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        “冪函數(shù)”教學設計

        2020-09-10 07:22:44王琦雷曉莉
        中國數(shù)學教育(高中版) 2020年12期
        關鍵詞:冪函數(shù)數(shù)形結合

        王琦 雷曉莉

        摘? 要:冪函數(shù)是一類重要的基本初等函數(shù).本節(jié)課在回顧初中研究函數(shù)的經(jīng)驗的基礎上,梳理研究一般函數(shù)的內(nèi)容、方法和路徑,進而按照這樣的路徑對冪函數(shù)展開研究. 學生經(jīng)歷函數(shù)圖象與性質的多種探究方式,體會數(shù)與形的緊密聯(lián)系. 冪函數(shù)的研究過程既是對高中所學的函數(shù)概念、表示法和基本性質的進一步理解和應用,也為后續(xù)其他函數(shù)的研究做出了示范.

        關鍵詞:冪函數(shù);圖象與性質;數(shù)形結合

        一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

        1. 內(nèi)容

        冪函數(shù)的定義,[y=x],[y=x2],[y=x3],[y=x-1],[y=x12]五個冪函數(shù)的圖象與性質.

        2. 內(nèi)容解析

        冪函數(shù)是一類重要的基本初等函數(shù),實際生產(chǎn)生活及科學研究中涉及的很多函數(shù)都是由冪函數(shù)及其他基本初等函數(shù)進行運算、復合得到的.

        學生初中學習過的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)都是由冪函數(shù)[y=x0],[y=x],[y=x2],[y=x-1]經(jīng)過運算得到的,冪函數(shù)[y=x],[y=x2],[y=x-1]也是最基本的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù),學生對他們的圖象和性質都非常熟悉. 從這個角度來說,冪函數(shù)的學習是在此基礎上的自然延伸.

        在教材中,冪函數(shù)這一部分的學習被安排在函數(shù)的概念及其表示和函數(shù)的基本性質之后,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之前. 一方面,在學生系統(tǒng)學習了一般函數(shù)的概念、表示法和基本性質之后,冪函數(shù)作為一類最基本的函數(shù),承載著從一般到特殊應用所學知識來研究和表達具體函數(shù)的功能;另一方面,冪函數(shù)作為高中階段學生研究的第一類具體函數(shù),在研究內(nèi)容、方法和路徑上對后續(xù)學習其他函數(shù)起著一定的示范性作用.

        基于以上分析,本節(jié)課的教學重點是冪函數(shù)的圖象與性質.

        二、目標和目標解析

        1. 目標

        (1)了解冪函數(shù)的定義,會作出函數(shù)[y=x],[y=x2],[y=x3],[y=x-1],[y=x12]的圖象,理解它們的性質并能進行簡單應用.

        (2)通過對冪函數(shù)的研究,體會研究一種具體函數(shù)的內(nèi)容和方法.

        (3)在對具體函數(shù)的圖象與性質的探究過程中,理解函數(shù)圖象與性質的探究方法,感受數(shù)與形的相輔相成,體會數(shù)形結合的思想方法,發(fā)展直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).

        2. 目標解析

        達成以上目標的標志如下.

        (1)能從幾個具體的冪函數(shù)解析式的共性中抽象出冪函數(shù)的一般形式;會作出函數(shù)[y=x],[y=x2],[y=x3],[y=x-1],[y=x12]的草圖,并根據(jù)圖象得到它們的性質;能應用冪函數(shù)的性質解決一些簡單問題.

        (2)在研究冪函數(shù)之前,先根據(jù)初中研究函數(shù)的經(jīng)驗制定出探究方案,確定探究內(nèi)容和方法,進而依照方案實施研究,并在過程中對實施細節(jié)進行合理調整,經(jīng)歷研究函數(shù)的完整過程.

        (3)在對[y=x3]和[y=x12]的圖象和性質進行研究的過程中,體驗不同的研究方式,感受形的直觀、數(shù)的精確,以及數(shù)與形的緊密聯(lián)系、對立統(tǒng)一. 在運用定義判斷函數(shù)[y=x12]的單調性的過程中,發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng).

        三、教學問題診斷分析

        學生在初中階段學習過一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù),對于函數(shù)的研究積累了一定的經(jīng)驗,但缺乏方法的梳理和總結. 本節(jié)課先引導學生對經(jīng)驗進行梳理,總結出函數(shù)的研究內(nèi)容、方法和路徑,這既為本節(jié)課的研究提供了方案,也為后續(xù)其他函數(shù)的研究提供了模板.

