曹躍龍 賈婉麗 張 琳

（西安理工大學(xué)理學(xué)院 陜西·西安 710048）

0 引言

學(xué)生完成物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量后，課后的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理是一個(gè)重要環(huán)節(jié)，利用傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法處理數(shù)據(jù)，學(xué)生往往需要花很長(zhǎng)時(shí)間完成，傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法計(jì)算繁瑣、容易出錯(cuò)。如今，運(yùn)用計(jì)算機(jī)應(yīng)用軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理已經(jīng)成為一種趨勢(shì)。Matlab、Mathematica、Maple 等計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)語(yǔ)言具有強(qiáng)大的計(jì)算功能和繪圖功能，在物理實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用這些軟件進(jìn)行數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)和復(fù)雜數(shù)據(jù)處理非常方便。但是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)在本科一年級(jí)學(xué)生中開(kāi)設(shè)，大部分學(xué)生并不具備編程基礎(chǔ)，如何引導(dǎo)學(xué)生使用這些軟件完成數(shù)據(jù)處理就需要我們?nèi)握n老師潛心研究了。Matlab 相比于高級(jí)計(jì)算機(jī)C 語(yǔ)言而言，簡(jiǎn)單易學(xué)，上手快，掌握一些簡(jiǎn)單的函數(shù)完全可以進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理。

1 實(shí)驗(yàn)緒論課講授簡(jiǎn)單matlab 函數(shù)的必要性

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)都是從緒論課開(kāi)始的，即介紹大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的目的、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、實(shí)驗(yàn)方法，其中一個(gè)重要的內(nèi)容介紹是如何處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，常規(guī)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理不外乎：列表法、逐差法、作圖法、最小二乘法。這幾種方法都有各自的優(yōu)點(diǎn)，但也都存在缺點(diǎn)。列表法簡(jiǎn)單明了，形式緊湊，各數(shù)據(jù)間易于參考比較，但也存在不能直觀地顯示數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)的缺點(diǎn)。作圖法能將物理量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、變化趨勢(shì)以及數(shù)據(jù)的極值點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、周期性等以最直觀的方式顯示出來(lái)，但也存在主觀隨意性大不可避免地引入一些附加誤差。逐差法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單，可以最大限度的利用測(cè)量數(shù)據(jù)，但要求函數(shù)必須滿足一元函數(shù)，且自變量必須是等間距變化，函數(shù)間不是線性關(guān)系的需要轉(zhuǎn)換成線性關(guān)系，這樣的處理都引入了誤差的存在。最小二乘法可以精確地?cái)M合出曲線的參數(shù)，但存在計(jì)算量過(guò)大，學(xué)生手工計(jì)算難度太大，所以借助于計(jì)算機(jī)高級(jí)語(yǔ)言完成實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理是很有必要的。

緒論課中可適當(dāng)引入matlab 的簡(jiǎn)單計(jì)算函數(shù)，鼓勵(lì)學(xué)生主要通過(guò)自學(xué)應(yīng)用matlab 處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的列表法、畫(huà)圖法、逐差法以及最小二乘法的繁復(fù)計(jì)算，使學(xué)生學(xué)以致用。

2 幾種常用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法例子

2.1 單變量的統(tǒng)計(jì)計(jì)算

利用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示測(cè)量結(jié)果時(shí)，對(duì)于多次測(cè)量的樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差用 表示

平均標(biāo)準(zhǔn)偏差用

可用的簡(jiǎn)單函數(shù)有：mean（）（求平均值）、var（）（求樣本方差）、std（）（求樣本標(biāo)準(zhǔn)差）

例如：測(cè)量某長(zhǎng)度所得數(shù)據(jù)如下（單位mm）：

n（測(cè)量次數(shù)） 1 2 3 4 5 L（mm） 40.3 39.6 39.7 40.4 39.5 n（測(cè)量次數(shù)） 6 7 8 9 10 L（mm） 39.8 40.3 39.6 40.5 40.3

試將測(cè)量結(jié)果按照規(guī)范式正確表述。

解：matlab 程序如下：

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L=[40.3 39.6 39.7 40.4 39.5 39.8 40.3 39.6 40.5 40.3]；

L1=mean(L) %求解平均值

a1=std(L) %求解樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差

a2=a1/sqrt(10) %求解平均標(biāo)準(zhǔn)偏差

運(yùn)行結(jié)果：L1=40.0000mm；

a1=0.3916mm；a2=0.1238mm

2.2 逐差法

用逐差法計(jì)算數(shù)據(jù)，要求原始數(shù)據(jù)必須是偶數(shù)個(gè)，必須使用隔n 項(xiàng)逐差，并求對(duì)應(yīng)項(xiàng)的逐差，其算術(shù)平均值為：

