劉志昂 陸一
摘? 要:函數(shù)背景下的幾何圖形問題,是代數(shù)與幾何知識的深度融合,是數(shù)形結(jié)合的典型代表之一. 文章以“一次函數(shù)背景下的三角形面積”專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)為例,統(tǒng)整一次函數(shù)和三角形面積的核心內(nèi)容,揭示相關(guān)知識間的邏輯關(guān)系,以及蘊涵的數(shù)學(xué)思想和活動經(jīng)驗之間的內(nèi)在聯(lián)系,豐富知識體系. 重視對學(xué)生“四基”“四能”的培養(yǎng),讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)之美,落實學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),彰顯數(shù)學(xué)的育人價值.
關(guān)鍵詞:學(xué)科統(tǒng)整;核心內(nèi)容;核心素養(yǎng)
我校陸一老師開設(shè)的公開課“一次函數(shù)背景下的三角形面積”收到了很好的效果,受到了聽課教師的一致好評. 整個教學(xué)設(shè)計統(tǒng)整了一次函數(shù)及其性質(zhì)和三角形的面積、圖形變換等核心內(nèi)容,以數(shù)學(xué)知識為載體、以能力培養(yǎng)為目標(biāo),很好地落實了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).
一、教學(xué)過程與點評
例1? 一次函數(shù)y = 2x - 4的圖象如圖1所示,求△OAB的面積.
問題1:三角形的面積公式是什么?△OAB是什么三角形?它的底和高分別是什么?如何求OA和OB的長?如何求點A和點B的坐標(biāo)?
【評析】此例從三角形的面積公式入手設(shè)置問題鏈,從要解決的問題△OAB的面積出發(fā),采用“分析法”一路追問下去,到達最基本的問題——求點A和點B的坐標(biāo). 而在解決問題的過程中,則是先運用方程思想求出A,B兩點的坐標(biāo),進一步求出OA,OB的長,然后運用三角形的面積公式求解.
此例的設(shè)計,復(fù)習(xí)了三角形的面積公式、一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo),以及數(shù)軸上兩點之間的距離. 充分運用一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),將一個幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.
在此基礎(chǔ)上,又介紹了基本的分析問題的方法——分析綜合法,同時還滲透了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法,為后續(xù)問題的解決提供了最基本的范例.
例2? 如圖2,將圖1中的直線y = 2x - 4圍繞著點A按照逆時針方向旋轉(zhuǎn),交y軸于點[C0,2.]
問題2:圖2中有幾個三角形?它們可以如何分類?面積分別是多少?
【評析】學(xué)生很容易就看出圖2中有三個三角形. 教師引導(dǎo)學(xué)生對它們進行分類:△OAB和△OAC是同一類三角形,都是一條直線與兩坐標(biāo)軸相交所形成的三角形,都可以用上面的方法來解決;△ABC是兩條直線與一條坐標(biāo)軸圍成的三角形. △ABC的面積有兩種求解方法:第一種方法是根據(jù)三角形的面積公式,得[S△ABC=1/2BC · OA];第二種方法是根據(jù)圖形之間的位置關(guān)系,得到三角形面積之間的數(shù)量關(guān)系,即[S△ABC=][S△OAB+S△OAC.]
此例的設(shè)計建立在例1的基礎(chǔ)上,將函數(shù)圖象進行旋轉(zhuǎn)變換,解決問題的方法也有其內(nèi)在的聯(lián)系,即用例1的方法直接解決,或者轉(zhuǎn)化為兩個例1中的三角形來解決. 這樣的設(shè)計,既考慮到知識之間的聯(lián)系,又關(guān)注到方法之間的轉(zhuǎn)化和遷移,同時還滲透了因構(gòu)成直線不同的三角形的分類討論及一題多解.
例3? 如圖3,將圖2中的直線AC沿著x軸的方向向左平移3個單位,分別交x軸于點D,交y軸于點E.
