王志煥, 游小英, 李偉康, 李進(jìn)金,

(1. 華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021；2. 閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建 漳州 363000)

模糊集理論[1]是Zadeh教授提出的一種用于刻畫目標(biāo)對(duì)象模糊程度的方法.隨著模糊集理論的不斷發(fā)展，其應(yīng)用范圍也越來(lái)越廣.波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak等[2]提出粗糙集理論，它是一種數(shù)據(jù)處理的數(shù)學(xué)方法.模糊集和粗糙集理論都是用于研究不確定性的數(shù)學(xué)工具，將二者結(jié)合起來(lái)研究具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.目前，已有眾多學(xué)者對(duì)模糊粗糙集的模型及約簡(jiǎn)問(wèn)題[3]進(jìn)行研究.陳應(yīng)生等[4]通過(guò)研究屬性重要性度,進(jìn)而研究不完備信息系統(tǒng)的屬性約簡(jiǎn).Dubois等[5]通過(guò)引入模糊相似關(guān)系，最早系統(tǒng)地提出模糊粗糙集理論.Jensen等[6]利用依賴函數(shù)，首次設(shè)計(jì)出一種模糊粗糙集模型的屬性約簡(jiǎn)算法.趙晉歡等[7]構(gòu)造辨識(shí)矩陣對(duì)模糊粗糙集進(jìn)行屬性約簡(jiǎn)，并進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn).陳毅寧等[8]引入基于距離比值尺度的樣本集定義，提出基于距離比值尺度的模糊粗糙集，并設(shè)計(jì)屬性約簡(jiǎn)算法.

證據(jù)理論[9-10]提供了一種處理不精確信息的人工智能方法[11]，它能與粗糙集有效結(jié)合進(jìn)行數(shù)據(jù)處理.根據(jù)粗糙集與證據(jù)理論的關(guān)系，一些學(xué)者通過(guò)證據(jù)理論研究模糊粗糙集的信任結(jié)構(gòu)與屬性約簡(jiǎn)問(wèn)題，并取得一定的成果.Chen等[12]根據(jù)模糊上近似概率與模糊下近似概率探索兩種類型的模糊信任和似然函數(shù).Wu等[13]利用廣義模糊蘊(yùn)涵算子[14]，在無(wú)限論域中導(dǎo)出廣義模糊信任結(jié)構(gòu).在此基礎(chǔ)上，Yao等[15]對(duì)模糊決策系統(tǒng)的屬性約簡(jiǎn)問(wèn)題進(jìn)行研究.Lu等[16]通過(guò)定義一種新的概率測(cè)量，研究第2型模糊粗糙集的信任和似然函數(shù).模糊粗糙集理論的決策大多建立在劃分的基礎(chǔ)上，但以劃分刻畫決策具有一定的局限性.在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，多數(shù)決策是由覆蓋類刻畫的，但關(guān)于決策為覆蓋的模糊粗糙集理論的研究并不多見(jiàn).基于此，本文對(duì)模糊廣義決策信息系統(tǒng)的證據(jù)特征和信任約簡(jiǎn)進(jìn)行研究.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]設(shè)集合U為非空論域，當(dāng)U上的集合X滿足由U上一隸屬函數(shù)X:U→[0,1]表示，則稱X為U上的模糊集.其中，X(x)表示x隸屬于模糊集X的程度.記U上的模糊集全體為F(U).

假設(shè)A,B∈F(U)，定義模糊集的運(yùn)算為(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)=max{A(x),B(x)}；

(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)=min{A(x),B(x)}；～A(x)=1-A(x).

定義2[5]設(shè)集合U為非空論域，將U×U上的模糊集合R稱為U上的一個(gè)模糊關(guān)系.?x,y,z∈U，對(duì)于U上的模糊關(guān)系R，有

1) 若R(x,x)=1，則稱R是自反的；

2) 若R(x,y)=R(y,x)，則稱R是對(duì)稱的；

3) 若R(x,z)≥R(x,y)∧R(y,z)，則稱R是傳遞的.

若R滿足自反、對(duì)稱關(guān)系，則稱R是U上的模糊相似關(guān)系；若R滿足自反、對(duì)稱和傳遞關(guān)系，則稱R是U上的模糊等價(jià)關(guān)系.文中討論的模糊關(guān)系是論域U上的模糊相似關(guān)系R.

定義3稱(U,C,D)為模糊廣義決策信息系統(tǒng).其中，集合U為論域，集合C={C1,C2,…,Cm}為非空有限模糊條件屬性集，U上覆蓋D={D1,D2,…,Dr}為決策集.

定義4[14]設(shè)U為論域，對(duì)?x,y∈[0,1]，定義模糊蘊(yùn)涵算子I:[0,1]×[0,1]→[0,1]，有

I(x,y)=∧((1-x)∨y).

