李容星

(湖北師范大學(xué)文理學(xué)院，湖北 黃石 435109)

一、引 言

二、柯西-施瓦茨定理

我們先引入柯西-施瓦茨定理：

設(shè)函數(shù)()和()都在[,]上可積，則

柯西-施瓦茨定理有如下簡(jiǎn)單的推論：

設(shè)函數(shù)()在[,]上可積，則

在柯西-施瓦茨定理中取()=1即可得證

設(shè)函數(shù)(),()在上連續(xù)可微，則

由引理1可得

于是

即推論2得證

設(shè)函數(shù)(,)在上連續(xù)可微，則

即定理1得證

三、可微函數(shù)平方積分的估計(jì)

我們首先對(duì)函數(shù)本身進(jìn)行估計(jì)：

由牛頓-萊布尼茨公式有

由引理2有

(1)

同理有

從而

(2)

由(1)(2)式有

(-)()=(-)()+(-)()

(3)

即

即定理2得證

從定理2的證明過(guò)程中我們可以對(duì)函數(shù)的積分進(jìn)行估計(jì)：

設(shè)函數(shù)()在[,]上連續(xù)可微，且()=()=0，則

由定理1證明過(guò)程中的(3)式，對(duì)?∈[,]有

兩邊對(duì)積分有

從而

即定理3得證

繼續(xù)研究定理3的證明過(guò)程我們可以得到如下結(jié)論：

設(shè)函數(shù)()在[,]上連續(xù)可微，且()=()=0，則

由定理2證明過(guò)程中的(1)(2)式，對(duì)?∈[,]有

累次積分變換積分次序可得

(4)

累次積分變換積分次序可得

(5)

從而由(4)(5)式有

即定理4得證

四、可微函數(shù)其他積分的估計(jì)

利用上述的結(jié)論可以對(duì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的乘積進(jìn)行估計(jì)：

設(shè)函數(shù)()在[,]上連續(xù)可微，且()=()=0，則

證 由引理1和定理4可得

從而

即定理5得證

利用定積分與原函數(shù)的關(guān)系也可以對(duì)定理2的結(jié)論進(jìn)行改進(jìn)：

設(shè)函數(shù)()在[,]上連續(xù)可微，且()=()=0，則

兩式相加，并利用推論1可得

同理可得

故而

即定理6得證

五、在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

因此該題得證

六、結(jié) 語(yǔ)

利用函數(shù)的性質(zhì)以及相關(guān)的定理與公式對(duì)函數(shù)及其變式的積分進(jìn)行估計(jì)是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的工作在第一部分，本文先對(duì)函數(shù)本身進(jìn)行估計(jì)，然后利用柯西-施瓦茨定理對(duì)函數(shù)的平方進(jìn)行估計(jì)，接著利用重積分可以交換積分順序的特性來(lái)改進(jìn)結(jié)果在第二部分，本文利用第一部分的結(jié)果，對(duì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的乘積進(jìn)行估計(jì)該思想的本質(zhì)是利用柯西-施瓦茨定理結(jié)合函數(shù)本身導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)對(duì)函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，只要掌握好該思想，就能夠簡(jiǎn)化高等數(shù)學(xué)中相關(guān)問(wèn)題的推導(dǎo)，對(duì)函數(shù)的積分進(jìn)行更好的估計(jì)