陶宏玲

[摘? 要] 隨著新課程改革的深入推進，數(shù)學教師積極轉(zhuǎn)變教學思路，更新教學觀念，將學生思維能力的培養(yǎng)提升到一個較高的層面. 文章對數(shù)學思維靈活性培養(yǎng)的具體路徑進行探討，以期引起廣大數(shù)學教師的關注與研究.

[關鍵詞] 高中數(shù)學;思維能力;靈活性;培養(yǎng)

由于受應試教育的影響，在高中數(shù)學教學過程中，教學定位于知識技能的傳授，淡化對學生思維品質(zhì)的要求.但數(shù)學是一門以鍛煉思維能力著稱的學科，那么缺失了思維參與的數(shù)學課堂教學，其低效是不言而喻的. 眾所周知，思維的靈活性是多個思維品質(zhì)形成的基礎和保障，是眾多思維品質(zhì)的核心[1].因此，新課改風向標下，教師需在教學中強化思維靈活性的作用.

心理學研究表明，高中學生的思維已經(jīng)逐步趨向成熟化，早已實現(xiàn)了從經(jīng)驗型向理論型的過渡. 作為高中數(shù)學教師，應把握好學生思維發(fā)展的高速期，牢牢把握學生思維可塑性最大的成熟前期，進行思維靈活性培養(yǎng)的具體路徑實施，讓數(shù)學的教育價值真正得以實現(xiàn). 那么，如何才是讓高中學生的思維更具靈活特點呢？筆者在教學實踐中做了如下探索：

訓練逆向思維

“逆向思維”作為一種反常規(guī)方法的合理運用，自然是相對于“正向思維”而論的，它們之間的區(qū)別在于思考問題的方向不同. 它隸屬于思維品質(zhì)領域，是重要的思考能力，同時也是一種求異思維的體現(xiàn). 不少問題通過正向思考解決時呈現(xiàn)“山窮水盡”的景象，而變換為逆向思維時則可達到“柳暗花明”的奇效. 因此，在數(shù)學教學中，訓練學生的逆向思維可拓寬學生的思路，克服思維定式的影響，開辟新的思維路徑，提高思維的靈活度. 例如，在講授三角公式、導數(shù)公式等數(shù)學公式時，可以通過逆向推導來活躍靈感，從而達到求解的目的.

例1：應用排列數(shù)符號表示18×17×16×…×11×10=________.

分析：若引導學生去計算A■，不少學生則可以較為輕松地完成，多多少少對訓練學生思維也有些益處.不過，本題“反其意而為之”，解決的關鍵是逆向思維與解題經(jīng)驗，難度和思維量自然是提升了，思維的方式也發(fā)生了改變，對思維的訓練也達到了.

例2：已知定義在（0，+∞）上的可導函數(shù)f（x）對于定義域中的任意x都滿足f（x）+xf ′（x）>0，那么不等式■·f（■）>0的解集是________.

分析：應用導數(shù)公式來求導已知函數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性是正向思維的考查方法，學生解決起來難度較小，屬于低階思維要求.而本題以“其導函數(shù)”為載體，解決的關鍵是逆向思考原函數(shù)的解析式，突出考查了逆向思維，屬于高階思維要求.

開放題教學

開放題型的形式千變?nèi)f化，不僅可以開放條件，引領學生勤思和善思;而且可以開放結(jié)論，讓求異思維自然落地;同時也可以開放策略，為學生的思維空間留有余力. 其主要特征體現(xiàn)在思維靈活和策略多樣，對思維靈活性的培養(yǎng)大有裨益.因此，教師針對性地精選一些開放題型進行訓練，給予學生靈活思維的時機，并鼓勵求異思維，激勵學生多方法、多途徑思考，這有利于培養(yǎng)學生孜孜不倦的探究精神及創(chuàng)造力.

例3：請寫出一個以下兩個條件均滿足的函數(shù)________.

（1）在定義域（0，+∞）上單調(diào)增加;

（2）對于任意x，y>0，都有f（xy）=f（x）+f（y）+1成立.

傳統(tǒng)題型中，一道題僅僅只有一個標準答案，不利于思維靈活性的發(fā)展.為了改變這一現(xiàn)狀，本題中僅僅出示了函數(shù)的2個性質(zhì)，給予學生思維馳騁的廣闊空間，引導學生依據(jù)自身所學內(nèi)容，靈活機動地進行檢索，答案自然也是多種多樣和豐富多彩的，從而有效地活躍了學生的數(shù)學思維.

展開變式訓練

在教學中，我們不少教師會發(fā)現(xiàn)，一道典型例題教師分析后學生可以掌握，而之后的練習中對試題稍加“變臉”，不少學生就思維卡殼，無從下手. 若想改變這一現(xiàn)狀，應增強數(shù)學中的變化性，可以結(jié)合習題教學中的變式訓練來拓展學生的思路，達到啟迪思維同時潛移默化地提升思維靈活性的目的.

例4：已知A（2，2），點F1為橢圓■+■=1的左焦點，點P為該橢圓上的一動點，試求出PA-PF1的最大值.

分析：從三角形的特征進行探究可得：動點P位于線段AF1的延長線和橢圓交點時，PA-PF1有最大值■，該最大值為線段AF1的長.

