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        引導(dǎo)學(xué)生利用Matlab 處理大學(xué)物理實驗數(shù)據(jù)的探究

        2020-09-14 11:47:02曹躍龍賈婉麗
        科教導(dǎo)刊 2020年22期
        關(guān)鍵詞:差法算術(shù)標(biāo)準(zhǔn)偏差

        曹躍龍 賈婉麗 張 琳

        (西安理工大學(xué)理學(xué)院 陜西·西安 710048)

        0 引言

        學(xué)生完成物理實驗數(shù)據(jù)測量后,課后的實驗數(shù)據(jù)處理是一個重要環(huán)節(jié),利用傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法處理數(shù)據(jù),學(xué)生往往需要花很長時間完成,傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法計算繁瑣、容易出錯。如今,運用計算機應(yīng)用軟件進(jìn)行實驗數(shù)據(jù)處理已經(jīng)成為一種趨勢。Matlab、Mathematica、Maple 等計算機數(shù)學(xué)語言具有強大的計算功能和繪圖功能,在物理實驗中應(yīng)用這些軟件進(jìn)行數(shù)值模擬實驗和復(fù)雜數(shù)據(jù)處理非常方便。但是大學(xué)物理實驗在本科一年級學(xué)生中開設(shè),大部分學(xué)生并不具備編程基礎(chǔ),如何引導(dǎo)學(xué)生使用這些軟件完成數(shù)據(jù)處理就需要我們?nèi)握n老師潛心研究了。Matlab 相比于高級計算機C 語言而言,簡單易學(xué),上手快,掌握一些簡單的函數(shù)完全可以進(jìn)行實驗數(shù)據(jù)處理。

        1 實驗緒論課講授簡單matlab 函數(shù)的必要性

        大學(xué)物理實驗都是從緒論課開始的,即介紹大學(xué)物理實驗的目的、實驗內(nèi)容、實驗方法,其中一個重要的內(nèi)容介紹是如何處理實驗數(shù)據(jù),常規(guī)的實驗數(shù)據(jù)處理不外乎:列表法、逐差法、作圖法、最小二乘法。這幾種方法都有各自的優(yōu)點,但也都存在缺點。列表法簡單明了,形式緊湊,各數(shù)據(jù)間易于參考比較,但也存在不能直觀地顯示數(shù)據(jù)變化趨勢的缺點。作圖法能將物理量間的對應(yīng)關(guān)系、變化趨勢以及數(shù)據(jù)的極值點、轉(zhuǎn)折點、周期性等以最直觀的方式顯示出來,但也存在主觀隨意性大不可避免地引入一些附加誤差。逐差法的優(yōu)點是計算簡單,可以最大限度的利用測量數(shù)據(jù),但要求函數(shù)必須滿足一元函數(shù),且自變量必須是等間距變化,函數(shù)間不是線性關(guān)系的需要轉(zhuǎn)換成線性關(guān)系,這樣的處理都引入了誤差的存在。最小二乘法可以精確地擬合出曲線的參數(shù),但存在計算量過大,學(xué)生手工計算難度太大,所以借助于計算機高級語言完成實驗數(shù)據(jù)處理是很有必要的。

        緒論課中可適當(dāng)引入matlab 的簡單計算函數(shù),鼓勵學(xué)生主要通過自學(xué)應(yīng)用matlab 處理實驗數(shù)據(jù)中的列表法、畫圖法、逐差法以及最小二乘法的繁復(fù)計算,使學(xué)生學(xué)以致用。

        2 幾種常用實驗數(shù)據(jù)處理方法例子

        2.1 單變量的統(tǒng)計計算

        利用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示測量結(jié)果時,對于多次測量的樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差用 表示

        平均標(biāo)準(zhǔn)偏差用

        可用的簡單函數(shù)有:mean()(求平均值)、var()(求樣本方差)、std()(求樣本標(biāo)準(zhǔn)差)

        例如:測量某長度所得數(shù)據(jù)如下(單位mm):

        n(測量次數(shù)) 1 2 3 4 5 L(mm) 40.3 39.6 39.7 40.4 39.5 n(測量次數(shù)) 6 7 8 9 10 L(mm) 39.8 40.3 39.6 40.5 40.3

        試將測量結(jié)果按照規(guī)范式正確表述。

        解:matlab 程序如下:

        clear all

        L=[40.3 39.6 39.7 40.4 39.5 39.8 40.3 39.6 40.5 40.3];

