周秋斕

(浙江省湖州市雙林中學，313000)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》首次提出高中數(shù)學學科六大核心素養(yǎng):數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模、直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析.同時指出“發(fā)展核心素養(yǎng)是黨的教育方針的具體化、細化”[1].各學科基于本學科凝練的學科核心素養(yǎng),明確了學生學習該學科課程后應該達成的價值觀、必備品格和關鍵能力.

李邦河院士說過,“數(shù)學根本上是玩概念的,不是玩技巧,技巧不足道也”[2].在數(shù)學概念教學中,如何設計有效的問題情境,充分調動學生參與思維的積極性,引導學生探究規(guī)律,得出新的數(shù)學概念,這是數(shù)學概念教學研究的重要問題,也是在數(shù)學概念教學中落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要策略.本文結合案例進行探究,旨在拋磚引玉.

一、邏輯推理,創(chuàng)設觀察分析的問題情境

案例1“基本不等式”教學片段

在基本不等式一節(jié)的教學中,可設計如下兩個應用問題,引導學生分小組自主探究這兩個問題,找出其中的不等關系,從中發(fā)現(xiàn)基本不等式.

問題1某商家用一個兩臂之長有差異的天平稱量售出物品.為示公平公正,售貨員每次都將物品放在左、右兩個托盤中各稱一次,再將兩次結果相加并除以2計之,問這種計量準不準確?如不準確,吃虧的是商家還是顧客?試說明理由.

師:這種計量準確嗎?

生:肯定不準確!

師:既然不準確,吃虧的是商家還是顧客?

生:肯定是顧客,無商不奸嘛.

師:為什么?能分析一下其中的道理嗎?

師:(適時點撥) 如果你是顧客, 買了一件重量為G的物品, 在兩臂不等的天平兩邊各稱一次, 結果會怎樣?

設在左、右兩邊稱出的重量分別為A與B, 聯(lián)想到物理學上杠桿平衡原理, 需對兩臂作出假設, 設兩臂長分別為L1，L2, 至此基本完成數(shù)學化過程，問題由抽象變得具體.

生:商家應該把兩次的結果乘起來,再開方就行了.

師 為什么?請繼續(xù).

生:(多種方法來證明)

師:等號何時成立?

生:當a=b時.

師:正確,但在本題中,有相等的可能嗎?

評價在不等式教學中,學生常常感到很抽象,但利用以上兩個應用問題情境,一個是經濟生活中的問題,一個是物理中的問題,貼近生活,貼近實際,顯得十分簡單自然.它給了學生動手、動腦的時間與空間,使學生認識到了數(shù)學的社會價值與作用.

二、溫故知新,創(chuàng)設比較歸納的問題情境

案例2“復數(shù)概念”的教學片斷

師:我們一起回顧一下已經歷過的數(shù)集擴充有哪幾次?

生:正整數(shù)、自然數(shù)、非負有理數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)

師:上述數(shù)集擴充的原因是什么?

生:實際問題的需要使得在已有的數(shù)集內有些運算無法進行.

師:數(shù)集的擴充過程體現(xiàn)了哪些規(guī)律?

生:每次擴充都增加規(guī)定了新元素.

生:在原數(shù)集內成立的運算規(guī)律,在數(shù)集擴充后的更大范圍內仍然成立.

生:擴充后的新數(shù)集里能解決原數(shù)集不能解決的問題.

師:請哪個同學將上述幾個同學的理解作一個概括?

生:由于實際問題的需要使得在已有的數(shù)集內有些運算無法進行,為此對數(shù)集必須進行擴充.在擴充過程中體現(xiàn)了如下規(guī)律:(1)每次擴充都增加規(guī)定了新元素;(2)在原數(shù)集內成立的運算規(guī)律,在數(shù)集擴充后的更大范圍內仍然成立;(3)擴充后的新數(shù)集里能解決原數(shù)集不能解決問題.

師:負數(shù)不能開平方的事實說明實數(shù)集不夠完善,因而提出將實數(shù)集擴充為一個更為完整的數(shù)集的必要性.那么,怎樣解決這個問題呢?(有了上述準備后,教師提出問題.)

師:借鑒上述規(guī)律,為了擴充實數(shù)集,引入新元素,并作出兩條規(guī)定.(略)

上述教學,通過引導學生回顧數(shù)集是如何擴充的?擴充的原因是什么?擴充過程體現(xiàn)了哪些規(guī)律?每次擴充都增加了哪些新元素?學生對i的引入不會感到疑惑,對復數(shù)集概念的建立也不會覺得突然,使學生的思維很自然地步入知識發(fā)生和形成的軌道,為概念的理解和進一步研究奠定基礎.

