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        特殊差分方程的求解

        2020-09-14 07:41:40孫建新
        關(guān)鍵詞:差分參考文獻(xiàn)定理

        孫建新

        (紹興文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系,浙江 紹興 312000)

        0 引言

        眾所周知,一般常微分方程的教材[1]都考慮可微函數(shù)的常微分方程的求解,并且貝努里微分方程、恰當(dāng)微分方程以及存在恰當(dāng)因子的微分方程是三類常見的可以求解的特殊微分方程.但是隨著計算機(jī)信息時代的來臨,人們遇到的大量問題是離散型的.微分方程只能提供離散問題的近似解,人們需要更多地考慮差分方程的求解.本文提供的方法,就是為差分方程的求解提供若干類型與解法,并且作為應(yīng)用,舉出了幾個典型的實例.

        本文所定義的三類差分方程,除了可以直接“和分[2]”求解的差分方程以外,是最具有代表性的三類差分方程,其地位與常微分方程中的貝努里方程、恰當(dāng)微分方程與存在恰當(dāng)因子的微分方程相當(dāng),而且新差分方程的命名參考了相應(yīng)的微分方程,所以研究他們很有必要.

        普通冪的高階差分公式非常復(fù)雜,而階乘冪的高階差分公式卻很簡單,這就是“階乘冪方法”具有優(yōu)越性的根本原因.本文是在研究階乘冪特別是在研究一般齊次[3]與非齊次差分方程[4]的基礎(chǔ)上,來研究特殊差分方程的求解的.由于對階乘冪的研究中,我們已經(jīng)得到許多有關(guān)離散數(shù)據(jù)特別是階乘冪以及高階差分的許多性質(zhì)[5],所以在敘述特殊差分方程的求解時,有關(guān)的性質(zhì)不再加以解釋,想了解這些性質(zhì)的讀者可以查文末提供的參考文獻(xiàn).

        1 主要結(jié)果

        下面先給出三類特殊差分方程的定義與定理.

        定義1.1 所謂貝努里(Bernoulli)差分方程是指

        或者

        定理1.2 貝努里差分方程的解為

        證明 當(dāng)k-1時,-k≥1,方程兩邊乘以即得

        △yn+p·yn=q.

        其通解為[4]

        yn=(1-p)n+qn+c.

        由此可得

        △yn+p·yn=q.

        其通解為[4]

        yn=(1-p)n+qn+c.

        由此可得

        定義1.3 所謂恰當(dāng)差分方程是

        M(n+1)△xn+N(n)xn=0

        并且滿足條件△M(n)=N(n),其等價條件為M(n+1)=N(n).

        定理1.4 恰當(dāng)差分方程的解為

        證明 由△M(n)=N(n),則原方程可化為

        M(n+1)△xn+xn△M(n)=0.

        注意到積的差分公式為△{M(n)N(n)}=M(n+1)△N(n)+N(n)△M(n).即有

        △{M(n)xn}=0.

        于是

        M(n)xn=c.

        整理即得

        定義1.5 對于原差分方程

        M(n+1)△xn+xnN(n)=0.

        定理1.6 如果μn為原差分方程的恰當(dāng)因子,則原差分方程的解為

        μnM(n+1)△xn+xn{μnM(n+1)}=0.

        μnM(n+1)△xn+xn△{μn-1M(n)}=0.

        E{μn-1M(n)}△xn+xn△{μn-1M(n)}=0,

        △{μn-1M(n)xn}=0,

        μn-1M(n)xn=c.

        整理即得

        2 應(yīng)用

        下面作為定理1.2、1.4、1.6的應(yīng)用,舉一些具體的實例.

        解 這是k<0時的貝努里差分方程,其中k=-1,p=-1,q=2.可以直接使用定理1.2的公式得到解.

        公式不熟,可以逐步推導(dǎo):先兩邊同乘以xn,可得

        △yn-yn=2.

        解得

        即xn=(2n+2n+c)1/2.

        解 這是k>1時的貝努里差分方程,其中k=3,p=2,q=-1.可以直接使用定理1.2的公式得到解.

        △yn+2yn=-1.

        于是由參考文獻(xiàn)[2]可得

        解得

        xn={(-1)n-n+c}-1/2

        例2.3 求解如下的差分方程:(n+1)2△xn+(2n+1)xn=0.

        解記M(n+1)=(n+1)2,N(n)=2n+1,則M(n)=n2.顯然滿足△M(n)=N(n),可見是恰當(dāng)差分方程.由積的差分公式可得

        △(n2xn)=0.

        于是有

        n2xn=c.

        解得

        例2.4 求解如下的差分方程:

        (n+1)△xn+3xn=0.

        解 記M(n+1)=n+1,N(n)=3,則M(n)=n.顯然不滿足△M(n)=N(n),可見不是恰當(dāng)差分方程.但是存在μn=n!2=n(n-1),此時μnM(n+1)=n!2(n+1)=(n+1)!3,μnN(n)=3n!2.顯然滿足

        即△(μn-1M(n))=△(n!3)=3n!2=μnN(n).可見μn=n!2是恰當(dāng)因子.于是,

        △{μn-1M(n)xn}=△{(n-1)!2nxn}=

        △{n!3xn}=0.

        即有

        n!3xn=c.

        解得

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