賈倩倩，高興慧

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

0 引言

f(x,y)+〈Bx,y-x〉≥0,?y∈C

(1)

(1)的解集記為EP(f,B)。若B=0,則(1)就是找x∈C使得f(x,y)≥0，對任意的y∈C成立，記為問題(2)，(2)稱為均衡問題。(2)的解集記為EP(f)。若f=0,則(1)就是找x∈C,使得〈Bx,y-x〉≥0,?y∈C稱為變分不等式，記為問題(3)，(3)的解集記為VI(C,B)。

一般均衡問題(1)解的問題在最優(yōu)化理論以及經濟學中的許多問題中有重要作用。一些學者通過研究問題(2)的求解方法[見文獻1-3]，得到一些結果。設計合適的迭代程序逼近變分不等式問題的解集或者非擴張映射不動點問題是目前非泛函分析研究的熱點問題[參見文獻4-9]，文獻[4]在2-一致凸以及一致光滑Banach空間的結構下將此二者結合。受到文獻[2-4]的啟發(fā)，本文將在更一般的一致光滑的嚴格凸的且具有K-K性質的Banach空間中，通過收縮投影算法得到了一個新的極大單調算子的公共零點集和一個半相對非擴張映像的公共不動點集以及寬松的協(xié)和算子的有限個變分不等式問題解集的公共元,并且利用設計的算法證明此公共元的強收斂定理。所得到的結果改進了文獻[2-4]，并推廣了其他文獻的相關結果。

1 預備知識

設X是實的Banach空間,X*稱為X的對偶空間。J:X→2X*是正規(guī)對偶映射，定義為J(x)={f∈X*:〈x,f〉=‖x‖2=‖f‖2}顯然，若X是光滑的Banach空間,則J是單值的，若X是一致光滑的Banach空間，那么J是一致范-范連續(xù)。

設C是Hilbert空間，H是C的閉凸非空子集，PC是H到C的度量投影算子，那么PC是非擴張映像，事實上，這個性質在一般Banach空間中并不具有，是Hilbert空間的特有的性質,與之相關，文獻 [4]中介紹了Banach空間中的廣義投影算子πC，它與度量投影算子PC類似。 定義Lyapunov泛函為

φ(x,y)=‖x‖2-2〈x,Jy〉+‖y‖2,?x,y∈C

(4)

(‖x‖-‖y‖)2≤φ(x,y)≤(‖x‖+‖y‖)2，?x,y∈X

(5)

注1[10]設X為自反Banach空間且X是光滑且嚴格凸的，則對?x,y∈X,有φ(x,y)=0?x=y。

定義1[4]設C為X的凸閉子集,T:C→C是自映像，若F(T)非空，且對?x∈C,p∈F(T),有φ(p,Tx)≤φ(p,x)，那么稱T是半相對非擴張映像。

注2[10]若X是一致光滑Banach的空間?X*為一致凸空間，如果X*為一致凸的Banach空間，那么X*具有K-K性質。

注3[11]若X是一致光滑的Banach空間，則在X的任意有界子集上，J是一致范數(shù)到范數(shù)連續(xù)的。

引理1[2]設X為自反Banach空間且X是光滑且嚴格凸的，T是X到2X*的極大單調算子且T-10非空，那么?x∈X,y∈T-10,r>0,有

引理2[4]設C為光滑的Banach空間X的非空閉凸子集，x∈X且x0∈C則x0=πCx當且僅當〈x0-y,Jx-Jx0〉≥0,?y∈C。

引理3[4]設X為自反Banach空間且X是光滑且嚴格凸的，C為X上的閉凸非空子集，有φ(y,πCx)+φ(πCx,x)≤φ(y,x),?y∈C，x∈X。

定義V:X×X*→R為V(x,x*)=‖x‖2-2〈x,x*〉+‖x*‖2,?x∈X,x*∈X*

注意到V(x,x*)=φ(x,J-1x*),?x∈X,x*∈X*。

引理4[4]設X為自反的光滑的嚴格凸的Banach空間,X*為X的對偶空間，則V(x,x*)=φ(J-1x*,y*)≤V(x,x*+y*),?x∈X,x*∈X*。

記NC(v)為C中點v∈C的正規(guī)錐，即NC(v)={x*∈X*:〈v-y,x*〉≥0,?y∈C}。

引理7[3]設X為自反Banach空間且X是光滑且嚴格凸的，C為X的閉凸非空子集，若T是C到其自身的半相對非擴張映射，那么F(T)是C的閉凸子集 。

引理8[2]設X為自反Banach空間且X是光滑且嚴格凸的,C是X的凸閉子集f:C×C→R滿足上述條件1)～4),r>0對于?x∈X，存在z∈C，使得

引理9[2]設Banach空間X是一致光滑且嚴格凸的，C為X的凸閉子集，f:C×C→R滿足條件(1)-(4),r>0對于?x∈X，映像Tr:X→C定義為

則下列結論成立 :

(ⅰ)Tr為單值映射;

(ⅱ)Tr為嚴格非擴張映射，即對任意x,y∈X有

〈Tr(x)-Tr(y),JTr(x)-JTr(y)〉≤〈Tr(x)-Tr(y),Jx-Jy〉;

(ⅲ)F(Tr)=EP(f);