        初中階段,學生基本都是通過列表、描點作出函數(shù)的圖象,再根據(jù)圖象直觀感知函數(shù)的性質. 經(jīng)過本章前一階段的學習,學生掌握了用符號語言精確刻畫函數(shù)單調性和奇偶性的方法,可以直接通過解析式分析函數(shù)的單調性和奇偶性,這使得函數(shù)圖象與性質的探究方式有了更多的可能. 本節(jié)課中,教師引導學生體驗這些探究方式,使學生在探究過程中感受數(shù)與形的相互轉化和緊密聯(lián)系.

        基于以上分析,確定本節(jié)課的教學難點在于冪函數(shù)圖象與性質的探究.

        四、教學過程設計

        1. 從實際情境中抽象出冪函數(shù)的定義

        問題1:回答下列問題.

        (1)如果張紅以1元 / kg的價格購買了某種蔬菜[w kg],那么她需要支付的價錢[p]是多少元?這里[p]是[w]的函數(shù)嗎?

        (2)如果正方體的邊長為a,那么正方形的面積S是多少?這里S是a的函數(shù)嗎?

        (3)如果立方體的棱長為b,那么立方體的體積V是多少?這里V是b的函數(shù)嗎?

        (4)如果一個正方形場地的面積為S,那么這個正方形的邊長c是多少?這里c是S的函數(shù)嗎?

        (5)如果某人[t s]內(nèi)騎車行進了[1 km],那么他騎車的平均速度[v]是多少?這里v是t的函數(shù)嗎?

        師生活動:教師給出實際情境,學生思考后得出五種情境所對應的函數(shù)解析式. 其中,對于(4)中的[c=][S],教師須告知學生[S]也可以記作[S12];對于(5)中的[v=1t],教師應引導學生將其表達為[v=t-1].

        【設計意圖】函數(shù)是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的最基本的數(shù)學語言和工具. 從這一系列實際問題中,學生可以感受到客觀世界中很多變量關系可以用冪函數(shù)表示,從而體會到研究冪函數(shù)的必要性和冪函數(shù)的應用價值. 中學階段學習的幾種函數(shù)都有著它們的實際背景. 冪函數(shù)是高中階段學習的第一類具體函數(shù),從實際背景中抽象出冪函數(shù)的概念,對高中階段其他函數(shù)的研究具有示范作用. 同時,對實際問題進行抽象也是很多數(shù)學概念和問題產(chǎn)生的方式.

        問題2:這些函數(shù)在解析式的結構上有什么共同特征?

        師生活動:教師引導學生拋開現(xiàn)實意義,關注幾個函數(shù)解析式的結構. 通過觀察,學生發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的函數(shù)值都是自變量的若干次方. 教師引導學生將幾個函數(shù)中的自變量都用[x]表示,函數(shù)值都用[y]表示. 學生發(fā)現(xiàn)這幾個函數(shù)的解析式都具有[y=xα]的形式,其中[x]是自變量,[α]是常數(shù). 由[xα]的運算結果叫做冪,引出冪函數(shù)的名稱,從而點明課題并板書冪函數(shù)的定義:一般地,函數(shù)[y=xα]叫做冪函數(shù),其中[x]是自變量,[α]是常數(shù).

        【設計意圖】從實際背景中抽象出數(shù)學模型是一個較難的思維過程,需要教師引導進行. 學生經(jīng)歷并體會這個從眾多事物中抽取出共同的、本質性的特征,舍棄非本質性特征的抽象過程,提升數(shù)學抽象素養(yǎng).

        追問:根據(jù)定義,你能再列舉出幾個冪函數(shù)嗎?

        師生活動:學生根據(jù)定義進行舉例,認識冪函數(shù)解析式的結構特征. 教師引導學生將[α]取不同類型的常數(shù),并指出當[α]取其他實數(shù)時,冪的含義會在后續(xù)課程中學習.

        【設計意圖】根據(jù)定義進行舉例,需要學生在理解定義的基礎上,整合現(xiàn)有知識,舉出例子并進行判斷,是一個綜合的思維過程. 這個過程可以培養(yǎng)學生提出問題、分析問題的能力.

