李宏超，邱東

(1.長春職業(yè)技術學院機電學院，吉林長春 130033；2.長春工業(yè)大學電氣與電子工程學院，吉林長春 130012)

0 前言

科技的發(fā)展為人們的生活帶來了便利，機器人的出現(xiàn)為人們的生產和工作提供了便捷。得益于機器人可控性強、安全性能較好等特點，機器人已被廣泛應用于農業(yè)生產、數(shù)控焊接以及產品包裝等多個領域。機器人在工作時，通常需要按照設定的期望路徑工作，因此提高機器人對期望路徑的跟蹤準確性，有助于提高其工作質量。

近年來，在學者的研究下出現(xiàn)了多種機器人路徑跟蹤控制方法。文獻[7]中將曲面跟蹤控制與柔順控制相結合，提出了一種系統(tǒng)生成虛擬夾具的路徑/曲面跟蹤控制方法，以實現(xiàn)在靜態(tài)和動態(tài)虛擬夾具等多種類型約束的條件下，實現(xiàn)對機器人路徑的跟蹤控制。施群等人在有向Voronoi區(qū)域劃分算法的基礎上，設計了一種用于刀具路徑規(guī)劃的控制方法，對加工過程中的刀具路徑進行了控制。WANG和YUN將平面與目標曲面相交，得到截面輪廓曲線，對于每條曲線，通過在曲率較大的局部區(qū)域插入刀具位置來優(yōu)化相鄰切削點之間的曲線長度，建立了包含曲線長度間距優(yōu)化的路徑控制方法，該方法能夠控制機器人的路徑，但控制準確度有待提高。

對此，本文作者提出采用傳感器測量聯(lián)合最小二乘法的機器人路徑跟蹤控制方法。根據(jù)三角測量原理，在機器人末端執(zhí)行器周圍布局3個激光距離傳感器進行點式距離測量，構建機器人測量系統(tǒng)。利用刀具中心點位置和旋轉矩陣，計算出曲面上每個測量點的位置，并通過該位置信息，求取曲面法向量的歸一化形式和歸一化距離參數(shù)，進而得出刀具中心點到曲面上任意點的距離。利用距離傳感器的測量值和最小二乘方法，確定未知曲面和拋物面參數(shù)，利用該參數(shù)構造曲面的測量方程，從而以期望路徑為依據(jù)，計算刀具方向，以完成對機器人路徑的跟蹤控制。利用所提方法對期望路徑進行跟蹤測試，驗證該方法的有效性。

1 機器人測量系統(tǒng)的構建

本文作者使用基于三角測量原理的激光距離傳感器進行點式距離測量。通過測量機器人末端與曲面之間距離的方法，同時確定曲面上3個不同點的位置，用于計算出末端執(zhí)行器和曲面之間的距離。本文作者構建的機器人測量系統(tǒng)的結構如圖1所示。

圖1 機器人測量系統(tǒng)結構圖

利用安裝在機器人末端執(zhí)行器周圍的激光距離傳感器，可以得出平面上3個點的測量距離，從而計算出末端執(zhí)行器和曲面之間的距離。

2 機器人測量系統(tǒng)的建模

:={∈|=()}

(1)

式中：為中的一個曲面點;為參數(shù)化曲面的映射關系，即：

:→

(2)

點處曲面的方向可通過曲面法向量描述：

(3)

在機器人測量系統(tǒng)中，利用慣性坐標系中的、坐標對子集進行參數(shù)化，因此和分別與、坐標上的值相等，即滿足：

(4)

平面可以由平面上的一個點和平面的法向量定義：

(-)=0

(5)

式中：為坐標向量。

根據(jù)平面法向量的歸一化形式和歸一化距離參數(shù)，平面的Hesse范式可定義為

(6)

平面法向量可利用平面上3個不同點、和來表示，指定為參考點，的計算公式為

=(-)×(-)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：為慣性坐標系中的刀具方向，其計算公式為

(12)

(13)

3 機器人的路徑跟蹤

曲面中的平面近似是通過基于當前的逐點距離測量實現(xiàn)的，該方法可能會導致曲率半徑很小的曲面測量出現(xiàn)近似誤差。對此，通過測量點與最小二乘法來近似曲面法向量以及刀具與曲面之間的距離，進而實現(xiàn)機器人路徑的跟蹤。