從差式延伸開來，可作如下變式：

變式1：原題的條件不變，將問題“試求出PA-PF■的最大值”變換為“試求出PA+PF■的最小值”.

變式2：原題的條件不變，將問題“試求出PA-PF1的最大值”變換為“試求出PA+■PF1的最小值”.

變式3：原題的條件和問題均改變，變換為“已知A（-6，2），點F1為雙曲線■-■=1的左焦點，點P為該雙曲線上的一動點，請求PA+■PF■的最小值”.

注重等價轉(zhuǎn)化

等價轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學中的重要思想方法之一，其本質(zhì)就是將陌生問題轉(zhuǎn)換成熟悉的、已知的范疇內(nèi)可以解決的問題的方法，在一次一次的轉(zhuǎn)化中，實現(xiàn)思路的變通，強化學生解題中的應變能力.因此，在日常教學中，教師需做到因地制宜，從學生的實際認知水平出發(fā)，設計融入等價轉(zhuǎn)換思想的教學環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學生將陌生、煩瑣、復雜、抽象的問題熟悉化、形象化、簡捷化，逐漸提升綜合素質(zhì)以及思維靈活性. 在高中數(shù)學教學中，等價轉(zhuǎn)換的例子各種各樣，如立體幾何中與線面平行或垂直問題通常可以轉(zhuǎn)換成線線平行或垂直的問題來解決;而面面平行或垂直的相關問題又可以轉(zhuǎn)化成線面平行或垂直的問題進行解決[2].

例5：試判斷函數(shù)f（x）=■的奇偶性.

分析：學生在判斷時，一般都是以f（-x）為原型進行變形，找尋出f（-x）和f（x）的關系. 不過觀察本題可以發(fā)現(xiàn)，分母和分子的結(jié)構都十分復雜，運算過程煩瑣不堪，不少學生束手無策.事實上，判斷函數(shù)的奇偶性等價于■可否等于1或是-1，此處等價轉(zhuǎn)換思想充分運用就有效地簡化了此題的運算. 求解過程如下：

解■=■·■=■=■= -1.

所以f（-x）=-f（x），又因為f（x）的定義域關于原點對稱，所以f（x）是奇函數(shù).

當然，在實現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化的過程中，學生需將問題逐步轉(zhuǎn)換為最易于操作的問題，在不經(jīng)意的轉(zhuǎn)換中，“打通”思路脈絡，有效激活思維.

體會“正難則反”的思想

一些數(shù)學問題從正面著手解決時常常會困難重重，此時可以轉(zhuǎn)換方向，從反面入手解決，這樣的策略就是“正難則反”. 正難則反易，“正難則反”是一種極其重要的數(shù)學思想，千古傳誦的“草船借箭”的歷史故事從很大程度上顯示了此數(shù)學思想的巨大威力. 有意識地訓練這種思維方法，可以引導學生通過正向遷移改善解決問題的能力.例如，在求解概率問題時，可從對立事件的概率公式P（A）+P（■）=1入手，優(yōu)化解題策略，減輕煩瑣計算，提高解題效率.

例6：已知拋物線y=x2-x+m，y=x2+2mx+4和y=mx2+mx+m-1中，至少有一條拋物線與x軸相交，試求出實數(shù)m的取值范圍.

分析：從“正面”入手解決，則需分類討論“三條拋物線至少有一條與x軸相交”的多種情況，過程繁不堪言. 如果從結(jié)論的反面入手，也就是思考“三條拋物線都不與x軸相交”這一種情況，由此將其轉(zhuǎn)化為“二次函數(shù)根”的問題，進而求其補集以達到求解本題的目的.

解：據(jù)題設反面“三條拋物線都不與x軸相交”，設上述三條拋物線的判別式分別為Δ1，Δ2，Δ3，則有Δ1=1-4m<0，Δ2=4m2-16<0，Δ3=m2-4m（m-1）<0，解得■

又因為y=mx2+mx+m-1是拋物線，所以m≠0.

再求補集，則m的取值范圍為mm≤■或m≥2且m≠0？搖.

“正難則反”的思想具有靈活性和發(fā)散性，常常打破常規(guī)思維的禁錮，是創(chuàng)新思維的源泉.

總之，新課程標準理念下，良好的思維品質(zhì)是學生受益終身的法寶.本文在多個實例的分析過程中，自然呼出思維的靈活性，并與多種思維品質(zhì)相關聯(lián)，讓學生參與到思維活動中來，以思維引導學習，使思維品質(zhì)的自然形成成為學生主動思維的結(jié)果[3]■. 當然，思維品質(zhì)的提升也不是一蹴而就的，學生應當努力磨煉，使自己成為思維活躍中的一名“猛將”，讓數(shù)學思維在自身的磨煉中真正“落地”;教師也應當創(chuàng)造性地運用好教材這一“利劍”，不斷攀登數(shù)學課程改革的新高度.

參考文獻：

[1]? 趙思林，朱德全. 試論數(shù)學直覺思維的培養(yǎng)策略[J]. 數(shù)學教育學報，2010，19（2）.

[2]? 錢從新. 運用推廣與引申的方法培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力[J]. 數(shù)學教育學報，2003，12（1）.

[3]? 李海洋. 在數(shù)學教學中如何培養(yǎng)學生思維的靈活性[J]. 成才之路，2007（08）.