        2. 探究冪函數(shù)的圖象和性質

        環(huán)節(jié)1:梳理研究路徑,明確研究內(nèi)容.

        問題3:結合以往學習函數(shù)的經(jīng)驗,我們應該如何研究冪函數(shù)?

        師生活動:教師引導學生回憶初中研究一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的內(nèi)容、過程和方法. 學生總結經(jīng)驗,歸納出研究具體函數(shù)的基本路徑:定義—圖象—性質—應用.

        【設計意圖】學生初中階段學習過一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù),初步積累了研究函數(shù)的基本活動經(jīng)驗. 調動學生回憶初中研究函數(shù)的內(nèi)容、過程和方法,不僅可以通過對這些基本活動經(jīng)驗的梳理規(guī)劃冪函數(shù)的研究路徑,也可以為后續(xù)課程中其他函數(shù)的研究做出示范.

        追問1:如何作出冪函數(shù)[y=xα]的圖象?

        師生活動:學生發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)[y=xα]是一類函數(shù),指數(shù)[α]的取值不同,函數(shù)就不同,圖象也是不一樣的. 教師引導學生回憶初中探究正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質時對參數(shù)的處理方式. 學生根據(jù)初中研究函數(shù)的經(jīng)驗想到從特殊到一般,對[α]取一些特殊值進行研究,考查圖象是否存在規(guī)律性. 教師提議本節(jié)課拋磚引玉,只從[α]為正整數(shù)的情況中選取三個較簡單的,即[y=x],[y=x2],[y=x3],從[α]為負整數(shù)的情況中選取一個較簡單的,即[y=x-1],從[α]為分數(shù)的情況中選取一個較簡單的,即[y=x12=x]進行研究. 掌握研究方法后,對于其他冪函數(shù)的圖象,可以讓學生課后自行探究.

        【設計意圖】引導學生借助初中研究函數(shù)的經(jīng)驗,找到處理冪函數(shù)中參數(shù)的方法,確定從特殊到一般的研究思路.

        追問2:在研究它們的圖象和性質之前,我們應該先明確什么?

        師生活動:學生回答“定義域”,并求出這五個冪函數(shù)的定義域. 教師關注學生是否注意到了定義域應寫成集合的形式.

        【設計意圖】研究一個函數(shù)首先要明確其定義域,設計這個問題正是為了幫助學生強化這一認識.

        追問3:作出函數(shù)圖象后可以研究哪些內(nèi)容?

        師生活動:學生回憶本章所學內(nèi)容,提出值域、單調性、奇偶性等,教師板書列表呈現(xiàn)研究內(nèi)容,如表1所示.

        【設計意圖】梳理一個具體函數(shù)的研究內(nèi)容并用表格呈現(xiàn)出來,這為本節(jié)課后面的研究搭建了框架,有助于學生建立研究具體函數(shù)的一般思路. 此外,將研究結論通過表格形式呈現(xiàn),便于學生將幾種函數(shù)的圖象和性質進行對比,發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

        環(huán)節(jié)2:探究五個冪函數(shù)各自的圖象和性質.

        問題4:將函數(shù)[y=x],[y=x2],[y=x-1]的圖象和性質填入表格相應位置.

        師生活動:根據(jù)初中所學相應結論,學生代表將黑板上函數(shù)[y=x],[y=x2],[y=x-1]的對應表格補充完整,其余學生在筆記本上完成. 教師針對黑板上表格的填寫情況進行適當點評,如定義域、值域要寫成集合形式,[y=x-1]單調區(qū)間的寫法等,如表2所示.

        問題5:如何得到函數(shù)[y=x3]的圖象?

        師生活動:學生回答“列表、描點、作圖”.

        追問1:自變量取哪些值進行描點?

        師生活動:學生可能取-2,-1,0,1,2.

        追問2:能不能減少描點的個數(shù)?

        師生活動:教師引導學生思考哪種性質對函數(shù)的研究有事半功倍的作用. 學生經(jīng)過思考,不難發(fā)現(xiàn)[y=x3]是奇函數(shù),圖象關于原點對稱,可以先作出[y=x3]在y軸右側的圖象,再根據(jù)對稱性就可以得到y(tǒng)軸左側的圖象了. 學生在筆記本上完成作圖并填寫函數(shù)性質,學生代表展示結論,師生點評并總結出研究函數(shù)時可以在明確定義域后優(yōu)先考查函數(shù)的奇偶性.