容易看出，該模糊蘊(yùn)涵算子滿足I(1,0)=0，I(1,1)=I(0,1)=I(0,0)=1.

性質(zhì)1[5]設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)為(U,C,D)，?X,Y?U，?B,B1,B2?C，則有

2)X?Y?RBX?RBY；

4)B1?B2?RB1X?RB2X.

定義6[5]設(shè)(U,C,D)為模糊廣義決策信息系統(tǒng)，覆蓋D={D1,D2,…,Dr}為決策集，對(duì)?Di∈D,1≤i≤n，Di的下近似與上近似隸屬函數(shù)分別為

定義7[5]設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)為(U,C,D)，覆蓋D={D1,D2,…,Dr}為決策集，1≤i≤r，?B?C，定義模糊正域?yàn)?/p>

證據(jù)理論中的相關(guān)概念如下.

定義8[9-10]設(shè)U為論域，若集函數(shù)m:2U→[0,1]，有

1)m(?)=0,

則稱m為基本概率指派.

根據(jù)基本概率指派，可以導(dǎo)出如下信任函數(shù)和似然函數(shù).

定義9[9-10]設(shè)U為論域，m:2U→[0,1]是基本概率指派，有

顯然，信任函數(shù)與似然函數(shù)對(duì)偶，即Bel(X)=1-Pl(～X).此外，信任函數(shù)還滿足

1) Bel(?)=0;

2) Bel(U)=1;

2 模糊廣義決策信息系統(tǒng)的證據(jù)特征

基于證據(jù)理論研究模糊廣義決策信息系統(tǒng)的數(shù)值特征，即模糊廣義決策信息系統(tǒng)的證據(jù)特征.首先，定義一個(gè)概率測(cè)量函數(shù)度量模糊集的集合質(zhì)量.

定義10設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)(U,C,D)，U={x1,x2,…,xn}，對(duì)于?X∈F(U)，Q是論域U上一個(gè)概率測(cè)量，定義模糊集X的概率為

然后，定義一個(gè)函數(shù)用于構(gòu)造模糊基本概率指派.

定義11設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)為(U,C,D)，?X∈F(U)，?B?C，定義函數(shù)jB:F(U)→P(U)，即

jB(X)={x∈U|RB(x,y)=X(y),?y∈U}，

則jB(X)滿足

1) ?X,X′∈F(U)且X≠X′，jB(X)∩jB(X′)=?；

證明：1) 假設(shè)存在x∈U，使x∈jB(X)∩jB(X′)，則RB(x,y)=X(y)=X′(y)，這與X≠X′矛盾.因此，對(duì)?X,X′∈F(U)且X≠X′，有jB(X)∩jB(X′)=?.

用以上定義的函數(shù)構(gòu)造一個(gè)集函數(shù)，并證明其符合基本概率指派的兩條性質(zhì)，即證明該集函數(shù)為模糊基本概率指派.

定理1設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)為(U,C,D)，?X∈F(U)，?B?C，定義模糊集函數(shù)mB:F(U)→[0,1]，有

則mB為論域U的一個(gè)模糊基本概率指派.

綜上，mB為U的一個(gè)模糊基本概率指派.

對(duì)于X∈F(U)，mB(X)表示證據(jù)對(duì)X的模糊信任度.若mB(X)>0，則稱X為mB上的焦元.設(shè)Μ為所有焦元的并，稱其為核，則稱二元序?qū)?Μ，mB)為U上的模糊信任結(jié)構(gòu).

根據(jù)模糊概率指派函數(shù)，可直接導(dǎo)出模糊信任函數(shù)和模糊似然函數(shù).

經(jīng)典的信任函數(shù)Bel:P(U)→[0,1]，可以把信任函數(shù)定義為

上式中：P(U)為論域U上的全體經(jīng)典集；I(A,X)為A在X中的包含度，當(dāng)A?X時(shí)，I(A,X)=1，否則，I(A,X)=0.

把經(jīng)典的信任函數(shù)推廣到模糊的情況下，則對(duì)?X∈F(U)，可以定義模糊集函數(shù)Bel:F(U)→[0,1]，即

上式中：I(A,X)表示A包含于X中的程度.

定義12設(shè)U為論域，對(duì)?A,X∈F(U)，定義蘊(yùn)涵函數(shù)I:[0,1]×[0,1]→[0,1]，有

則模糊信任函數(shù)的形式變?yōu)?/p>

用模糊基本概率指派函數(shù)直接導(dǎo)出模糊信任函數(shù)和模糊似然函數(shù).

定理2設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)為(U,C,D)，?X∈F(U)，?B?C，定義模糊集函數(shù)BelB:F(U)→[0,1]，即

則BelB為U上的模糊信任函數(shù).

證明：根據(jù)定義5、定義10～12及定理1，有

定理3設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)為(U,C,D)，?X∈F(U)，?B?C，定義模糊集函數(shù)PlB:F(U)→[0,1]，有

則PlB為U上的模糊似然函數(shù).