問題3:圖3的三角形中,哪些與前面的三角形不同?它們的面積分別是多少?其面積的求法與前面的三角形有沒有共性?
【評析】此例題是在例2的基礎(chǔ)上,通過一次函數(shù)圖象的平移變換,構(gòu)造出不同的三角形. 依然是借助坐標(biāo)軸,運用三角形的面積公式來解決問題,在運用待定系數(shù)法求兩條直線交點F的坐標(biāo)時,滲透了方程思想.
問題3的提出,揭示了其解決問題的方法與前面是有聯(lián)系的. 也就是說,前面問題的解決,既積累了一定的活動經(jīng)驗,又為后面問題的解決提供了范例;既傳授了知識,又關(guān)注了基本思想方法和基本活動經(jīng)驗的積累. 這同時也是一個逐漸一般化的過程,也就是一個數(shù)學(xué)抽象的過程.
例4? 如圖4,將圖3中的y軸向右平移4個單位長度,分別與原來的兩條直線交于點G和點H.
問題4:是否存在與圖3中不同的三角形?如何求它們的面積?
【評析】此例再次通過平移變換得到不同的三角形,而求三角形面積的方法,則由借助坐標(biāo)軸變成了借助與坐標(biāo)軸平行的直線. 顯然,雖然研究對象在變,但是研究的思想方法沒有改變,這也是思想方法的螺旋式上升. 既是知識的遷移,更是思想方法和活動經(jīng)驗的遷移,很好地貫徹了“以知識為載體,以能力為目標(biāo)”的教學(xué)理念.
例5? 如圖5,將圖4中的直線GH圍繞著點H按逆時針旋轉(zhuǎn),與直線AB交于點M,已知點M的縱坐標(biāo)為1,求△FHM的面積.
問題5:這個三角形的構(gòu)成與前面的三角形是否一樣?如何求其面積?在解決這些問題的過程中,你有哪些感悟和體會?
【評析】通過旋轉(zhuǎn)變換得到的△FHM與前面學(xué)習(xí)的所有的三角形都有著本質(zhì)的區(qū)別,就其位置與形狀來說,是一個很具一般性的三角形. 雖然其面積的求解方法不唯一,但無論是“補”(分別過點M,H作x軸的平行線,過F,H作y軸的平行線,構(gòu)造出矩形,然后用矩形的面積減去周邊三個三角形的面積),還是“割”(過點M作y軸的平行線,或過點F作x軸的平行線,構(gòu)造出兩個三角形,求其面積之和),都是借助與坐標(biāo)軸平行的直線來求三角形的面積. 這是對前面方法的推廣應(yīng)用,也是將此問題轉(zhuǎn)化為前面的問題來解決. 而最后的追問,則是對能力要求的提升與升華.
二、教學(xué)感悟與思考
1. 設(shè)置問題主線,統(tǒng)整核心內(nèi)容
(1)設(shè)置問題鏈,形成問題主線.
問題鏈?zhǔn)菙?shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)形式. 對數(shù)學(xué)問題進行深化、推廣、引申、綜合,探索到新的發(fā)展規(guī)律,找到問題間新的聯(lián)系時,就是形成問題鏈的開始. 通過這種過程的不斷深化和逐步推進而找到的,具有內(nèi)在聯(lián)系的若干問題,就形成了問題鏈.
上述整個教學(xué)設(shè)計的例題中,后一道例題總是通過將前一道例題經(jīng)過某種圖形變換而得到的,是對前一道例題的延續(xù)與提升. 這種構(gòu)造決定了它們之間內(nèi)在的邏輯關(guān)系,也體現(xiàn)了整體設(shè)計構(gòu)思之巧妙.
