(jù)，核函數(shù)選擇高斯核函數(shù)。 為了更加充分地分析帶寬選擇對估計效果產生的影響，帶寬依次選擇h=1，h=3，h=5 以及h=10。 其實驗結果如圖2 所示。

從圖2 可以看出，對于同一組樣本數(shù)據(jù)且核函數(shù)相同的情況下，當帶寬為1 時，曲線波峰過多且參差不齊，過分細化導致密度估計波動太大，從而喪失了密度估計的意義。當帶寬h=10 時，數(shù)據(jù)平均化過于突出，密度估計太過平穩(wěn)，從而使得估計值與真實值偏差過大。 由此可知，帶寬選取過小或過大都會使密度估計值與真實值偏差過大。 另外，從圖2 也可以看出當帶寬h=3 時估計結果與真實密度函數(shù)圖像幾乎完全重合， 這就意味著在此帶寬條件下估計效果最好。綜上可知，帶寬的選取對核密度估計效果具有顯著的影響。

圖2 不同帶寬估計結果

2.3 不同樣本容量實驗

針對核密度估計問題，樣本容量的大小也會對估計效果產生影響。 一般來說，可以利用的有效數(shù)據(jù)越多，則估計效果就越好。 為了充分分析樣本容量對估計效果好壞的影響，在同一帶寬和核函數(shù)的條件下對比分析不同樣本容量的估計結果。分別進行樣本容量為20、50、100、1 000 的數(shù)值實驗， 其實驗結果如圖3所示。

由圖3 可知，當樣本容量過小時（n=20），其估計結果與真實密度函數(shù)相差太大，尤其在峰值處更為突出。 當樣本容量過大時（n=1 000），雖然其估計結果與真實密度函數(shù)大體一致，但是在峰值處仍存在較大差異。 當樣本容量為100 時，其核估計結果與真實密度函數(shù)圖像幾乎重合，估計效果最好。 另一方面，對比樣本容量20，50，100 的估計結果可以得出， 隨著樣本容量的增大，核密度估計效果越來越好。 但是這并不意味著樣本容量越大越好， 這一觀點可以從樣本容量1 000 時的估計結果可以看出。

綜上分析可知，在帶寬固定的條件下，樣本容量選取過小，數(shù)據(jù)細化作用突出，估計偏差較大，無法反映出真實數(shù)據(jù)的特性；樣本容量選取過大，估計效果整體偏好，但是在峰值附近誤差過大。

3 結論

針對密度估計問題， 本文借助MATLAB 軟件分析了核密度估計方法關鍵參數(shù)核函數(shù)、帶寬以及樣本容量對估計結果的影響。 通過實驗對比分析發(fā)現(xiàn)，核函數(shù)的選取對于估計效果的好壞影響不大，但是帶寬以及樣本容量的選取對于估計結果的影響程度較大。其次，帶寬過小或者過大都會導致密度估計結果與真實密度函數(shù)偏差較大，因此，必須選擇合適的帶寬才能得到理想的估計效果。 另外，樣本容量并不是越大越好，而是應該在一個合理的范圍之內。最后，對于密度估計問題，核密度估計方法必須依據(jù)數(shù)據(jù)的某些特征，合理恰當?shù)剡x取核函數(shù)以及帶寬，并利用一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)進行密度估計，以期得到更加理想的估計結果。