證明：由信任與似然函數(shù)對(duì)偶的性質(zhì)，有

由定理2，3可知：模糊廣義決策信息系統(tǒng)中的模糊下近似、上近似集合的質(zhì)量可以用證據(jù)理論中的信任函數(shù)和似然函數(shù)來(lái)刻畫.

由此，建立模糊廣義決策信息系統(tǒng)與證據(jù)理論的聯(lián)系，得出模糊廣義決策信息系統(tǒng)基于證據(jù)理論的數(shù)值特征.下文給出一個(gè)實(shí)例，用以計(jì)算信任函數(shù).

例1考慮評(píng)估信用卡申請(qǐng)人的問(wèn)題.設(shè)U={x1,x2,x3,x4,x5}是5個(gè)申請(qǐng)人的集合，有4個(gè)模糊屬性來(lái)評(píng)估這些申請(qǐng)人：C={C1,C2,C3,C4}.其中，C1表示“教育程度較高”；C2表示“教育程度一般”；C3表示“收入較高”；C4表示“收入一般”.所有申請(qǐng)人在每個(gè)模糊屬性上的隸屬度,如表1所示.

表1 申請(qǐng)人信息Tab.1 Applicant information

若決策為D={D1,D2,D3}，其中，D1表示“待定”；D2表示“申請(qǐng)成功”；D3表示“申請(qǐng)失敗”.

對(duì)于每個(gè)模糊屬性Ck，可以定義模糊相似關(guān)系，即

同時(shí)，定義模糊相似關(guān)系R(x,y)=min{RCk(x,y)|Ck∈C},?x,y∈U.

根據(jù)定義的模糊相似關(guān)系，可以計(jì)算出申請(qǐng)人的模糊關(guān)系，如表2所示.假設(shè)決策為D1={x1,x4}，

表2 申請(qǐng)人的模糊關(guān)系Tab.2 Fuzzy relationship of applicant

D2={x2,x5}，D3={x1,x3,x4}，求解RD1.

根據(jù)定義6可知

同理可知

RD1(x2)=RD1(x3)=RD1(x5)=0，

RD1(x4)=0.9，

則有

可以計(jì)算信任函數(shù)，即

同樣可計(jì)算出

3 模糊廣義決策信息系統(tǒng)的信任約簡(jiǎn)

定義13設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)為(U,C,D)，?B?C，?x∈U，定義

1) 若LB(x)=LC(x)，?x∈U，則B是(U,C,D)的模糊下近似協(xié)調(diào)集.進(jìn)一步地，若對(duì)?B′?B，有LB′(x)≠LC(x)，則稱B是(U,C,D)的模糊下近似約簡(jiǎn)集.

定理4設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)(U,C,D)，?B?C，則

2) 由上文及單調(diào)性可證明.

顯然，可以得到定理5.

定理5設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)(U,C,D)，若B是模糊下近似協(xié)調(diào)集，Sig(Ci,C-{Ci})>0，則Ci∈B.

根據(jù)定理5可知，關(guān)于C的重要度大于0的屬性，必屬于它的下近似協(xié)調(diào)集.

由以上定義，可以得出模糊廣義決策信息系統(tǒng)的約簡(jiǎn)算法.

算法1模糊廣義決策信息系統(tǒng)的下近似約簡(jiǎn)算法如下.

輸入：模糊廣義決策信息系統(tǒng)(U,C,D)；

輸出：模糊下近似約簡(jiǎn)集B.

步驟1令B=?；

步驟2對(duì)于任意的Ci∈C，計(jì)算Sig(Ci,C-{Ci})；

步驟4對(duì)于任意的Ci∈C-B，計(jì)算Sig(Ci,B)；

步驟5若Ci0∈C-B,滿足Sig(Ci0,B)=max{Sig(Ci,B)|Ci∈C-B}，令B=B∪{Ci0}；

通過(guò)一個(gè)例子驗(yàn)證算法1.

例2用算法1計(jì)算例1的下近似約簡(jiǎn).

根據(jù)算法1，首先計(jì)算

Sig(C3,C-{C3})=0,

Sig(C4,C-{C4})=0.

4 結(jié)束語(yǔ)

研究模糊廣義決策信息系統(tǒng)的證據(jù)特征，利用證據(jù)理論對(duì)模糊廣義決策信息系統(tǒng)中的模糊近似進(jìn)行數(shù)值度量.此外，還利用證據(jù)理論中的信任函數(shù)給出重要度的定義，提出模糊廣義決策信息系統(tǒng)約簡(jiǎn)的算法，并給實(shí)例計(jì)算.覆蓋類多粒度粗糙集屬性約簡(jiǎn)的仿真實(shí)驗(yàn),以及不同覆蓋近似算子約簡(jiǎn)的聯(lián)系是亟待解決的問(wèn)題，也是下一步的研究方向.