在每道例題中,都精心設(shè)置了一個問題鏈,而每個問題鏈之間又有著內(nèi)在的邏輯關(guān)系. 例如,問題1從要解決的問題——求三角形的面積開始,逐步追問,最終指向求一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo),以及交點到坐標(biāo)原點的距離,揭示了知識之間的交叉聯(lián)系,這是一種引申問題鏈.
從例1到例5,所要求的三角形面積,從一條直線與兩條坐標(biāo)軸相交所形成的三角形(一線兩軸),到兩條直線與一條坐標(biāo)軸相交所形成的三角形(兩線一軸),再到三條直線兩兩相交所形成的三角形(三線無軸),總是從一個問題過渡到研究包含這個問題的另一個問題,這是一種推廣式問題鏈,形成了一個逐漸一般化的過程.
在上述問題鏈的設(shè)置過程中,形成了問題主線,旨在培養(yǎng)學(xué)生善于深入思考問題,能抓住事物的本質(zhì)規(guī)律,預(yù)見事物的發(fā)展規(guī)律,發(fā)展學(xué)生思維的深刻性. 同時,又培養(yǎng)學(xué)生能夠根據(jù)條件的變化,及時調(diào)整思維方向,善于發(fā)現(xiàn)新的條件和新的因素,發(fā)展學(xué)生思維的靈活性.
(2)聚焦核心內(nèi)容,開展學(xué)科統(tǒng)整.
奧蘇貝爾認為,學(xué)習(xí)的實質(zhì)就是學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的組織和重新組織,組織和重新組織的過程就是新舊知識相互聯(lián)系、相互作用的過程. 執(zhí)教教師的教學(xué)設(shè)計中,以一次函數(shù)背景下三角形的面積為主線,復(fù)習(xí)了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,求一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo),求數(shù)軸上兩點之間的距離,求兩條直線的交點坐標(biāo),求一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積等知識. 這些都是一次函數(shù)的核心內(nèi)容,這是一種以知識聯(lián)系為綱的統(tǒng)整. 這種以整體聯(lián)系的眼光組織、設(shè)計和處理各知識點之間的關(guān)系,打通了學(xué)科知識內(nèi)部通道,讓學(xué)生在整體、聯(lián)系、比較中學(xué)習(xí),從而幫助學(xué)生在頭腦中將知識“豎成線、橫成片”,形成立體、開放、整體的知識結(jié)構(gòu). 同時,這種整體把握的教學(xué)內(nèi)容對促進數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的連續(xù)性和階段性發(fā)展具有重要意義.
本課例的設(shè)計,一次函數(shù)背景下的三角形面積,從“一線兩軸”到“兩線一軸”,再到“三線無軸”,面積的解法間有著內(nèi)在的聯(lián)系,是一個逐漸一般化的過程. 而一般問題的解決,則需轉(zhuǎn)化為特殊問題. 這是從整體的視角設(shè)計的,整體即聯(lián)系,整體即組織,整體即整合,這是一種方法上的統(tǒng)整,避免了知識、方法和能力的碎片化,改變了單個知識、方法的識記到理解再到應(yīng)用的認知途徑,是學(xué)科知識與學(xué)科方法、能力的有機結(jié)合.
2. 構(gòu)建解題模式,體驗數(shù)學(xué)之美
羅增儒教授指出,在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,所積累的知識經(jīng)驗經(jīng)過加工,會得出有長久保存價值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式,將其有意識地記憶下來,并做有目的的簡單編碼. 當(dāng)遇到一個新問題時,我們辨認它屬于哪一類基本模式,聯(lián)想起一個已經(jīng)解決過的問題,以此為索引,在記憶儲存中提取相應(yīng)的方法加以解決,這就是模式識別的解題策略.
本課例從例1到例4,不僅是一個逐漸一般化的過程,在解決這些問題的過程中,也逐漸構(gòu)建了一個解決問題的模式——一次函數(shù)背景下的三角形,可以充分利用坐標(biāo)軸或與坐標(biāo)軸平行的直線來求其面積. 而例5則需要通過作輔助線,用“割”或者“補”的方法,將所求三角形轉(zhuǎn)化為上述模式中的三角形來解決,這是對上述模式的識別與應(yīng)用.