算術(shù)平均值絕對(duì)誤差為：

相對(duì)誤差為：

例如：一豎直輕彈簧的長(zhǎng)度L和下端所加負(fù)載質(zhì)量的關(guān)系如下：

M(g) 0.00 2.00 4.00 L(cm) 16.50 18.50 20.6 M(g) 6.00 8.00 10.00 L(cm) 22.90 25.10 27.20

試用逐差法處理數(shù)據(jù)，求出伸長(zhǎng)量的算術(shù)平均值、絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差以及彈簧的倔強(qiáng)系數(shù) 。

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g=9.8；

m=[0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00]；

L=[16.50 18.50 20.6 22.90 25.10 27.20]；

delL1=(L(6)-L(3))*10e-2；

delL2=(L(5)-L(2))*10e-2；

delL3=(L(4)-L(1))*10e-2；

delL=1/3*(delL1+delL2+delL3)； %算術(shù)平均值

delm=(m(6)-m(3))*10e-3；

k=delm*g/(delL) %彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)

deldelL=1/3*(delL1-delL+delL2-delL+delL3-delL) %算術(shù)平均值絕對(duì)誤差

E=deldelL/dell %相對(duì)誤差

運(yùn)行結(jié)果：彈簧倔強(qiáng)系數(shù)k = 0.9000；算術(shù)平均值 6.533；算術(shù)平均值絕對(duì)誤差 2.961 -15%；相對(duì)誤差=4.5 -15%。

2.3 一元線性回歸分析

其中a，b 是需估計(jì)的兩個(gè)參數(shù)?，F(xiàn)有x 和y 的n 組測(cè)量值(，可根據(jù)最小二乘法估計(jì) a，b 的值。

所以得到：

R 為線性相關(guān)系數(shù)。

平均標(biāo)準(zhǔn)偏差為：

其中K 是參數(shù)的數(shù)目。

例如：一物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，在不同時(shí)刻t，觀察運(yùn)動(dòng)距離S，結(jié)果如下：

t(s) 1.00 2.00 3.00 4.00 S(cm) 16.8 22.8 29.0 34.9 t(s) 5.00 6.00 7.00 8.00 S(cm) 40.8 46.6 52.1 58.6

試用最小二乘法求出物體運(yùn)動(dòng)速度。

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t=[1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00]；

S=[16.8 22.8 29.0 34.9 40.8 46.6 52.4 58.6]；

a=polyfit(t,S,1)%a(1)為 b，a(2)為 a

t1=1：8；k=2；

S1=a(1)*t1+a(2)；

Sn=a(1)*t+a(2)；tn=(S-a(2))/a(1)；

sigmaSn=sqrt((Sn-S)*(Sn-S)'/(k*(k-1))),%S 平均標(biāo)準(zhǔn)偏差

圖1 物體運(yùn)動(dòng)距離S 與時(shí)間t 的最小二乘法擬合

sigmatn=sqrt((tn-t)*(tn-t)'/(k*(k-1))),%t 的平均標(biāo)準(zhǔn)偏差

tp=mean(t),Sp=mean(S),%平均值

Ltt=(t-tp)*(t-tp)',

Lss=(S-Sp)*(S-Sp)',

Lts=(t-tp)*(S-Sp)',

r=Lts/sqrt(Ltt*Lss),%線性相關(guān)系數(shù)

運(yùn)行結(jié)果：a=5.9440 10.9893；sigmaSn=0.0025；sigmatn=0.0424；tp=4.5000；Sp=0.3774；r=1.0000

所以速度v=5.944m/s，物體運(yùn)動(dòng)的距離S 與時(shí)間t 的關(guān)系為：s=5.94t+10.99，時(shí)間 t 的平均值：t=4.50(s)，物體運(yùn)動(dòng)距離的平均值：=0.3774(m)，時(shí)間t 的平均標(biāo)準(zhǔn)偏差為： =0.0424，物理運(yùn)動(dòng)距離的平均標(biāo)準(zhǔn)偏差為： =0.0025，線性相關(guān)系數(shù)為：=1，相關(guān)度非常好。

3 小結(jié)

通過(guò)以上幾種數(shù)據(jù)處理常用方法的例子可以看出，Matlab功能強(qiáng)大,在物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中使用非常方便。引入一定的機(jī)制鼓勵(lì)學(xué)生積極自學(xué)并使用Matlab 語(yǔ)言來(lái)處理大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，不僅提高了他們自身的素質(zhì)，而且能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。