        【設計意圖】通過函數(shù)[y=x3]的圖象與性質的探究過程,使學生體會到:在研究函數(shù)的過程中,為了提高研究效率,應該優(yōu)化研究順序,如優(yōu)先考查函數(shù)的奇偶性.

        問題6:如何探究函數(shù)[y=x12]的圖象和性質?

        師生活動:學生根據(jù)上一問題總結的經(jīng)驗,考慮優(yōu)先考查函數(shù)的奇偶性.

        追問1:函數(shù)[y=x12]的奇偶性如何?

        師生活動:學生發(fā)現(xiàn)函數(shù)[y=x12]的定義域不關于原點對稱,從而判斷出函數(shù)[y=x12]為非奇非偶函數(shù).

        追問2:既然奇偶性可以不借助圖象判斷,那么單調性是否也可以直接判斷呢?

        師生活動:學生經(jīng)過思考認為可以用單調性的定義來判斷.

        追問3:用定義判斷函數(shù)單調性的步驟是什么?

        師生活動:學生回憶前面所學知識,回答出“任取—作差—整理—斷號—結論”的步驟. 進而師生依照步驟判斷函數(shù)[y=x12]的單調性. 其中,“整理”這一步對學生而言是個難點,學生很難獨立想到“分子有理化”的方法,需要教師介紹. 師生共同完成對函數(shù)的單調性的判斷.

        追問4:根據(jù)函數(shù)[y=x12]的定義域、奇偶性和單調性,你能否畫出它的示意圖?

        師生活動:學生在筆記本上作出符合定義域、奇偶性和單調性的函數(shù)示意圖,但不同學生的示意圖凹凸性可能有所不同. 教師巡視并將典型的示意圖拍照展示. 教師引導學生認識到可以通過描出幾個特殊點來判斷函數(shù)圖象的走勢,并在課堂上運用信息技術快速得到函數(shù)[y=x12]的圖象. 教師要幫助學生認識到對函數(shù)性質的研究,可以讓我們對函數(shù)的圖象有一個大致的認識,對性質探究得越深入、細致,對圖象的刻畫就越精細,在后續(xù)課程中還會對函數(shù)的更多性質進行研究.

        【設計意圖】初中階段,學生大多數(shù)情況下只能通過圖象來直觀感知函數(shù)的性質. 在前幾節(jié)課中,我們用精確的符號語言定義了函數(shù)的單調性和奇偶性,學生可以直接通過函數(shù)的解析式分析函數(shù)的性質. 這就使得我們可以根據(jù)函數(shù)的性質分析圖象的特征,從而豐富了得到函數(shù)圖象的方法. 對函數(shù)[y=x12]的圖象與性質的教學設計,是為了讓學生經(jīng)歷更多的探究方式,感受多種探究方式的特點,為今后更加靈活、高效地研究具體函數(shù)做準備. 此外,數(shù)與形是相互聯(lián)系、相互轉化的,因此從形來認識數(shù)、從數(shù)來認識形都是教學中要引導學生體會的,這里的設計也有這樣的目的.

        環(huán)節(jié)3:探究冪函數(shù)的性質.

        問題7:通過對這五個函數(shù)的分析,我們發(fā)現(xiàn)他們的圖象和性質有著各自的特點,那么它們作為一類函數(shù),有沒有什么共性呢?我們將這五個函數(shù)的圖象放到同一坐標系中觀察一下,有什么發(fā)現(xiàn)嗎?

        師生活動:教師展示五個冪函數(shù)在同一坐標系下的圖象,學生觀察圖象發(fā)現(xiàn)它們存在公共點,師生從數(shù)的角度說明這個點是所有冪函數(shù)的必過點. 學生還可能發(fā)現(xiàn)這五個函數(shù)圖象都經(jīng)過第一象限,都不經(jīng)過第四象限. 教師可以引導學生從函數(shù)的奇偶性、單調性、漸近性等角度對這幾個函數(shù)的性質進行梳理. 學生通過前面總結的表格容易猜想“[α]為奇數(shù)的冪函數(shù)是奇函數(shù),[α]為偶數(shù)的冪函數(shù)為偶函數(shù)”,證明留給學生課下完成. 對于冪函數(shù)在[0,+∞]上的單調性,學生可能會猜想“當[α>0]時,冪函數(shù)在[0,+∞]上單調遞增;當[α<0]時,冪函數(shù)在[0,+∞]上單調遞減”. 教師肯定學生的認真觀察和積極思考,建議學生課后作出更多冪函數(shù)的圖象來進一步驗證猜想,對于比較肯定的猜想可以嘗試加以論證,并告訴學生這就是科學研究經(jīng)常用到的方法.