這一解題模式的構(gòu)建,為反比例函數(shù)及二次函數(shù)背景下的三角形面積問題的解決提供了思想上和方法上的范例,并且現(xiàn)在積累的基本活動經(jīng)驗同樣可以遷移到后續(xù)的問題解決中,充分體現(xiàn)了對“基本圖形的基本結(jié)論,基本思想和基本方法”這一模式的積累與應(yīng)用.
模式的構(gòu)建與識別運用,從思考方式上看,用模式中簡潔的方法去解決問題,將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為模式來解決. 這種由淺入深的過程,體現(xiàn)了自然之美和藝術(shù)之美,在欣賞數(shù)學(xué)之美時,不應(yīng)停留在感官的刺激上,而要用理性的思考去品味. 模式識別縮短了學(xué)生的思維路徑,不僅使問題得以快速解決,還可以使學(xué)生獲得成就感,產(chǎn)生滿足感,這本身就是一種美的享受. 法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊認為,數(shù)學(xué)的優(yōu)美感,不過是問題的解答適應(yīng)我們心靈需要而產(chǎn)生的滿足感.
3. 重視“四基”“四能”,落實核心素養(yǎng)
章建躍博士認為,學(xué)生要理解知識,掌握技能,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想;積累數(shù)學(xué)思維和解決問題的經(jīng)驗,提升與發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).
本課例注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解,關(guān)注所學(xué)知識之間的聯(lián)系,找準(zhǔn)生長點與延伸點,很好地處理了局部知識與整體知識之間的關(guān)系,把整節(jié)課的知識置于整體知識的體系中,在構(gòu)造的各種不同情境下求三角形的面積,促使學(xué)生理解解決問題的程序與步驟,增強對基本技能的訓(xùn)練.
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出,數(shù)學(xué)思想蘊涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中,是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括. 本課例的設(shè)計,學(xué)生在積極參與教學(xué)活動的過程中,通過獨立思考、合作交流,發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題,逐步感悟數(shù)學(xué)思想. 其中積累的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,不僅有助于例4和例5的解決,而且有助于對反比例函數(shù)和二次函數(shù)背景下幾何圖形面積問題的解決,這是一種在“做”和“思考”的過程中的積淀. 最終的目標(biāo)聚焦在理性思維上,使學(xué)生學(xué)會有結(jié)構(gòu)、有邏輯地思考,而不是胡思亂想.
從例1到例5,執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生有層次地認識圖形及其關(guān)系,集中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯性,幫助學(xué)生學(xué)會有邏輯地思考. 這種循序漸進、拾級而上的過程與方法是數(shù)學(xué)育人的力量所在,是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵載體.
對于單元專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計與教學(xué),教師應(yīng)在設(shè)計中統(tǒng)整核心內(nèi)容、構(gòu)建解題模式,在教學(xué)中落實“四基”“四能”,滲透數(shù)學(xué)之美,方可更好地落實學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),彰顯數(shù)學(xué)的育人價值.
參考文獻:
[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.
[2]余文森. 核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂教學(xué)[M]. 上海:上海教育出版社,2017.
[3]羅增儒. 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M]. 西安:陜西師范大學(xué)出版總社,2016.
[4]喻平. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論[M]. 南寧:廣西教育出版社,2008.
[5]劉志昂. 運用模式識別? 探尋數(shù)學(xué)之美[J]. 中國數(shù)學(xué)教育(初中版),2019(4):50-53,59.
收稿日期:2020-08-11
基金項目:江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點自籌課題——初中生認知能力發(fā)展的學(xué)科統(tǒng)整研究(E-b/2018/13).
作者簡介:劉志昂(1968— ),男,中學(xué)高級教師,主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.