令在、、方向上的分量分別為,、,、,，則通過式(6)可得出平面通過和坐標參數(shù)化的分量為

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

參數(shù)向量(=,)的最小二乘解的計算公式為

(23)

(24)

式中：為曲面和刀具中心點之間的距離。

設()為期望路徑，路徑方向由其歸一化切向向量來表述：

(25)

通過可求取所需的刀具方向()為

(26)

4 實驗結果

利用圖2所示的機器人，結合MATLAB/Simulink構建實驗平臺。在實驗平臺上對文中方法的有效性進行測試。測試過程中將模糊PI控制方法作為對比方法，以直觀地觀察文中方法的控制性能。

圖2 實驗用機器人

4.1 平面路徑跟蹤測試

利用模糊PI控制方法和文中方法對平面上的期望路徑進行跟蹤，通過觀察2種方法的跟蹤結果，分析2種方法的控制有效性。模糊PI控制方法和文中方法對平面期望路徑的跟蹤結果如圖3所示。

由圖3(a)(c)可知：圖(c)中的控制路徑曲線比圖(a)中的控制路徑曲線更貼近平面期望路徑曲線，而且圖(c)中的控制路徑曲線比圖(a)中的控制路徑曲線的波動次數(shù)少。由圖3(b)(d)可知：在、軸方向，文中方法的跟蹤誤差均小于模糊PI控制方法的跟蹤誤差；模糊PI控制方法和文中方法在軸方向存在的最大誤差都比軸方向存在的最大誤差大，且圖(b)中軸方向的最大誤差為8.08 mm，圖(d)中軸方向的最大誤差為5.38 mm；不僅圖(b)中軸和軸方向的最大誤差都比圖(d)中軸和軸方向的大，而且圖(b)中軸和軸方向的波動次數(shù)也比圖(d)中軸和軸方向的多。由此可見，采用文中方法可以有效地控制機器人對平面期望路徑進行跟蹤，且跟蹤過程較為平穩(wěn)。

圖3 模糊PI控制方法和文中方法對平面期望路徑跟蹤的測試結果

4.2 立體路徑跟蹤測試

采用模糊PI控制方法和文中方法對立體期望路徑進行跟蹤，以進一步測試模糊PI控制方法和文中方法控制機器人路徑跟蹤的性能。圖4所示為模糊PI控制方法和文中方法對立體期望路徑跟蹤的測試結果。

圖4 模糊PI控制方法和文中方法對立體期望路徑跟蹤的測試結果

由圖4(a)(c)可知：與文中方法的控制路徑曲線相比，模糊PI控制方法的控制路徑曲線出現(xiàn)了較多次偏移期望路徑曲線的情況。由圖4(b)(d)可知：雖然文中方法和模糊PI控制方法在跟蹤立體期望路徑時都出現(xiàn)了誤差，但是在整個跟蹤過程中，文中方法的控制路徑曲線在、和軸上的最大誤差都小于模糊PI控制方法；模糊PI控制方法和文中方法對立體期望路徑進行跟蹤時，在軸上出現(xiàn)的最大誤差大于在和軸上出現(xiàn)的最大誤差，且模糊PI控制方法和文中方法在軸上的最大誤差分別為11.46、9.87 mm。驗證了文中方法跟蹤立體期望路徑時具有較高的準確性，對機器人路徑跟蹤的控制效果較好。

5 結語

本文作者采用3個激光距離傳感器，圍繞機器人末端執(zhí)行器進行布局，構建了機器人測量系統(tǒng)，得出平面上點的測量距離。利用曲面法向量的歸一化形式和歸一化距離參數(shù)，得出了曲面的Hesse范式，通過刀具中心點位置和旋轉矩陣描述了曲面上每個測量點的位置信息，并計算了刀具中心點到曲面上交點的距離和位置。使用近似曲面求取了其歸一化曲面法向量，聯(lián)合傳感器的測量值與最小二乘法，得出了未知曲面和拋物面的參數(shù)，并將它與曲面的歸一化曲面法向量相結合，求取了末端執(zhí)行器的位置，以期望路徑為依據(jù)，計算出了所需的刀具方向，進而完成對期望路徑的跟蹤。結果表明：文中方法能夠準確地跟蹤平面和立體期望路徑，且跟蹤過程較為平穩(wěn)，能較準確地控制機器人按照期望路徑工作，從而提高其工作質量。