評價這類數(shù)學概念教學的問題情境創(chuàng)設的關鍵是揭示相關概念的擴充發(fā)展的背景及其規(guī)律,從而引發(fā)新的數(shù)學概念的產生.同時，可進一步理解概念與概念之間的聯(lián)系,在學習中化繁為簡,形成一般性的思考問題的習慣.

三、直觀感受,創(chuàng)設抽象概括的問題情境

案例3“函數(shù)的單調性” 教學片段

在函數(shù)的單調性的概念教學中, 為突破函數(shù)的單調性概念的產生和形成這一教學難點, 可以創(chuàng)設以下問題情境，首先向學生展示某地某年元旦這一天24小時內的氣溫變化圖(如圖1), 引導學生觀察圖象, 提出問題:

問題1說出氣溫在哪些時段內是逐步升高或下降的?

問題2如何用數(shù)學語言描述上述時間段內“隨著時間的增加氣溫逐漸升高”這一特征?

通過引導學生解決問題2, 使學生對于單調遞增函數(shù)的特征有一定直觀認識, 進一步提出問題3.

問題3對于任意的t1,t2∈[4,16],當t1

學生通過觀察圖象和計算機模擬演示實驗,正反對比,發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系,由具體到抽象,由模糊到清晰逐步歸納、概括、抽象出單調遞增函數(shù)的本質屬性,并嘗試用數(shù)學符號語言初步表述.教師引導學生歸納他們表述的關鍵詞“區(qū)間內”、“任意”、“當x1

問題4類比單調遞增函數(shù)概念,你能給出單調遞減函數(shù)的概念嗎?

通過類比,學生不難得出單調遞減函數(shù)的概念.

為讓學生進一步理解函數(shù)單調性的概念,及時地引導學生對概念進行運用,提出問題5.

問題5① 你能找出氣溫圖中的單調區(qū)間嗎?② 你能說出你曾經學過的函數(shù)的單調區(qū)間嗎?請舉例說明.

學生通過熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等函數(shù)的相關特征,從圖象上加深對函數(shù)單調性概念的理解.對于確定的函數(shù),可以從圖象上判定函數(shù)的單調性和單調區(qū)間,而對于一般函數(shù)又應該怎么去判定函數(shù)的單調性呢?于是提出問題6.

學生通過相互討論,嘗試進行函數(shù)單調性的證明,教師引導學生歸納總結用定義證明函數(shù)單調性的一般方法和操作步驟.

評價能通過對日常生活中的實際問題的分析對比,觀察歸納,建立函數(shù)模型,讓學生直觀感受函數(shù)的單調性,并進一步發(fā)現(xiàn)自變量與函數(shù)的內在聯(lián)系,概括歸納得出增減函數(shù)的定義.

四、動手操作,創(chuàng)設實驗探究的問題情境

案例4“拋物線的概念” 教學片段

(1)活動:讓學生準備長方形紙片,并在紙片2厘米處設置一點,如圖2所示方法,按下面的要求將紙片進行折疊:折疊時,讓AB所在的邊始終經過點F,將紙折20到30次,形成一系列折痕,它們整體地勾畫出一條曲線的輪廓.

(2)學生通過觀察、猜想,發(fā)現(xiàn)眾多折痕圍出一條拋物線.

(4)利用幾何畫板動態(tài)演示折紙過程及拋物線.

(5)活動:(圖3)畫三條平行于y軸的直線,折紙發(fā)現(xiàn)1:其反射線經過y軸上的一個定點.

(6)利用幾何畫板演示這一過程(證明可后面完成).

(7)概念形成:焦點——一組平行于y軸的直線經拋物線反射后匯聚到焦點,由焦點出發(fā)的直線經拋物線反射后成一組平行線.

(8)發(fā)現(xiàn)2:拋物線上的點到焦點的距離等于到紙邊的距離,定義準線.

(9)形成定義:學生概括,教師補充(平面內到一定點的距離和到一定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線).

評價在上述實驗過程中,拋物線的概念、性質不是作為結果直接告訴學生的,而是通過學生動手操作、合作探究獲得的,這是一個主動建構的過程.這類數(shù)學概念的形成一定要學生動手操作實驗,仔細觀察,并能根據(jù)需要適當變換角度來抓住問題的特征,通過抽象概括歸納以解決問題，培養(yǎng)學生敏銳的觀察力是解決這類問題的關鍵.除了真實的實驗外,還可以充分利用現(xiàn)代教育技術設計一些仿真實驗,讓學生通過實際操作學會觀察、學會發(fā)現(xiàn),在活動中發(fā)展能力，提高素養(yǎng).