(ⅳ)EP(f)為閉凸集 。

引理10[2]設X為自反Banach空間且X是光滑且嚴格凸的，C是X的閉凸子集，f:C×C→R滿足條件1)～4),r>0對于?x∈X,q∈F(Tr),有

φ(q,Tr(x))+φ(Tr(x),x)≤φ(q,x)。

引理11[2]設X為自反Banach空間且X是光滑且嚴格凸的，若T是X到2X*的極大單調算子，那么T-10是X的凸閉子集 ．

2 主要結果

定理1 設Banach空間X具有K-K性質且是嚴格凸的和一致光滑的，C為X的閉凸非空子集，設S:C→C為閉的半相對非擴張映射，T:X→2X*是閉的極大單調算子，f:C×C→R滿足條件1)～4)，Ai為C到X*上LAi-Lipschitz映射且是寬松(di,ei)-協(xié)和算子，其中i∈{1，2，…，N},使得

(6)

證明第一步證∏Fx0(?x0∈X)有意義。

第二步證Cn(n≥1)是閉凸集。

注意到對z∈Cn有

φ(z,un)≤φ(z,yn)?2〈z,Jyn-Jun〉≤‖yn‖2-‖un‖2,

φ(z,yn)≤βnφ(z,xn)+(1-βn)φ(z,wn)?2〈z,βnJxn+(1-βn)Jwn-Jyn〉

≤βn‖xn‖2+(1-βn)‖wn‖2-‖yn‖2,

βnφ(z,xn)+(1-βn)φ(z,wn)≤βnφ(z,xn)+(1-βn)φ(z,zn)?2〈z,Jzn-Jwn〉≤‖zn‖2-‖wn‖2

βnφ(z,xn)+(1-βn)φ(z,zn)≤φ(z,xn)?2〈z,Jxn-Jzn〉≤‖xn‖2-‖zn‖2

易證Cn(n≥1)是閉凸集。

第三步證F?Cn(?n≥1)

根據(jù)引理3～5有

由歸納法知

(7)

顯然F?C1=C,注意到un=Trnyn,?n≥1,根據(jù)引理1推得Trn是半相對非擴張映射，假設對某正整數(shù)k，F(xiàn)?Ck，則對于任何ω∈F?Ck，由引理1及(7)式可得

φ(ω,uk)=φ(ω,Trkyk)≤φ(ω,yk)=φ(ω,J-1(βkJxk+(1-βk)JS(wk)))

=‖ω‖2-2〈ω,βkJxk+(1-βk)JS(wk)〉+‖J-1(βkJxk+(1-βk)JS(wk))‖2

≤‖ω‖2-2〈ω,βkJxk+(1-βk)JS(wk)〉+βk‖xk‖2+(1-βk)‖S(wk)‖2

=βkφ(ω,xk)+(1-βk)φ(ω,S(wk))≤βkφ(ω,xk)+(1-βk)φ(ω,wk)

≤βkφ(ω,xk)+(1-βk)φ(ω,zk)≤φ(ω,xk)

所以ω∈Ck+1,因此F?Cn(?n≥1)。

第四步證xn→q(n→∞)。

由xn=∏Cnx0可得〈xn-u,Jx0-Jxn〉≥0,?u∈Cn。由F?Cn得〈xn-ω,Jx0-Jxn〉≥0,?ω∈F。由引理3可得，對ω∈F?Cn，有

利用Cn的構造可得，對于任何正整數(shù)m≥n，有Cm?Cn且xm=∏Cmx0∈Cn。從而φ(xm,xn)=φ(xm,∏Cnx0)≤φ(xm,x0)-φ(∏Cnx0,x0)=φ(xm,x0)-φ(xn,x0)。

第五步證q=Sq。

(8)

|‖S(wn)‖-‖q‖|=|‖JS(wn)‖-‖Jq‖|

≤‖JS(wn)-Jq‖→0所以‖S(wn)‖→‖q‖(n→∞)根據(jù)

X具有K-K性質得

S(wn)→q(n→∞)

(9)。

|‖wn‖-‖q‖|=|‖Jwn‖-‖Jq‖|≤‖Jwn-q‖→0(n→∞)所以‖wn‖→‖q‖(n→∞)根據(jù)X具有K-K性質得

wn→q(n→∞)

(10)

利用S的閉性，可得q=Sq，所以q∈F(S)。

第六步證q∈T-10。

(11)

即

J(zn)+rT(zn)=Jxn,

(12)。

(13)

(14)

注意到

根據(jù)(13)和(14)可得

第八步證q=∏Fx0。

由xn=∏Cnx0和引理3得〈xn-z,Jx0-Jxn〉≥0,?z∈Cn。因為F?Cn,于是〈xn-z,Jx0-Jxn〉≥0,?z∈F。

(15)

在上式中取極限得〈q-z,Jx0-Jq〉≥0,?z∈F。根據(jù)引理3知q=∏Fx0，因此xn強收斂到∏Fx0證畢。

注：定理1改進和推廣了文獻[4]中的定理3.1中的以下方面：

1)空間的改變：由2-一致凸和一致光滑的Banach空間推廣到嚴格凸和一致光滑且具有K-K性質的Banach空間；

2)增加條件：本文的定理1以文獻[4]定理3.1為基礎，增加了一個零點問題；

3 應用

定理1可以找到一個均衡問題的解，古典的均衡問題是：尋找p∈C滿足

f(p,y)≥0,?y∈C

(16)

EP(f)代表問題(16)的解集，T是C到X*的映像f(x,y)=〈Tx,y-x〉,?x,y∈C

那么p∈EP(f)當且僅當〈Tp,y-p〉≥0,?y∈C。(詳見文獻[2])