        對于學生發(fā)現(xiàn)的性質,如果時間允許,教師可以通過信息技術軟件演示驗證.

        【設計意圖】冪函數(shù)作為一類函數(shù),是否存在共性和規(guī)律呢?這是由特殊到一般的探究思路. 學生通過研究五個特殊冪函數(shù)的圖象和性質,容易對一般冪函數(shù)的性質進行猜想. 在這個過程中,學生從形到數(shù),經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決部分問題的過程,體會數(shù)與形的聯(lián)系,提升“四能”. 此外,由特殊到一般,觀察、猜想、論證的過程也正是很多科學研究的過程,學生經(jīng)歷這樣的過程有助于體會科學研究的方法,提升科學探究的能力.

        3. 冪函數(shù)的應用

        問題8:利用冪函數(shù)的性質,比較下列各題中兩個值的大小.

        (1)[-1.53, -1.43];

        (2)[1.5, 1.4].

        師生活動:學生經(jīng)過思考,利用本節(jié)課所學函數(shù)的單調性比較大小,口答結論. 教師根據(jù)學生的作答情況,進行追問或點評.

        【設計意圖】該問題是冪函數(shù)性質的簡單應用. 學生通過解答該題,體會利用函數(shù)的單調性比較大小的方法.

        問題9:已知函數(shù)[fx=x3],且[ft2+t+1<-f2-t2],求實數(shù)[t]的取值范圍.

        師生活動:學生經(jīng)過思考,利用本節(jié)課所學函數(shù)[y=x3]的性質進行解答. 學生之間可以互相啟發(fā)和補充. 教師根據(jù)學生的作答情況,進行引導、追問和點評.

        【設計意圖】該問題是冪函數(shù)性質(奇偶性、單調性)的綜合應用.

        4. 課堂小結

        問題10:通過今天的學習,你認為對一個新函數(shù)應該研究哪些內(nèi)容?如何研究?

        師生活動:師生共同歸納出研究函數(shù)的步驟.

        (1)明確函數(shù)的概念及定義域.

        (2)探究函數(shù)的圖象與性質.

        (3)函數(shù)的應用:數(shù)學應用、實際應用、科學應用.

        其中,對于函數(shù)圖象與性質的探究,在初中主要是先作出圖象,再探究性質. 通過前面幾節(jié)課的學習,我們對函數(shù)的性質有了更進一步的認識,既可以通過圖形語言來直觀感知,也可以運用符號語言來嚴謹論證. 數(shù)與形的聯(lián)系更加緊密,圖象與性質的研究方法更加靈活,希望學生課下認真體會.

        【設計意圖】學生回顧研究函數(shù)的過程、內(nèi)容和方法,強化基本活動經(jīng)驗. 用精確的符號語言定義函數(shù)的性質后,教師引導學生體會函數(shù)圖象與性質的研究方法更加豐富,數(shù)與形的聯(lián)系更加密切,數(shù)與形的轉化更加靈活.

        五、目標檢測設計

        1. 已知冪函數(shù)[y=fx]的圖象經(jīng)過點[2, 2],試求出這個函數(shù)的解析式.

        【設計意圖】考查冪函數(shù)的定義.

        2. 利用冪函數(shù)的性質,比較下列各題中兩個值的大小.

        (1)[-1.5-1],[-1.4-1];

        (2)[-1.52],[1.42].

        【設計意圖】考查冪函數(shù)[y=x-1]和[y=x2]的性質.

        3. 試獨立探究函數(shù)[fx=x-2]的圖象和性質.

        【設計意圖】考查探究函數(shù)圖象與性質的方法.

        參考文獻:

        [1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)[M]. 北京:人民教育出版社,2018.

        收稿日期:2020-11-02

        作者簡介:王琦(1983— ),女,中學一級教師,主要從事中學數(shù)學教學研究.

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        數(shù)形結合在解題中的應用
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        淺析數(shù)形結合方法在高中數(shù)學教學中的應用
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