        L1=mean(L) %求解平均值

        a1=std(L) %求解樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差

        a2=a1/sqrt(10) %求解平均標(biāo)準(zhǔn)偏差

        運行結(jié)果:L1=40.0000mm;

        a1=0.3916mm;a2=0.1238mm

        2.2 逐差法

        用逐差法計算數(shù)據(jù),要求原始數(shù)據(jù)必須是偶數(shù)個,必須使用隔n 項逐差,并求對應(yīng)項的逐差,其算術(shù)平均值為:

        算術(shù)平均值絕對誤差為:

        相對誤差為:

        例如:一豎直輕彈簧的長度L和下端所加負(fù)載質(zhì)量的關(guān)系如下:

        M(g) 0.00 2.00 4.00 L(cm) 16.50 18.50 20.6 M(g) 6.00 8.00 10.00 L(cm) 22.90 25.10 27.20

        試用逐差法處理數(shù)據(jù),求出伸長量的算術(shù)平均值、絕對誤差和相對誤差以及彈簧的倔強系數(shù) 。

        clear all

        g=9.8;

        m=[0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00];

        L=[16.50 18.50 20.6 22.90 25.10 27.20];

        delL1=(L(6)-L(3))*10e-2;

        delL2=(L(5)-L(2))*10e-2;

        delL3=(L(4)-L(1))*10e-2;

        delL=1/3*(delL1+delL2+delL3); %算術(shù)平均值

        delm=(m(6)-m(3))*10e-3;

        k=delm*g/(delL) %彈簧的倔強系數(shù)

        deldelL=1/3*(delL1-delL+delL2-delL+delL3-delL) %算術(shù)平均值絕對誤差

        E=deldelL/dell %相對誤差

        運行結(jié)果:彈簧倔強系數(shù)k = 0.9000;算術(shù)平均值 6.533;算術(shù)平均值絕對誤差 2.961 -15%;相對誤差=4.5 -15%。

        2.3 一元線性回歸分析

        其中a,b 是需估計的兩個參數(shù)。現(xiàn)有x 和y 的n 組測量值(,可根據(jù)最小二乘法估計 a,b 的值。

        所以得到:

        R 為線性相關(guān)系數(shù)。

        平均標(biāo)準(zhǔn)偏差為:

        其中K 是參數(shù)的數(shù)目。

        例如:一物體作勻速直線運動,在不同時刻t,觀察運動距離S,結(jié)果如下:

        t(s) 1.00 2.00 3.00 4.00 S(cm) 16.8 22.8 29.0 34.9 t(s) 5.00 6.00 7.00 8.00 S(cm) 40.8 46.6 52.1 58.6

        試用最小二乘法求出物體運動速度。

        clear all

        t=[1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00];

        S=[16.8 22.8 29.0 34.9 40.8 46.6 52.4 58.6];

        a=polyfit(t,S,1)%a(1)為 b,a(2)為 a

        t1=1:8;k=2;

        S1=a(1)*t1+a(2);

        Sn=a(1)*t+a(2);tn=(S-a(2))/a(1);

        sigmaSn=sqrt((Sn-S)*(Sn-S)'/(k*(k-1))),%S 平均標(biāo)準(zhǔn)偏差

        圖1 物體運動距離S 與時間t 的最小二乘法擬合

        sigmatn=sqrt((tn-t)*(tn-t)'/(k*(k-1))),%t 的平均標(biāo)準(zhǔn)偏差

        tp=mean(t),Sp=mean(S),%平均值

        Ltt=(t-tp)*(t-tp)',

        Lss=(S-Sp)*(S-Sp)',

        Lts=(t-tp)*(S-Sp)',

        r=Lts/sqrt(Ltt*Lss),%線性相關(guān)系數(shù)

        運行結(jié)果:a=5.9440 10.9893;sigmaSn=0.0025;sigmatn=0.0424;tp=4.5000;Sp=0.3774;r=1.0000

        所以速度v=5.944m/s,物體運動的距離S 與時間t 的關(guān)系為:s=5.94t+10.99,時間 t 的平均值:t=4.50(s),物體運動距離的平均值:=0.3774(m),時間t 的平均標(biāo)準(zhǔn)偏差為: =0.0424,物理運動距離的平均標(biāo)準(zhǔn)偏差為: =0.0025,線性相關(guān)系數(shù)為:=1,相關(guān)度非常好。

        3 小結(jié)

        通過以上幾種數(shù)據(jù)處理常用方法的例子可以看出,Matlab功能強大,在物理實驗數(shù)據(jù)處理中使用非常方便。引入一定的機制鼓勵學(xué)生積極自學(xué)并使用Matlab 語言來處理大學(xué)物理實驗數(shù)據(jù),不僅提高了他們自身的素質(zhì),而且能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

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